2020-2021中考数学二次函数综合经典题及答案解析

一、二次函数

1．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；

（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．

【解析】

【分析】

（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．

【详解】

（1）由题意得，

3

2

2

a b

b

a

+-

⎧

⎪

⎨

-⎪

⎩

＝

＝

，

解得

1

4 a

b-

⎧

⎨

⎩

＝

＝

，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x，

令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，

结合图象知，A的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，

设P （x ，x 2-4x ）,

∵PA ⊥BA

∴∠PAF+∠BAE=90°,

∵∠PAF+∠FPA=90°,

∴∠FPA=∠BAE

又∠PFA=∠AEB=90°

∴△PFA ∽△AEB, ∴PF AF AE BE =，即244213

x x x --=-， 解得，x= −1，x=4（舍去）

∴x 2-4x=-5

∴点P 的坐标为（-1，-5），

又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1

所以BP 与x 轴交点为（

14，0） ∴S △PAB=

115531524

⨯⨯+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

2．一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m.

(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图所示)，其表达式是2y ax c =+的形式.请根据所给的数据求出a ，c 的值.

(2)求支柱MN 的长度.

(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.

【答案】（1）y=-350

x 2+6；（2）5.5米；（3）一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车． 【解析】 试题分析：（1）根据题目可知A ．B ，C 的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）设N 点的坐标为（5，y N ）可求出支柱MN 的长度．

（3）设DN 是隔离带的宽，NG 是三辆车的宽度和．做GH 垂直AB 交抛物线于H 则可求解．

试题解析： (1) 根据题目条件，A 、B 、C 的坐标分别是(-10,0)、(0,6)、(10,0).

将B 、C 的坐标代入2y ax c =+，得 6,0100.c a c =⎧⎨=+⎩

解得3,650

a c =-=. ∴抛物线的表达式是23650y x =-

+. (2) 可设N (5,N y )，

于是2356 4.550

N y =-⨯+=. 从而支柱MN 的长度是10-4.5=5.5米.

(3) 设DE 是隔离带的宽，EG 是三辆车的宽度和，

则G 点坐标是(7,0)(7=2÷2＋2×3).

过G 点作GH 垂直AB 交抛物线于H ，则23176335050

H y =-

⨯+=+>. 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车.

3．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝x 2﹣2x +a ﹣3，当a ＝0时，抛物线与y 轴交于点A ，将点A 向右平移4个单位长度，得到点B ．

（1）求点B 的坐标；

（2）将抛物线在直线y ＝a 上方的部分沿直线y ＝a 翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M ，若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象，求a 的取值范围．

【答案】（1）A （0，﹣3），B （4，﹣3）；（2）﹣3＜a ≤0；

【解析】

（1）由题意直接可求A，根据平移点的特点求B；

（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y＝a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，AB与函数两个交点的临界点；

【详解】

解：（1）A（0，﹣3），B（4，﹣3）；

（2）当函数经过点A时，a＝0，

∵图形M与线段AB恰有两个公共点，

∴y＝a要在AB线段的上方，

∴a＞﹣3

∴﹣3＜a≤0；

【点睛】

本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键．

4．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为

S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）

（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）

【解析】

【分析】（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为，

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。

∴MN的最大值是。

（3）当MN取得最大值时，N。

∵的对称轴是，B（5，0），∴A（1，0）。∴AB=4。

∴。

由勾股定理可得。

设BC与PQ的距离为h，则由S1=6S2得：，即。

如图，过点B作平行四边形CBPQ的高BH，过点H作x轴的垂线交点E ，则

BH=，EH是直线BC沿y轴方向平移的距离。

易得，△BEH是等腰直角三角形，

∴EH=。

∴直线BC 沿y 轴方向平移6个单位得PQ 的解析式： 或

。 当时，与

联立，得 ，解得或。此时，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）。 当时，与

联立，得 ，解得或。此时，点P 的坐标为（2，－3）或（3，－4）。

综上所述，点P 的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）。

5．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a 为抛物线y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线2234323y x x =--+与其“衍生直线”交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与x 轴负半轴交于点C ．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A 的坐标为 ，点B 的坐标为 ；

