湖北省武汉市东湖高新区2020-2021学年八年级上学期中数学试卷 解析版

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请把正确答案的代号字母填入答题卷）

1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

2．下列图形具有稳定性的是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

3．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（　　）

A．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F

4．已知等腰三角形的一边长为4cm，周长是18cm，则它的腰长是（　　）

A．4cm B．7cm C．10 cm D．4cm或7cm

5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS

6．用形状、大小完全相同的下列图形，不能进行平面镶嵌的是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形

7．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°

8．在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm

9．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

10．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

11．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为　      　．

12．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则n＝　   　．

13．如图是两个全等三角形，则∠1的大小是　    　．

14．已知△ABC的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O，则点O到边BC的距离为　              　．

15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，E，F分别是边BC，CD上的动点，当△AEF的周长最小时，∠EAF＝　   　°．

16．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，以CB为边作一个等边△BCD，则DA的最大值是　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．

求证：DC∥AB．

18．在△ABC中，如果∠A＝2∠B＝3∠C，那么你能判断△ABC是什么三角形吗？

19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC在网格中的位置如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上．将点A、B、C的横坐标和纵坐标都乘以﹣1，分别得到点A1、B1、C1．

（1）写出△A1B1C1，三个顶点的坐标　                　；

（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，在平面直角坐标系中画出△A2B2C2；

（3）若以点A、C、P为顶点的三角形与ABC全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠B，DF平分∠D，求证：BE∥DF．

21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5．

（1）求BC的长；

（2）求证：BD＝CD．

22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE交于点P且∠PBC＝∠PCB＝∠A．

（1）探究∠AEP与∠ADP的数量关系，并证明之；

（2）求证：BE＝CD．

23．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在的BD延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．

（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；

（3）如图3，当∠ABC＝45°，且AE∥BC时，求证：BD＝2EF．

24．如图，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0．

（1）如图1，求△AOB的面积；

（2）如图2，点C在线段AB上，（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；

（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．

2020-2021学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（上）期中数学试卷

参与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

【分析】轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、是轴对称图形，故本选项不合题意；

C、是轴对称图形，故本选项不合题意；

D、是轴对称图形，故本选项不合题意；

故选：A．

2．下列图形具有稳定性的是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

【分析】根据三角形具有稳定性解答．

【解答】解：具有稳定性的图形是三角形．

故选：A．

3．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（　　）

A．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D

C．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D D．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，看看每个选项是否符合定理即可．

【解答】解：

A、根据ASA即可推出△ABC≌△DEF，故本选项正确；

B、根据∠A＝∠E，∠B＝∠D，AB＝DE才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

C、根据AB＝DE，BC＝EF，∠B＝∠E才能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

D、根据AAA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；

故选：A．

4．已知等腰三角形的一边长为4cm，周长是18cm，则它的腰长是（　　）

A．4cm B．7cm C．10 cm D．4cm或7cm

【分析】根据等腰三角形的性质分为两种情况解答．

【解答】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是18﹣8＝10，此时4，4，10不能组成三角形，应舍去；

当4是底边时，腰长是（18﹣4）×＝7，

4，7，7能够组成三角形．此时腰长是7．

故选：B．

5．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（　　）

A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS

【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据定理得出即可．

【解答】解：画一个三角形A′B′C′，使∠A′＝∠A，A′B′＝AB，∠B′＝∠B，

符合全等三角形的判定定理ASA，

故选：A．

6．用形状、大小完全相同的下列图形，不能进行平面镶嵌的是（　　）

A．三角形 B．四边形 C．正五边形 D．正六边形

【分析】任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能组成镶嵌．同理四边形的内角和是360°，也能组成镶嵌．正六边形的每个内角是120°，正五边形每个内角是180°﹣360°÷5＝108°，其中180°，360°，120°能整除360°，所以不适用的是正五边形．

【解答】解：A、任意三角形的内角和是180°，放在同一顶点处6个即能密铺；

B、任意四边形的内角和是360°，放在同一顶点处4个即能密铺；

C、正五边形的每一个内角是180°﹣360°÷5＝108°，不能整除360°，所以不能密铺；

D、正六边形每个内角是120度，能整除360°，可以密铺．

故选：C．

7．如图，把长方形ABCD沿EF对折，若∠1＝50°，则∠AEF的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°

