高中数学数列压轴题练习(江苏)及详解

1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且•,

(Ⅰ)求数列的通项公式; 

(Ⅱ)数列满足,

①求数列的通项公式; 

②是否存在正整数m,,使得,,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.

解:(I)设数列的公差为d,则

由•,,得, 

计算得出 或(舍去). 

; 

(Ⅱ)①,, 

, 

, 

即,,,,

累加得:, 

也符合上式. 

故,.         

②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列, 

则

又,,, 

,即, 

化简得:

当,即时,,(舍去); 

当,即时,,符合题意. 

存在正整数,,使得,,成等差数列.

解析

(Ⅰ)直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; 

(Ⅱ)①把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式; 

②假设存在正整数m、,使得,,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案.

2.在数列中,已知,

(1)求证:数列为等比数列; 

(2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.

解:(1)证明:, 

又, 

,, 

故, 

是以3为首项,公比为3的等比数列

(2)由(1)知道,,

若为数列中的最小项,则对有恒成立, 

即对恒成立

当时,有; 

当时,有⇒; 

当时,恒成立, 

对恒成立. 

令,则对恒成立, 

在时为单调递增数列. 

,即

综上,

解析

(1)由,整理得:.由,,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; 

(2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 

当时,,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.

3.在数列 中,已知 , , ,设 为 的前n项和. 

(1)求证:数列 是等差数列; 

(2)求 ; 

(3)是否存在正整数p,q, ,使 , , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由.

 (1)证明:由,, 

得到, 

则

又, 

, 

数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; 

(2)由(1)可以推知:, 

所以,, 

所以,① 

,② 

①-②,得 

, 

, 

, 

所以

(3)假设存在正整数p,q,,使,,成等差数列. 

则, 

即

因为当时,, 

所以数列单调递减. 

又, 

所以且q至少为2, 

所以,

①当时,, 

又, 

所以,等式不成立. 

②当时,, 

所以

所以, 

所以,(数列单调递减,解唯一确定). 

综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.

解析

(1)把给出的数列递推式,,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; 

(2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; 

(3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.

4.已知n为正整数,数列 满足 , ,设数列 满足 

(1)求证:数列 为等比数列; 

(2)若数列 是等差数列,求实数t的值; 

(3)若数列 是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 的值.

 (1)证明:数列满足,, 

•,•, 

数列为等比数列,其首项为,公比为2; 

(2)解:由(1)可得:•, 

,

数列是等差数列,, 

, 

计算得出或12. 

时,,是关于n的一次函数,因此数列是等差数列. 

时,,,不是关于n的一次函数, 

因此数列不是等差数列. 

综上可得; 

(3)解:由(2)得, 

对任意的,均存在,使得成立, 

即有••, 

化简可得, 

当,,,对任意的,符合题意; 

当,,当时,, 

对任意的,不符合题意. 

综上可得,当,,对任意的,均存在, 

使得成立.

解析

(1)根据题意整理可得,•,再由等比数列的定义即可得证; 

(2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; 

(3)由(2)可得,对任意的,均存在,使得成立,即有••,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.

5.已知常数 ,数列 满足 ,  

(1)若 , , 

①求 的值; 

②求数列 的前n项和 ; 

(2)若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,求 的取值范围.

解:(1)①, 

, 

, 

, 

②,, 

当时,, 

当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列, 

数列的前n项和,, 

显然当时,上式也成立, 

; 

(2), 

,即单调递增. 

(i)当时,有,于是, 

,

若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 

即

,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 

当时,有.此时

于是当时,.从而

若数列中存在三项,,依次成等差数列,则有, 

同(i)可以知道:.于是有,,是整数,.于是,即.与矛盾. 

故此时数列中不存在三项,,依次成等差数列. 

当时,有

于是

此时数列中存在三项,,依次成等差数列. 

综上可得:

解析

(1)①,可得,同理可得,

②,,当时,,当时,,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出

(2),可得,即单调递增. 

(i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 

当时,有.此时.于是当时,.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在. 

当时,有.于是.即可得出结论.

6.已知两个无穷数列 和 的前n项和分别为 , , , ,对任意的 ,都有  

(1)求数列 的通项公式; 

(2)若 为等差数列,对任意的 ,都有 .证明: ; 

(3)若 为等比数列, , ,求满足 的n值.

解:(1)由,得, 

即,所以

由,,可以知道

所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列. 