（2）如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，求点N 的坐标；

（3）当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2323y=；（-2，231,0）； （2）N 点的坐标为（0，3-3），（0，23+3）；

（3）E （-1，43F （023）或E （-1，43），F （-4103） 【解析】

【分析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a 即可；（2）过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则可知AN=AC ，结合A 点坐标，则可求出ON 的长，可求出N 点的坐标；（3）分别讨论当AC 为平行四边形的边时，当AC 为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E 、F 坐标即可

【详解】

（1）∵2234323y x x =--+，a=23-，则抛物线的“衍生直线”

的解析式为2323y=x+33

-； 联立两解析式求交点22343232323

y=x+y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪-⎪⎩

，解得x=-2y=23⎧⎪⎨⎪⎩或x=1y=0⎧⎨⎩， ∴A （-2，23），B （1,0）；

（2）如图1，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，

在223432333

y x x =--+中，令y=0可求得x= -3或x=1， ∴C （-3,0），且A （-2，23），

∴AC=22-++2133=（23）（）

由翻折的性质可知AN=AC=13，

∵△AMN 为该抛物线的“衍生三角形”，

∴N 在y 轴上，且AD=2，

在Rt △AND 中，由勾股定理可得

DN=22AN -AD =13-4=3，

∵OD=23，

∴ON=23-3或ON=23+3，

∴N 点的坐标为（0，23-3），（0，23+3）；

（3）①当AC 为平行四边形的边时，如图2 ，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴

于点K ，则有AC ∥EF 且AC=EF ，

∴∠ ACK=∠ EFH ，

在△ ACK 和△ EFH 中

ACK=EFH AKC=EHF AC=EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩

∴△ ACK ≌△ EFH ，

∴FH=CK=1，

HE=AK=

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F 点的横坐标为0或-2，

∵点F 在直线AB 上，

∴当F 点的横坐标为0时，则F （0

，

3），此时点E 在直线AB 下方， ∴E 到y 轴的距离为

EH-OF=

，即E 的纵坐标为

∴ E （-1，

）； 当F 点的横坐标为-2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去；

②当AC 为平行四边形的对角线时，

∵ C （-3,0），且A （-2

，

∴线段AC 的中点坐标为（-2.5，

），

设E （-1，t ），F （x ，y ），

则x-1=2×（-2.5），

y+t=

∴x= -4，

y=，

×（-4）

，解得

t=， ∴E （-1

，-3

），F （-4

，3）； 综上可知存在满足条件的点F ，此时E （-1，

）或E （-1

，），F （-4

）

【点睛】

本题是对二次函数的综合知识考查，熟练掌握二次函数，几何图形及辅助线方法是解决本题的关键，属于压轴题

6．如图，已知抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），C （0，3）三点，其顶点为D ，对称轴是直线l ，l 与x 轴交于点H ．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若点P 是该抛物线对称轴l 上的一个动点，求△PBC 周长的最小值；

（3）如图（2），若E 是线段AD 上的一个动点（ E 与A 、D 不重合），过E 点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F ，交x 轴于点G ，设点E 的横坐标为m ，△ADF 的面积为S ． ①求S 与m 的函数关系式；

②S 是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E 的坐标； 若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2y x 2x 3=--+.

（2）3210.

（3）①2S m 4m 3=---.

②当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

【解析】

【分析】

（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可.

（2）根据BC 是定值，得到当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可.

（3）设点E 的横坐标为m ，表示出E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+），最后表示

出EF 的长，从而表示出S 于m 的函数关系，然后求二次函数的最值即可.

【详解】

解：（1）∵抛物线2y ax bx c =++经过A （－3，0），B （1，0），

∴可设抛物线交点式为()()y a x 3x 1=+-.

又∵抛物线2y ax bx c =++经过C （0，3），∴a 1=-.