【分析】根据折叠的性质及∠1＝50°可求出∠BFE的度数，再由平行线的性质即可得到∠AEF的度数．

【解答】解：根据折叠以及∠1＝50°，得

∠BFE＝∠BFG＝（180°﹣∠1）＝65°．

∵AD∥BC，

∴∠AEF＝180°﹣∠BFE＝115°．

故选：B．

8．在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（　　）

A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm

【分析】先根据折叠的性质可得BE＝BC，DE＝CD，再求出AE的长，然后求出△ADE的周长＝AC+AE，即可得出答案．

【解答】解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，

∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），

∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），

故选：C．

9．一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500°，则这个多边形的边数是（　　）

A．8 B．9 C．10 D．11

【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，可以得到内角和一定是180度的整数倍，即可求解．

【解答】解：1500÷180＝8，

则正多边形的边数是8+1+2＝11．

故选：D．

10．如图，△ABC是等边三角形，F、G分别为AC和BC的中点，D在线段BG上，连接DF．以DF为边作等边△DFE，ED的延长线交AB于H，连接EC，则以下结论：①BF⊥AC；②∠AHD+∠AFD＝180°；③∠BCE＝60°；④当D在线段BG上（不与G点重合）运动时，DC＝FC+CE．其中正确的结论个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】由等边三角形的性质可得BF⊥AC，可判断①，由等边三角形的性质可求∠A+∠FDH＝180°，由四边形内角和定理可得∠AHD+∠AFD＝180°，可判断②，由“SAS”可证△CFE≌△GFD，可得CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，可判断③和④，即可求解．

【解答】解：∵△ABC是等边三角形，点F是AC中点，

∴BF⊥AC，故①正确，

∵△ABC和△EFD是等边三角形，

∴∠A＝∠EDF＝60°＝∠EFD，EF＝FD，

∴∠FDH＝120°，

∴∠A+∠FDH＝180°，

∴∠AHD+∠AFD＝180°，故②正确；

如图，连接FG，

∵F、G分别为AC和BC的中点，

∴CG＝AC＝CF＝BC，

又∵∠FCG＝60°，

∴△CFG是等边三角形，

∴CF＝FG＝CG，∠FCG＝60°＝∠FGC，

∴∠FGD＝120°，

∵∠CFG＝∠EFD＝60°，

∴∠CFE＝∠GFD，

在△CFE和△GFD中，

，

∴△CFE≌△GFD（SAS），

∴CE＝GD，∠FGD＝∠FCE＝120°，

∴CD＝CG+GD＝CF+CE，∠BCE＝60°，故③④正确，

故选：D．

二．填空题（共6小题）

11．在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为　（2，1）　．

【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案．

【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1）．

故答案为：（2，1）．

12．若从一个n边形的一个顶点出发，最多可以引9条对角线，则n＝　12　．

【分析】可根据n边形从一个顶点引出的对角线与边的关系：n﹣3，列方程求解．

【解答】解：设多边形有n条边，

则n﹣3＝9，解得n＝12．

故多边形的边数为12，即它是十二边形．

故答案为：12．

13．如图是两个全等三角形，则∠1的大小是　88°　．

【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据全等三角形的性质解答即可．

【解答】解：在△ABC中，∠B＝38°，∠C＝54°，

∴∠A＝180°﹣54°﹣38°＝88°，

∵两个三角形全等，

∴∠1＝∠A＝88°，

故答案为：88°．

14．已知△ABC的周长为30，面积为20，其内角平分线交于点O，则点O到边BC的距离为　　．

【分析】过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，根据三角形的内心和角平分线的性质得出OE＝OD＝OF，再根据三角形的面积公式求出即可．

【解答】解：如图，过O作OD⊥BC于D，OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB、OC，

∵O是△ABC内角平分线的交点，

∴OE＝OF＝OD，

∵△ABC的面积是20，

∴S△AOB+S△BOC+S△AOC＝20，

∴＝20，

∴（AB+BC+AC）×OD＝40，

∵△ABC的周长为30，

∴AB+BC+AC＝30，

∴OD＝＝，

即O到BC的距离是，

故答案为：．

15．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，E，F分别是边BC，CD上的动点，当△AEF的周长最小时，∠EAF＝　40　°．