故的通项公式为,

(2)证法一:设数列的公差为d, 

则, 

由(1)知,

因为,所以, 

即恒成立, 

所以,即, 

又由,得, 

所以

所以,得证. 

证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得, 

则,即, 

因为,所以

所以, 

因为,所以存在,当时,恒成立. 

这与“对任意的,都有”矛盾! 

所以,得证. 

(3)由(1)知,.因为为等比数列, 

且,, 

所以是以1为首项,3为公比的等比数列. 

所以,

则, 

因为,所以,所以

而,所以,即

当,2时,式成立; 

当时,设, 

则, 

所以, 

故满足条件的n的值为1和2.

解析

(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求; 

(2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证; 

方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证; 

(3)运用等差数列和等比数列的求和公式,求得,,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.

7.已知数列 , 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列  

(1)设数列 , 分别为等差、等比数列,若 , , ,求 ; 

(2)设 的首项为1,各项为正整数, ,若新数列 是等差数列,求数列  的前n项和 ; 

(3)设 是不小于2的正整数), ,是否存在等差数列 ,使得对任意的 ,在 与 之间数列 的项数总是 若存在,请给出一个满足题意的等差数列 ;若不存在,请说明理由.

解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 

根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增, 

所以,, 

所以,, 

所以, 

因为,,,

(2)设等差数列的公差为d,又,且, 

所以,所以

因为是中的项,所以设,即

当时,计算得出,不满足各项为正整数; 

当时,,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以; 

当时,,此时,只需取, 

由,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数解, 

所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以 

综上所述,数列的前n项和,或 

(3)存在等差数列,只需首项,公差 

下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有, 

即成立. 

由, 

所以首项,公差的等差数列符合题意

解析

(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,,计算得出或3,因数列,单调递增,,,可得,,利用通项公式即可得出. 

(2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得出. 

(3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.

8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,,都有,则称数列为“趋稳数列”.

(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;

(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;

(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,,都有,试计算:.

解:(1)根据题意可得,

即,两边平方可得,

计算得出;

(2)证明:由已知,设,

因且,

故对任意的,,都有,

,,

因,

,,,,,

,

,

,

即对任意的,,都有,故是“趋稳数列”;

(3)当时,

当时,,

同理,,

因,

,

即,

所以或  

所以  或  

因为,且,所以,从而,

所以,

.

解析

(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;

(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;

(3)由任意,,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.

9.已知首项为1的正项数列{an}满足+＜an+1an，n∈N*.

（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；

（2）设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn为数列{an}前n项的和，若Sn＜Sn+1＜2Sn，n∈N*，求q的取值范围；

（3）若a1，a2，…，ak（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，ak（k≥3）的公差.

解：（1）由题意，an＜an+1＜2an，

∴＜x＜3,

＜x＜2x，

∴x∈（2，3）.

（2）∵an＜an+1＜2an，且数列{an}是公比为q的等比数列，a1=1，

∴qn-1＜qn＜2qn-1，

∴qn-1(q-)＞0，qn-1(q-2)＜0，

∴q∈（，1）.

∵Sn＜Sn+1＜2Sn，当q=1时，S2=2S1，不满足题意，

当q≠1时，＜＜2•，

∴①当q∈（，1）时，

，即，

∴q∈（，1）.

②当q∈（1，2）时，，即，无解，

∴q∈（，1）.

（3）设数列a1，a2，…，ak（k≥3）的公差为d.

∵an＜an+1＜2an，且数列a1，a2，…，an成等差数列，

∴a1=1，

∴[1+(n-1)d]＜1+nd＜2[1+(n-1)d]，n=1，2，…，k-1，

∴，

∴d∈（-，1）.

∵a1+a2+…+ak=120，

∴Sk=k2+(a1-)k=k2+(1-)k=120，

∴d=，

∴∈（-，1），

∴k∈（15，239），k∈N*，

∴k的最小值为16，此时公差d=.

解析

【解题方法提示】

分析题意，对于（1），由已知结合完全平方公式可得an＜an+1＜2an，由此可得到关于a2，a3，a4的大小关系，据此列式可解得x的取值范围；

根据an＜an+1＜2an，以及等比数列的通项公式可得q∈（，1），再结合Sn＜Sn+1＜2Sn以及等比数列的前n项和公式分类讨论可得q的取值范围；

设公差为d，根据an＜an+1＜2an，以及等差数列的通项公式可得d∈（-，1），然后根据等差数列的前n项和公式结合题意可得d=，由此可解得k的取值范围，进而得到k的最小值和d的值.