上海市宝山区九年级上学期数学第一次月考试卷

一、选择题

1.线段b是线段a、c的比例中项，a=3，c=2，那么b的长度等于(    )            

A. ±                                        B. 6                                       C.                                        D. 

2.己知x：y=2：3，以下等式中正确的选项是(    )            

A. (x-y)：y=1：3               B. (x-y)：y=2：1               C. (x-y)：y=-1：3               D. (x-y)：y=-1：2

3.如果点C是线段AB的黄金分割点，那么以下线段比中比值不可为 的是(    )            

A.                                   B.                                   C.                                   D. 

4.以下命题中的真命题是(    )            

A. 两个直角三角形都相似

B. 假设一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形相似

C. 两个等腰三角形都相似

D. 两个等腰直角三角形都相似

5.如图，△ABC中，G是BC中点，E是AG中点，CE的延长线交AB于D，那么 的值为(    )  

A. 2                                          B. 3                                          C.                                           D. 

6.有以下命题： ．  

①如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，那么有 

②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项

③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB、BC的比例中项

④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，且AB=2，那么AC= -1

其中正确的有(    )

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个

二、填空题

7. ，那么 =________。    

8.如图，G为△ABC的重心，GN∥AC交BC于N，那么GN：AC=________。  

9.如图，AB∥CD，AD与BC交于点O，假设 ，那么 =________。  

10.两个相似三角形对应高的比为2：3，且这两个三角形的周长差为4，那么较小的三角形的周长为 ________。    

11.当两个相似三角形的相似比为________时，这两个相似三角形-定是-对全等三角形。    

12.如图，△ABC中，D、F在AB边上，E、G在AC边上，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，假设AG=15，那么EC的长为________。 

13.如图，△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，如果S△ABG=2， 那么S△ABC=________。  

14.如图，梯形ABCD中，点E、F分别在边AB、DC上，AD∥BC∥EF，BE：EA=1：2，假设AD=2，BC=5，那么EF=________。  

15.如图，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB=2cm，CD=5cm，点P到CD的距离是3cm，那么点P到AB的距离是________。  

16.如图，AB、CD都是BD的垂线，AB=4，CD=6，BD=14，P是BD上一点，联结AP、CP，所得两个三角形相似，那么BP的长是________。  

17.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，M为边BC上的点，联结AM(如以下列图)，如果将△ABM沿直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，那么点M到AC的距离是________。  

18.如图，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF，展开后再折叠-一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N，假设AD=2，那么MN=________。  

三、解答题。

19. ≠0，求代数式 ·(a+2b)的值。    

20.如图， ， 

求证：

〔1〕∠DAB=∠EAC；    

〔2〕DB·AC=AB·EC    

21.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边上，顶点D、G分别在边AB、AC上，△ABC的边BC=15，高AH=10，求：正方形DEFG的边长和面积。 

22.如图， 

点D、E分别在△4BC的边AB、AC上，DE∥BC

〔1〕假设S△ADE=2，S△BCE=7.5，求S△BDE；    

〔2〕假设S△BDE=m，S△BCE=n，求S△ABC(用m、n表示)    

23.如图，四边形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E 

〔1〕求证：AB·AF=CB·CD    

〔2〕AB=15cm，BC=9cm，P是射线DE上的动点，设DP=xcm(x> 0)，四边形BCDP的面积为ycm2  

①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值。

24.如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD= OA= ，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°。 

〔1〕直接写出D点的坐标；    

〔2〕设OE=x．AF=y，试确定y与x之间的函数关系；    

〔3〕当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△A'EF，求△A'EF与五边形OEFBC重叠局部的面积    

25.己知∠ABC=90°，AB=2，BC=3，AD∥BC，P为线段BD上的动点，点Q在射线AB上，且满足 (如图1所示) 

〔1〕当AD=2，且点Q与点B重合时(如图2所示)，求线段PC的长；    

〔2〕在图1中，联结AP，当AD= ，且点Q在线段AB上时，设点B、Q之间的距离为x， =y，其中S△APQ表示S△APQ的面积，S△PBC表示△PBC的面积，求y关于x的函数关系式，并写出函数定义域；    

〔3〕当AD答案解析局部

一、选择题

1.【解析】【解答】解：∵ 线段b是线段a、c的比例中项，

 ∴， 

 ∴b2=ac=3×2=6，

 ∴b=.