∴抛物线的解析式为：()()y x 3x 1=-+-，即2y x 2x 3=--+.

（2）∵△PBC 的周长为：PB+PC+BC ，且BC 是定值.

∴当PB+PC 最小时，△PBC 的周长最小.

∵点A 、点B 关于对称轴I 对称，

∴连接AC 交l 于点P ，即点P 为所求的点.

∵AP=BP ，∴△PBC 的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC.

∵A （－3，0），B （1，0），C （0，3），∴2，10.

∴△PBC 的周长最小是：3210.

（3）①∵抛物线2y x 2x 3=--+顶点D 的坐标为（﹣1，4），A （﹣3，0），

∴直线AD 的解析式为y=2x+6

∵点E 的横坐标为m ，∴E （m ，2m+6），F （m ，2m 2m 3--+）

∴()22

EF m 2m 32m 6m 4m 3=--+-+=---. ∴

()

22DEF AEF 1111S S S EF GH EF AG EF AH m 4m 32m 4m 32222∆∆=+=⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅=⋅---⋅=---.

∴S 与m 的函数关系式为2S m 4m 3=---.

②()2

2S m 4m 3m 21=---=-++，

∴当m=﹣2时，S 最大，最大值为1，此时点E 的坐标为（﹣2，2）.

7．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=

14

x 与抛物线交于A 、B 两点，直线l 为y=﹣1． （1）求抛物线的解析式；

（2）在l 上是否存在一点P ，使PA+PB 取得最小值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F （x 0，y 0）为平面内一定点，M （m ，n ）为抛物线上一动点，且点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，求定点F 的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=

14

x 2﹣x+1．（2）点P 的坐标为（2813，﹣1）．（3）定点F 的坐标为（2，1）．

【解析】 分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a （x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A 、B 的坐标，作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值，根据点B 的坐标可得出点B′的坐标，根据点A 、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；

（3）由点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-

12-12

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0，由m 的任意性可得出关于x 0、y 0的方程组，解之即可求出顶点F 的坐标．

详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a （x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a ，解得：a=14

， ∴抛物线的解析式为y=14（x-2）2=14

x 2-x+1． （2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得： 214114y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩

＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，14

），点B 的坐标为（4，1）．

作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1，

∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0），

将A （1，14

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨⎪+-⎩＝＝，解得：131243

k b ⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-

1312x+43， 当y=-1时，有-

1312x+43=-1， 解得：x=2813

， ∴点P 的坐标为（

2813，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等，

∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2，

∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1．

∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，

∴n=14

m 2-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（

14m 2-m+1）+y 02=2（14m 2-m+1）+1， 整理得：（1-12-12

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴000220

001110

222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩

＝＝＝，

∴00

21x y ⎧⎨⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

8．在直角坐标系中，我们不妨将横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”。 （1）求函数

的图像上所有“中国结”的坐标；

（2）求函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图像上有且只有两个“中国结”，试求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标； （3）若二次函数y=2222(32)(241)k k x k k x k k -++-++-（k 为常数）的图像与x 轴

相交得到两个不同的“中国结”，试问该函数的图像与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”？

【答案】（1）（0,2）；（2）当k=1时，对应“中国结”为（1,1）（－1，－1）；当k=－1时，对应“中国结”为（1，－1），（－1,1）；（3）6个.

【解析】

试题分析：（1）因为x 是整数，x≠0

是一个无理数，所以x≠0

不是整数，所以x=0，y=2，据此求出函数

x+2的图象上所有“中国结”的坐标即可． （2）首先判断出当k=1时，函数y=k x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；然后判断出当k≠1时，函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”，据此求出常数k 的值与相应“中国结”的坐标即可． （3）首先令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0，则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0，求出x 1、x 2的值是多少；然后根据x 1、x 2的值是整数，求出k 的值是多少；最后根据横坐标，纵坐标均为整数的点称之为“中国结”，判断出该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有多少个“中国结”即可．

