求二面角的方法专题

一．二面角的平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角

二．二面角的平面角的特点：① 顶点在棱上；② 两条边分别在两个平面内；③ 与棱都垂直。

三．二面角的平面角的范围：

四．求二面角的平面角的方法：1.定义法（或垂面法）    图    A

2.三垂线法              图B

                            3.射影面积法            图C

典型例题：

方法一：定义法

1．已知，过点引所在平面的斜线与，分别成，角，求二面角的大小。

2．是所在平面外一点，连接，,则二面角的余弦值是_________________.

3．如图，正方体中，为棱的中点，那么截面和截面所成的二面角为______________

4．在中，,垂直平分,且分别交于，又,求二面角的大小。

5．如图，正方体的棱长为1，是的中点，求二面角的大小。

6．如图，已知点为正方体的棱的中点，求二面角的余弦值。

方法二：三垂线法：

7．如图所示，平面平面是正三角形，则二面角的平面角的正切角为___________________  （）

8．如图，矩形中，，沿对角线将向上折起，使点移至点，且在平面的射影在上。

（1）求二面角的平面角的余弦值。   （）

（2）求直线与平面所成角的正弦值。   （）

9．如图，已知是所在平面外一点，连接后，平面，求二面角的大小。   （答案：）

10．已知棱长为的正方体中，是棱的中点，是的中点，求截面和底面所成的角。

11．如图，已知,斜边在平面内，点不在内。分别与平面成角、角，求所在平面与平面所成的角。

12．如果二面角的平面角是锐角，点到和棱的距离分别为，求二面角的大小。

13．如图，已知直二面角，,线段与成的角，与成的角，过分别作的垂线分别是垂足，求二面角的大小。

14．如图，是二面角的棱上的两点，在面内，以为直径的半圆上有一点，若和成的角，求二面角的大小。

综合问题：

1．如图，二面角的平面为，为上一定点，且的面积为，过点作直线，使，且和平面成的角，当变化时，求面积的最大值。

2．是边长为1的正方形，分别是边上的点，∥，交于，沿折成直二面角。

（1）求证：无论怎样平行移动，的大小不变；

（2）求在怎样的位置时，和的距离最小，最小值是多少。

3．是边长为的棱形，，沿对角线折成的二面角后，求和间的距离。

4．如图，已知点是菱形所在平面外一点，，为边长等于2的正三角形，面与底面所成的二面角为。

（1）求点到平面的距离；

（2）求面与平面所成的二面角的大小。

5．如图，点是正方形所在平面外一点，平面,,是的中点，作交于点。

（1）证明：∥平面

（2）证明：平面

（3）求二面角的大小。

6.如图，线段是夹在互相垂直的平面之间，它和所成的角分别是，两点在这两个平面的交线上的射影是,且，求：

（1）的长；

（2）平面和平面所成的二面角的平面角的正弦值。

7．如图，在边长为的菱形中，平面，，为的中点。

（1）求证：平面平面

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的正切值。

8．在Ｒｔ△ABC中，两直角边的长分别为AC=ａ，BC=ａ沿斜边上的高CD将平面ACD折到平面，使平面平面BCD，求折叠后点D到平面的距离。

9．如图，设△的面积为S，BC=a，作DE∥BC，且分别交，于D，E，把△折起，使折起后的△ADE所在平面和平面BCED所成的角为（为常数，），问DE在何处时，A到BC的距离最小，并求出这个最小值。

10．在长方形ABCD中，P是CD上的一个动点，∠BAP=,沿AP把长方形拆成直二面角D-AP-B，设AB=a，BC=b，a＞b。（1）求BD=的函数式；（2）为何值时，BD最小，最小值为多少