【分析】据要使△AEF的周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边转化到同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，进而得出∠EAF＝110°﹣70°＝40°，即可得出答案．

【解答】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于E，交CD于F，则A′A″即为△AEF的周长最小值．作DA延长线AH，

在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，

∴∠DAB＝110°，

∴∠HAA′＝70°，

∴∠AA′E+∠A″＝∠HAA′＝70°，

∵∠EA′A＝∠EAA′，∠FAD＝∠A″，

∴∠EAA′+∠A″AF＝70°，

∴∠EAF＝110°﹣70°＝40°，

故答案为40．

16．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，以CB为边作一个等边△BCD，则DA的最大值是　5　．

【分析】如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．只要证明△ACB≌△OCD，推出OD＝AB＝2，推出点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，推出当D、O、A共线时，AD的值最大；从而求解．

【解答】解：如图，在直线AC的上方作等边三角形△OAC，连接OD．

∵△BCD，△AOC都是等边三角形，

∴CA＝CO，CB＝CD，∠ACO＝∠BCD，

∴∠ACB＝∠OCD，

在△ACB和∠OCD中，

，

∴△ACB≌△OCD（SAS），

∴OD＝AB＝2，

∴点D的运动轨迹是以O为圆心OD长为半径的圆，

∴当D、O、A共线时，DA的值最大，最大值为OA+OD＝3+2＝5．

故答案为：5．

三．解答题

17．如图，AC和BD相交于点O，OA＝OC，OB＝OD．

求证：DC∥AB．

【分析】由条件可证△AOB≌△COD，可求得∠A＝∠C，则可证得DC∥AB．

【解答】证明：

在△ODC和△OBA中

∴△ODC≌△OBA （SAS）；

∴∠C＝∠A，

∴DC∥AB（内错角相等，两直线平行）．

18．在△ABC中，如果∠A＝2∠B＝3∠C，那么你能判断△ABC是什么三角形吗？

【分析】根据三角形的内角和定理列方程即可得到结论．

【解答】解：∵∠A＝2∠B＝3∠C，

∴设∠C＝α，∠B＝α，∠A＝3α，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，

∴α+α+3α＝180°，

∴α＝（）°，

∴∠A＝（）°，∠B＝（）°，∠C＝（）°，

∵∠A＞90°，

∴△ABC是钝角三角形．

19．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC在网格中的位置如图所示，△ABC的三个顶点都在格点上．将点A、B、C的横坐标和纵坐标都乘以﹣1，分别得到点A1、B1、C1．

（1）写出△A1B1C1，三个顶点的坐标　A1（3，﹣1）、B1（1，﹣4）、C1（1，﹣1）　；

（2）若△ABC与△A2B2C2关于x轴对称，在平面直角坐标系中画出△A2B2C2；

（3）若以点A、C、P为顶点的三角形与ABC全等，直接写出所有符合条件的点P的坐标．

【分析】（1）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；

（2）纵坐标乘以﹣1变为原来的相反数，再根据网格结构找出对应点的位置，然后顺次连接即可；

（3）根据全等三角形对应边相等，分∠CAP＝∠ACB＝90°和∠ACP＝∠ACB＝90°两种情况讨论求解．

【解答】解：（1）A1（3，﹣1）、B1（1，﹣4）、C1（1，﹣1）；

故答案为：A1（3，﹣1）、B1（1，﹣4）、C1（1，﹣1）；

（2）如图所示，

（3）若∠CAP＝∠ACB＝90°，则点P的坐标为（﹣3，﹣2）或（﹣3，4），

若∠ACP＝∠ACB＝90°，则点P的坐标为（﹣1，﹣2），

综上所述，点P的坐标为（﹣3，﹣2）、（﹣3，4）、（﹣1，﹣2）．

20．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠B，DF平分∠D，求证：BE∥DF．

【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．

【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，

∴∠ABC+∠ADC＝180°，

∵BE平分∠B，DF平分∠D，

∴∠EBF+∠FDC＝90°，

∵∠C＝90°，

∴∠DFC+∠FDC＝90°，

∴∠EBF＝∠DFC，

∴BE∥DF．

21．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，∠BAD＝15°，AD＝AC，CE⊥AD于E，且CE＝5．