 故答案为：C.

【分析】根据比例中项的定义，得出比例式，根据比例的性质得出b2=ac，即可求出b的值.

2.【解析】【解答】解： ∵x：y=2：3，

 ∴〔x-y〕：y=〔2-3〕：3，

 即〔x-y〕：y=-1：3. 

故答案为：C.

【分析】 此题考查了比例的性质， 解题的关键是掌握比例的性质与变形． 由x：y=2：3，根据比例的性质，即可求得〔x-y〕：y=-1：3，即可求解.

3.【解析】【解答】解：∵ 点C是线段AB的黄金分割点，

 ∴AC2=AB•BC〔AC＞BC〕，

 ∴， 

 或BC2=AB•AC〔AC＜BC〕，

 ∴  ， 

 故A，B，D正确，C错误.

故答案为：C.

【分析】 此题考查黄金分割，把一条线段分成两局部，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值〔或， 作出判断即可求解．

4.【解析】【解答】解：A. 两个直角三角形不一定都相似，故A不符合题意；

 B. 假设一个直角三角形的两条边和另一个直角三角形的两条边成比例，那么这两个直角三角形不一定相似，故B不符合题意；

 C. 两个等腰三角形不一定都相似，故C不符合题意；

 D.两个等腰直角三角形都相似，故D符合题意. 

故答案为：D.

【分析】此题考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定方法逐项进行判断，即可求解.

5.【解析】【解答】解：如题，过点G作GF∥AB，交CD于点F，

 ∴∠DAE=∠EGF，

 ∵ G是BC中点，

 ∴F是CD的中点，

 ∴CF=DF，

 ∵ E是AG中点，

 ∴AE=GE，

 在△ADE和△GFE中，

 ， 

 ∴△ADE≌△GFE，

 ∴DE=EF，

 ∴.

 故答案为：B. 

【分析】过点G作GF∥AB，交CD于点F，根据平行线的性质及三角形中位线定理得出CF=DF，根据全等三角形的判定定理得出△ADE≌△GFE，得出DE=EF，即可求出.

6.【解析】【解答】解： ① 如果线段d是线段a、b、c的第四比例项，那么有，  故①正确；

 ②如果点C是线段AB的中点，AB：AC=2，AC：BC=1，不成比例，故②错误；

 ③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB、BC的比例中项，故③正确；

 ④如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，且AB=2，那么AC= -1，故④正确. 

故答案为：C.

【分析】 此题考查比例线段和黄金分割的概念，理解第四比例项、比例中项、黄金分割的概念是解题的关键.根据第四比例项、比例中项和黄金分割的概念，逐项进行判断，即可求解．

二、填空题

7.【解析】【解答】解：设， 

 ∴x=5k，y=3k，z=4k，

 ∴.

 故答案为：. 

【分析】根据比例的性质，设， 得出x=5k，y=3k，z=4k，代入原式进行计算，即可求解.

8.【解析】【解答】解：∵ G为△ABC的重心，

 ∴AM是△ABC的中线，MG：GA=1：2，

 ∴BM=CM，MG：MA=1：3，

 ∵ GN∥AC ，

 ∴△MGN∽△MAC，

 ∴ GN：AC==MG：MA=1：3.

 故答案为：1：3.

【分析】根据三角形的重心概念得出AM是△ABC的中线，MG：GA=1：2，得出MG：MA=1：3，根据相似三角形的判定与性质得出GN：AC==MG：MA，即可求解.

9.【解析】【解答】解：∵， 

 ∴

 ∵ AB∥CD，

 ∴△AOB∽△DOC，

 ∴， 

 ∴.

 故答案为：.

【分析】由AB∥CD，得出△AOB∽△DOC，得出， 即， 即可求解.

10.【解析】【解答】解： ∵两个相似三角形对应高的比为 2：3，

 ∴相似三角形的相似比为2：3，

 ∴相似三角形周长之比为2：3  ，

 设这两个三角形的周长分别为2x，3x，

 根据题意得：3x-2x=4，

 解得x=4，

 ∴2x=8，

 ∴ 较小的三角形的周长为8.