试题解析：（1）∵x 是整数，x≠0

是一个无理数，

∴x≠0

x+2不是整数，

∴x=0，y=2，

即函数

x+2的图象上“中国结”的坐标是（0，2）．

（2）①当k=1时，函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，1）、（﹣1、﹣1）； ②当k=﹣1时，函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”： （1，﹣1）、（﹣1，1）． ③当k≠±1时，函数y=k x

（k≠0，k 为常数）的图象上最少有4个“中国结”： （1，k ）、（﹣1，﹣k ）、（k ，1）、（﹣k ，﹣1），这与函数y=

k x （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”矛盾，

综上可得，k=1时，函数y=

k x （k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，1）、（﹣1、﹣1）；

k=﹣1时，函数y=

k x

（k≠0，k 为常数）的图象上有且只有两个“中国结”：（1，﹣1）、（﹣1、1）．

（3）令（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k=0，

则[（k ﹣1）x+k][（k ﹣2）x+（k ﹣1）]=0， ∴121{12k

x k k x k =

--=- ∴12122111

x x k x x +==++， 整理，可得

x 1x 2+2x 2+1=0，

∴x 2（x 1+2）=﹣1，

∵x 1、x 2都是整数，

∴211{

21x x =+=-或211{21x x =-+= ∴123

{1x x =-=或121

{1

x x =-=- ①当123

{1x x =-=时，

∵112k k

-=-， ∴k=

32； ②当121{

1x x =-=-时， ∵11k k

=--， ∴k=k ﹣1，无解；

综上，可得 k=32

，x 1=﹣3，x 2=1， y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k =[(32)2﹣3×32+2]x 2+[2×（32）2﹣4×32+1]x+（32）2﹣32

=﹣

14x 2﹣12x+34 ①当x=﹣2时，

y=﹣

14x 2﹣12x+34=﹣14×（﹣2）2﹣12×（﹣2）+34 =34

②当x=﹣1时， y=﹣

14x 2﹣12x+34 =﹣

14×（﹣1）2﹣12×（﹣1）+34 =1

③当x=0时，y=34

， 另外，该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中x 轴上的“中国结”有3个：

（﹣2，0）、（﹣1、0）、（0，0）．

综上，可得

若二次函数y=（k 2﹣3k+2）x 2+（2k 2﹣4k+1）x+k 2﹣k （k 为常数）的图象与x 轴相交得到两个不同的“中国结”，

该函数的图象与x 轴所围成的平面图形中（含边界），一共包含有6个“中国结”：（﹣3，0）、（﹣2，0）、（﹣1，0）（﹣1，1）、（0，0）、（1，0）．

考点：反比例函数综合题

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；

（3）符合条件的点P的坐标为（7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

），

【解析】

分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为

负倒数设直线PC的解析式为y=-1

3

x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为

y=-1

3

x+3，再解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

⎧-++

⎪

⎨

-+

⎪⎩

＝

＝

得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物

线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a，

∴﹣2a=2，解得a=﹣1，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；

当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），

设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得

3

p q

q

-+=

⎧

⎨

=

⎩

，解得

3

3

p

q

=

⎧

⎨

=

⎩

，

∴直线AC的解析式为y=3x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，

∴顶点D的坐标为（1，4），

作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），

∵MB=MB′，

∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，

而BD的值不变，

∴此时△BDM的周长最小，

易得直线DB′的解析式为y=x+3，

当x=0时，y=x+3=3，

∴点M的坐标为（0，3）；

（3）存在．

过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，

∵直线AC的解析式为y=3x+3，

∴直线PC的解析式可设为y=﹣1

3

x+b，

把C（0，3）代入得b=3，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3

x+3，解方程组

223

1

3

3

y x x

y x

⎧-++⎪

⎨

-+

⎪⎩

＝

＝

，解得

3

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

或

7

3

20

9

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

，则此时P点坐标为（

7

3

，

20

9

）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，

把A（﹣1，0）代入得

1

3

+b=0，解得b=﹣

1

3

，

∴直线PC的解析式为y=﹣1

3

x﹣

1

3

，

解方程组

223

11

33

y x x

y x

⎧-++

⎪

⎨

--

⎪⎩

＝

＝

，解得

1

x

y

=-

⎧

⎨

=

⎩

或

10

3

13

9

x

y

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=-

⎪⎩

，则此时P点坐标为（

10

3

，﹣

13

9

）.

