江西省赣州一中09-10学年高二开学摸底考试

高二数学试题

一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填在答题卷中）

1、某公司A、B、C、D四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点. 公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在C地区中有20个特大型销售点，要在从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②. 则完成①、②这两调查宜采用的抽样方法依次是

    A、分层抽样法，系统抽样法    B、分层抽样法，简单随机抽样法

    C、系统抽样法，分层抽样法    D、简单随机抽样法，分层抽样法

2、一个容量为10的样本数据，组距与频数如下：

    A、0.70    B、0.25    C、0.50    D、0.20

3、下列四个有关算法的说法中，正确的是

    ①算法的各个步骤是可逆的  ②算法执行后一定得到确定的结果  ③解决某类问题的算法不是唯一的  ④算法一定在有限多步内结束

    A、②③④    B、①③④    C、①②④    D、①②③

4、为了在运行下面的程序之后得到输出y＝9，键盘输入x一定是

    输入x

    If  x<0, then y＝(x＋1)*(x＋1)

    Else  y＝(x－1)*(x－1)

    输出y

    A、－4    B、－2    C、4或－4    D、2或－2

5、已知数列{an}的通项an＝nan(0an＋1对所有正整数n均成立，则a的取值范围是

    A、(,1)    B、(,1)    C、(,)    D、(0,)

6、阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是

    A、1    B、2    C、3        D、4

7、在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a, b, c，

已知b＝2c cosA＋2且sinB＝4sinc cosA，则b＝

    A、2    B、4    C、1    D、3

8、把一个半圆面卷成圆锥的侧面，那么圆锥母线间的最大夹角是

    A、300    B、450    C、600    D、900

9、已知x＞0，y＞0，zx与y的等差中项为，且的最小值是9，则正数a的值是

    A、1    B、2    C、4    D、8

10、如图三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别是AB、AC的中点，平面EFC1B1将三棱柱分成体积为V1，V2（左为V1，右为V2）两部分，则V1:V2＝

    A、7:5    B、4:3

    C、3:1    D、2:1

11、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨. 销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元. 该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是

    A、12万元    B、20万元    C、25万元    D、27万元

12、如图，凸四边形ABCD的两对角线AC、BD将其分成四个部分，每个部分的面积分别为S1、S2、S3、S4. 已知S1＞1，S2＞1，则S3＋S4的值

    A、等于2    B、大于2

    C、小于2    D、不确定

二、本大题共4小题，每小4题分共16分

13、从1到2000中随机取一个整数，则取到的整数能被6整除的概率为      

14、从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）：

    125   124   121   123   127

    则该样本标准差S＝       （克）用数字作答. 

15、正方体中不在同一表面上两顶点坐标为M（－1，2，一1），N（3，－2，3），则此正方体的内切球的表面积为       

16、在公差为d（d≠0）的等差数列｛an｝中，若Sn是｛an｝的前n项的和，则数列S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d，类比上述结论，相应地在公比为q（q≠1）的等比数列｛bn｝中，若Tn是数列｛bn｝的前n项的积，则有       . 

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

    如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量. 已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值. 

18、（本小题满分12分）

    已知函数f(x)＝x2＋(1－a )x－a，

    （1）当a∈R时，解不等式：f(x)＜0；    （2）当a＝2时，解不等式：x3f(x)＞0.

20、（本小题满分12分）

    甲、乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字3. 两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若抽取的两个小球中的数字相同，则甲获胜，否则乙获胜. 

    （1）求甲获胜的概率    （2）求乙获胜的概率

21、（本小题满分12分）

    在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4 和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4

    （1）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程

    （2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，求所有满足条件的点P的坐标. 

22、（本小题满分14分）

    已知数列｛an｝满足a1＝1，an＋1＝且bn＝a2n－2(n∈N＊)

    （1）求a2，a3，a4；

    （2）求证：数列｛bn｝是等比数列，并求其通项公式；

    （3）若Cn＝－nbn，Sn为为数列｛Cn｝的前n项和，求Sn－2

数学试卷参及评分标准

一、选择题：BAACD  DBCBA  DB

二、填空题：

13、    14、2     15、16π 

16、也成等比数列且公比为q100

三、解答题：

17、解：作DM∥AC交BE于N，交CF于M    2分

    DF＝    4分

    DE＝＝130    6分

    EF＝    8分

    在△DEF中，由余弦定理得：

    cos∠DEF＝    12分

18、解：（1）f(x)＜0即为x2＋(1－a)x－a＜0，(x＋1)(x－a)＜0        2分

    当a＜－1时，原不等式的解集为(a，－1);        4分

    当a＝－1时，原不等式的解集为φ;        6分

    当a＞－1时，原不等式的解集为(－1，a);        8分

（2）当a＝2时，不等式为：x3(x2－x－2)＞0即x(x＋1) (x－2)＞0    10分

    ∴ －1＜x＜0或x＞2 即原不等式解集为(－1，0）∪（2，＋∞）    12分

19、证明：由多面体P－ABCD的三视图知，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形,侧面PAD是等腰三角形,PA＝PD＝,且平面PAD⊥平面ABCD    3分

（1）连结AC，则F是AC的中点，在△CPA中，EF∥PA，且PA 平面PAD，EF 平面PAD 

∴ EF∥平面PAD        6分

（2）∵ 平面PAD⊥平面ABCD，其交线为AD，

CD 平面ABCD

    又 CD⊥AD，∴ CD⊥平面PAD，又CD 平面PAD 

    ∴ 平面PAD⊥平面PDC        9分

（3）由（1）知点P到平面ABCD的距离为1，则VP－ABCD＝×2×2×1＝    12分

20、解：（1）甲获胜有以下几种情况：

    ①两个小球上的数字均为1，此时，甲获胜的概率为    2分

    ②两个小球上的数字均为2，此时，甲获胜的概率为    4分

    ③两个小球上的数字均为2，此时，甲获胜的概率为    6分

     ∴ 甲获胜的概率 P＝    8分

（2）乙获胜的概率为：1－P＝1－0.38＝0.62        12分

21、解：（1）由于直线x＝4与圆C1不相交；

    ∴ 直线l的斜率存在，设l方程为：y＝k(x－4)    1分

    圆C1的圆心到直线l的距离为d，∵ l被⊙C1截得的弦长为2 

    ∴ d＝＝1        2分

    d＝从而k(24k＋7)＝0即k＝0或k＝－

    ∴直线l的方程为：y＝0或7x＋24y－28＝0    5分

（2）设点P（a, b）满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a), k≠0

    则直线l2方程为：y－b＝－(x－a)        6分

    ∵⊙C1和⊙C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，

    ∴⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等

    即＝    8分

    整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|

    ∴1＋3k＋ak－b＝±（5k＋4－a－bk）即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5

    因k的取值有无穷多个，所以或    10分

    解得或

    这样的点只可能是点P1(, －)或点P2(－, )

    经检验点P1和P2满足题目条件        12分

22、（1）解：a2＝, a3＝－, a4＝        3分

（2）证明：

        ＝＝        6分

    又b1＝a2－2＝－     ∴数列{bn}是公比为的等比数列

    bn＝(－)·＝－        8分

(3) 由(2)知cn＝n

    Sn＝＋2×＋3×＋……＋n        ①

    Sn＝＋2×＋……＋(n－1)＋n    ②    10分

    ①－②得：Sn＝＋＋＋……＋－n

        ＝－n·＝1－－    12分

    ∴Sn＝2－－＝2－

    ∴Sn－2＝－            14分