 故答案为：8. 

【分析】根据相似三角形的性质得出相似三角形周长之比为2：3  ，设这两个三角形的周长分别为2x，3x，根据题意列出方程，求出方程的解，即可求出较小的三角形的周长.

11.【解析】【解答】解：两个相似三角形的相似比为1时，这两个相似三角形一定是一对全等三角形.

 故答案为：1． 

【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确理解全等是特殊的相似是解题关键．直接利用全等三角形的性质得出答案．

12.【解析】【解答】解：∵ DE∥FG∥BC， AD：DF：FB=3：2：1，

 ∴ AE：EG：GC=3：2：1，

 ∴CE：AG=3：5，

 ∵ AG=15，

 ∴CE=9.

 故答案为：9.

 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出AE：EG：GC=3：2：1，根据比例的性质得出CE：AG=3：5，即可求出CE的长.

13.【解析】【解答】解： ∵△ABC的两条中线AD、BE相交于点G，

 ∴2GD=AG，

 ∵S△ABG=2，

 ∴S△ABD=3，

 ∵AD是△ABC的中线，

 ∴S△ABC=2S△ABD=6．

 故答案为：6． 

【分析】 此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 根据D，E分别是三角形的中点，得出G是三角形的重心，再利用重心的概念，得出2GD=AG，进而得到S△ABG：S△ABD=2：3，再根据AD是△ABC的中线，得出S△ABC=2S△ABD  ， 进而得到答案．

14.【解析】【解答】解：如图，延长BA，CD交于点K，

 ∵AD∥BC，

 ∴△KAD∽△KBC，

 ∴， 

 ∵BE：EA=1：2，

 ∴AK：EK=2：4=1：2，

 ∵AD∥EF，

 ∴△KAD∽△KEF，

 ∴， 

 ∴， 

 ∴EF=4.

 故答案为：4.

 【分析】延长BA，CD交于点K，由AD∥BC，得出△KAD∽△KBC，， 从而得出AK：EK=1：2，再由AD∥EF，得出△KAD∽△KEF，， 代入数值进行计算，即可求解.

15.【解析】【解答】解：设点P到AB的距离为h，

 ∵ AB∥CD， 

 ∴△PAB∽△PCD，

 ∴， 

 ∴， 

 ∴h=， 

 ∴ 点P到AB的距离是.

 故答案为. 

【分析】设点P到AB的距离为h，由AB∥CD， 得出△PAB∽△PCD，从而得到， 求出h的值，即可求解.

16.【解析】【解答】解：设BP=x，那么DP=14-x，

 分两种情况讨论：

 当∠APB=∠CPD时，△APB∽CPD，

 ∴， 

 ∴， 

 解得；

 当∠APB=∠PCD时，△APB∽PCD，

 ∴， 

 ∴， 

 解得x=12或x=2，

 ∴ BP的长是2或12或.

 故答案为：2或12或. 

【分析】此题考查相似三角形的性质，设BP=x，那么DP=14-x，分两种情况讨论：当∠APB=∠CPD时和当∠APB=∠PCD时，根据相似三角形的性质分别列出比例式，求出x的值，即可求解.

17.【解析】【解答】解：如图，△ABM沿着直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是点D，

  过点M作ME⊥AC于点E，

 ∴∠AEM=90°，

 ∵∠BAC=90°，

 ∴ME∥AB，

 ∴△CEM∽△CAB，

 ∴

 由翻折的性质得：∠BAM=∠MAE=∠BAC=45°，AD=AB=3，

 ∴∠AME=∠MAE=45°，

 ∴AE=EM，

 ∵D是AC的中点，

 ∴AC=2AD=6，

 ∴CE=AC-AE=6-BM，

 ∴， 

 ∴BM=2，

 ∴ 点M到AC的距离是 2.

 故答案为2.

 【分析】△ABM沿着直线AM翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，假设这个点是点D，

  过点M作ME⊥AC于点E，得出ME∥AB，△CEM∽△CAB，从而得出， 利用翻折的性质得出∠MAE=45°，AD=AB=3，进而得出AE=EM，CE=6-BM，代入比例式，求出BM的长，即可求解.