综上所述，符合条件的点P的坐标为（

7

3

，

20

9

）或（

10

3

，﹣

13

9

）.

点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

10．如图①，抛物线2(1)

y x a x a

=-++-与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴交于点C，已知ABC

∆的面积为6.

(1)求a的值；

(2)求ABC

∆外接圆圆心的坐标；

(3)如图②，P是抛物线上一点，点Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，QPB

∆的面积为2d，且PAQ AQB

∠=∠，求点Q的坐标.

【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q()

4,1

-.

【解析】

【分析】

（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证

ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP =26，设出Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐标即可

【详解】

(1)解：由题意得()()1y x x a =---

由图知：0a ＜

所以A (,0a )，()10

B ,,()0,

C a - ()()112

ABC S a a ∆=-⋅-=6 34()a a =-=或舍

∴3a =-

(2)由(1)得A (-3,0)，()10

B ,,()0,3

C ∴直线AC 得解析式为：3y x =+

AC 中点坐标为33,22⎛⎫-

⎪⎝⎭

∴AC 的垂直平分线为：y x =- 又∵AB 的垂直平分线为：1x =-

∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11

x y =-⎧⎨=⎩ ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1).

(3)解：过点P 做PD ⊥x 轴

由题意得：PD =d ，

∴12ABP S PD AB ∆=⋅ =2d

∵QPB ∆的面积为2d

∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等

∴AQ PB ∥

设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =-

∴2123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1()0

x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),

由题意及PAQ AQB ∠=∠

易得：ABQ QPA ∆∆≌

∴BQ =AP =26

设Q (m ，-1)(0m ＜)

∴()2

21126m -+= 4m =-

∴Q ()4,1-.

【点睛】

本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a 表示出A 、B 、C 三点坐标；第二问关键在于找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB 的解析式

11．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）将沿x 轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m （m ＞0）交于M 、N 两点，求线段MN 的长度（用含m 的代数式表示）；

（3）在（2）的条件下，、交于A 、B 两点，如果直线y=m 与、的图象形成的封

【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．

（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．

（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．

试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，

∴，解得：，∴二次函数的解析式．

（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为

，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；

（3）由，消去y整理得到，设两个根为，则

CD===，由，消去y得到

，设两个根为，则

EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．

考点：二次函数综合题．

12．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；

（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．

【解析】

试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．

试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，

∴x1+x2=8，

由．

解得：．

∴B（2，0）、C（6，0）

则4m﹣16m+4m+2=0，

解得：m=，

∴该抛物线解析式为：y=；．

（2）可求得A（0，3）

设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵

∴

∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，

要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：

当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），

∵P（t，），∴PF=，

∴S△APC=S△APF+S△CPF

=

=

=，

此时最大值为：，

②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，

∴S△APC=S△APF﹣S△CPF=

=

=，

当t=8时，取最大值，最大值为：12，

综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；

（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，

Q（t，3），P（t，），

①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=2（舍），

②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，

若：△AOB∽△AQP，则：，

即：，

∴t=0（舍），或t=，

若△AOB∽△PQA，则：，

即：，

∴t=0（舍）或t=14，

∴t=或t=或t=14．

考点：二次函数综合题．

13．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．

（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；

（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；

②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的

值．

【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或

【解析】

试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；

（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；

②根据抛物线翻折理论即可解题；

（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题

试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，

∴对称轴为y=2；

∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；

∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；

（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，

整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；

∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；

∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；

②这两个点连线为y=﹣5；

将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；

∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，

（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，

则x=2时，y=2或者﹣2；

当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；

当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；

考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换

14．抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（m，0），与y轴交于C．

（1）若m=﹣3，求抛物线的解析式，并写出抛物线的对称轴；

（2）如图1，在（1）的条件下，设抛物线的对称轴交x轴于D，在对称轴左侧的抛物线上有一点E，使S△ACE=S△ACD，求点E的坐标；

（3）如图2，设F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在线段OG上是否存在点P，使

∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；（2）点E的坐标为E（﹣4，5）（3）当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG.

【解析】

试题分析：（1）利用待定系数法求二次函数的解析式，并配方求对称轴；（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），先根据已知条件求S△ACE=10，根据不规则三角形面积等于铅直高度与水平宽度的积列式可求得m的值，并根据在对称轴左侧的抛物线上有一点E，则点E 的横坐标小于﹣1，对m的值进行取舍，得到E的坐标；

（3）分两种情况：①当B在原点的左侧时，构建辅助圆，根据直径所对的圆周角是直角，只要满足∠BPF=90°就可以构成∠OBP=∠FPG，如图2，求出圆E与y轴有一个交点时的m值，则可得取值范围；②当B在原点的右侧时，只有△OBP是等腰直角三角形，

△FPG也是等腰直角三角形时满足条件，直接计算即可．

试题解析：（1）当m=﹣3时，B（﹣3，0），

把A（1，0），B（﹣3，0）代入到抛物线y=x2+bx+c中得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4；对称轴是：直线x=﹣1；

（2）如图1，设E（m，m2+2m﹣3），

由题意得：AD=1+1=2，OC=3，

S△ACE=S△ACD=×ADOC=×2×3=10，

设直线AE的解析式为：y=kx+b，

把A（1，0）和E（m，m2+2m﹣3）代入得，

，解得：，

∴直线AE的解析式为：y=（m+3）x﹣m﹣3，∴F（0，﹣m﹣3），

∵C（0，﹣3），∴FC=﹣m﹣3+3=﹣m，∴S△ACE=FC（1﹣m）=10，

﹣m（1﹣m）=20，m2﹣m﹣20=0，

（m+4）（m﹣5）=0，

m1=﹣4，m2=5（舍），

∴E（﹣4，5）；

（3）如图2，当B在原点的左侧时，连接BF，以BF为直径作圆E，当⊙E与y轴相切时，设切点为P，

∴∠BPF=90°，∴∠FPG+∠OPB=90°，∵∠OPB+∠OBP=90°，∴∠OBP=∠FPG，

连接EP，则EP⊥OG，

∵BE=EF，∴EP是梯形的中位线，∴OP=PG=2，

∵FG=1，tan∠FPG=tan∠OBP=，

∴，∴m=﹣4，

∴当﹣4≤m＜0时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG；

如图3，当B在原点的右侧时，要想满足∠OBP=∠FPG，

则∠OBP=∠OPB=∠FPG，∴OB=OP，

∴△OBP是等腰直角三角形，△FPG也是等腰直角三角形，

∴FG=PG=1，∴OB=OP=3，∴m=3，

综上所述，当﹣4≤m＜0或m=3时，在线段OG上存在点P，使∠OBP=∠FPG．

考点：二次函数的综合题.

15．如图，抛物线交轴于点，交轴于点，已知经过点的直线的表达式为．

（1）求抛物线的函数表达式及其顶点的坐标；

（2）如图①，点是线段上的一个动点，其中，作直线

轴，交直线于，交抛物线于，作∥轴，交直线于点，四边形为矩形．设矩形的周长为，写出与的函数关系式，并求为何值时周长最大；

（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点，使点构成的三角形是以为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

图① 图②

【答案】（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；

（2）L=-4m2-12m=-4（m+）2+9；

当m=-时，最大值L=9；

（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．【解析】

试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；

（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；

（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）

抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，

,

∴，

所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，

∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,

所以，顶点坐标为C（-1,4）．

（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．

因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．

由题意可知，AO=BO,

∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，

∴DE=EF．

L=4DE=-4m2-12m．

L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．

∵a=-4<0,

∴二次函数有最大值

当m=-时，最大值L=9．

（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．