18.【解析】【解答】解： 设DH=x，那么CH=2-x，

由翻折的性质得：AE=DE=1，EH=CH=2-x，EM=BC=2，

在Rt△DEH中，DE2+DH2=EH2， 

即12+x2=〔2-x〕2， 

 解得：x=， 

 ∴DH=， EH=CH= ， 

 ∵∠MEH=∠C=90°，

∴∠AEN+∠DEH=90°，

∵∠ANE+∠AEN=90°，

∴∠ANE=∠DEH，

∵∠A=∠D，

∴△ANE∽△DEH，

 ∴

 ∴， 

 ∴NE=， 

 ∴MN=ME-NE=2-=.

 故答案为：.

【分析】设DH=x，那么CH=2-x，由翻折的性质得：AE=DE=1，EH=CH=2-x，利用勾股定理求出x的值，即求出DH和EH的长，再证明△ANE∽△DEH，得出， 求出EN的长，利用MN=ME-NE，即可求解.

三、解答题。

19.【解析】【分析】根据比例的性质得出a=b，再把原式化成， 把a=b代入进行计算，即可求解.

20.【解析】【分析】 此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是利用比证明相似三角形，利用相似三角形的性质得比例．

 〔1〕由可证△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应角相等，角的和差关系证明结论；

 〔2〕先证明△ADB和△AEC相似，得出  ， 即可得出结论．

21.【解析】【分析】 此题考查了相似三角形的判定与性质，关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程． 由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解即可.

22.【解析】【分析】〔1〕设S△BDE=x，根据三角形的面积公式得出， ， 根据平行线分线段成比例得出， 得出， 求出x，即可求解；

 〔2〕由〔1〕得出， ， ， 得出， 求出y，再利用S△ABC = S△ADE+ S△BDE+ S△BC  ， 进行计算即可求解.

23.【解析】【分析】〔1〕先证出△DFA∽△ACB  ， 得出， 即AB·AF=CB·AD，再根据AD=CD，即可求解；

 〔2〕①根据勾股定理求出AC的长，再根据线段垂直平分线的性质求出CF的长，利用梯形的面积公式，即可求出y关于x的函数关系式；

 ② 根据两点之间线段最短，当点P在AB上时，PA+PB最小即点P与E重合时，△PBC周长最小，从而利用勾股定理分别求得AC、AF、AE、DE的长，从而求得x的值，代入函数解析式，即可求出y的值．

24.【解析】【分析】 〔1〕过B作BM⊥x轴于M，求出AM=BM=， 由BD=， 得OA=4， 从而求出BC，CD的长，即可求出 D点的坐标；

 〔2〕作辅助线OD，在梯形DOAB中，可以求证OD=AB=3，然后根据角的度数，证△ODE∽△AEF即可得出y与x之间的函数关系；

 〔3〕分情况进行分析，①当EF=AF时，得出△AEF为等腰直角三角形，求出S△AEF和S梯形AEDB  ， 

 利用S四边形BDEF=S梯形AEDB-S△AEF  ， 即可求解；②当EF=AE时，△AEF为等腰直角三角形，得出四边形DEAB是平行四边形，求出AE=BD，即可求出S△A′EF；③当AE=AF时，△AEF为顶角等于45°的等腰三角形，由△ODE∽△AEF，得出OD=OE=3，求出AE=AF=， 过F作FH⊥AE于H，求出FH的长，利用三角形的面积公式，即可求出S△A′EF.

25.【解析】【分析】〔1〕根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠PQC=∠D=45°，根据， 得出PQ=PC，∠C=∠PQC=45°，从而得出∠BPC=90°，再利用PC=BC·sin45°，即可求解；

 〔2〕作PE⊥AB于E，PF⊥BC于F，先证出Rt△BEP∽Rt△BAD，得出， 设BE=4k，PE=3k，利用三角形的面积公式求出S△APQ和S△PBC  ， 根据， 即可求解；

 〔3〕先证出Rt△PCF∽Rt△PQE，得出∠FPC=∠EPQ，从而得出∠FPC+∠QPF=90°，即∠QPC=90°，即可求解.