（1）求BC的长；

（2）求证：BD＝CD．

【分析】（1）求出∠BAC，求出∠CAD＝30°，求出AC＝2CE＝10，即可求出BC；

（2）过D作DF⊥BC于F，求出∠ECD＝∠DCF＝15°，证CE＝CF＝5，推出BF＝CF，根据线段垂直平分线的性质求出即可．

【解答】（1）解：在△ABC中，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，

∴∠BAC＝45°，

∵∠BAD＝15°，

∴∠CAD＝30°，

∵CE⊥AD，CE＝5，

∴AC＝10，

∴BC＝10；

（2）证明：过D作DF⊥BC于F

在△ADC中，∠CAD＝30°，AD＝AC，

∴∠ACD＝75°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠FCD＝15°，

在△ACE中，∠CAE＝30°，CE⊥AD，

∴∠ACE＝60°，

∴∠ECD＝∠ACD﹣∠ACE＝15°，

∴∠ECD＝∠FCD，

∴DF＝DE．

∵在Rt△DCE与Rt△DCF中，

，

∴Rt△DCE≌Rt△DCF（HL），

∴CF＝CE＝5，

∵BC＝10，

∴BF＝BC﹣CF＝5，

∴BF＝FC，

∵DF⊥BC，

∴BD＝CD．

22．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，BD，CE交于点P且∠PBC＝∠PCB＝∠A．

（1）探究∠AEP与∠ADP的数量关系，并证明之；

（2）求证：BE＝CD．

【分析】（1）根据三角形内角和定理证明∠BEP＝∠ADB，可得结论；

（2）作辅助线，构建三角形全等，证明△CFP≌△BEP，得CF＝BE，再证明CD＝CF可得结论．

【解答】解：（1）∠AEP+∠ADP＝180°，理由如下：

△CPB中，∠EPB＝∠PBC+∠PCB，

∵∠PBC＝∠PCB＝∠A，

∴∠A＝∠BPE，

∵∠ABD＝∠EBP，

∴∠ADB＝∠BEP，

∵∠BEP+∠AEP＝180°，

∴∠ADP+∠AEP＝180°；

（2）在PD上截取PF＝PE，连接CF，

∵∠PCB＝∠PBC，

∴PC＝PB，

在△CFP和△BEP中，

，

∴△CFP≌△BEP（SAS），

∴CF＝BE，∠CFP＝∠BEP，

∵∠BEP＝∠ADB，

∴∠ADP＝∠CFP，

∴∠CDF＝∠CFD，

∴CD＝CF，

∴CD＝BE．

23．在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AC上一动点，点E在的BD延长线上，且AB＝AE，AF平分∠CAE交DE于点F，连接FC．

（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ACF；

（2）如图2，当∠ABC＝60°时，求证：AF+EF＝FB；

（3）如图3，当∠ABC＝45°，且AE∥BC时，求证：BD＝2EF．

【分析】（1）利用SAS定理证明△ACF≌△AEF，根据全等三角形的性质得到∠E＝∠ACF，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠ABE，等量代换证明结论；

（2）在FB上截取BM＝CF，连接AM，证明△ABM≌△ACF，根据全等三角形的性质得到AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，进而证明△AMF为等边三角形，结合图形证明结论；

（3）延长BA、CF交于N，证明△BFN≌△BFC，得到CN＝2CF＝2EF，再证明△BAD≌△CAN，得到BD＝CN，等量代换得到答案．

【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAE，

∴∠EAF＝∠CAF，

∵AB＝AC，AB＝AE，

∴AE＝AC，

在△ACF和△AEF中，

，

∴△ACF≌△AEF（SAS），

∴∠E＝∠ACF，

∵AB＝AE，

∴∠E＝∠ABE，

∴∠ABE＝∠ACF；

（2）如图2，在FB上截取BM＝CF，连接AM，

∵△ACF≌△AEF，

∴EF＝CF，∠E＝∠ACF＝∠ABM，

在△ABM和△ACF中，

，

∴△ABM≌△ACF（SAS），

∴AM＝AF，∠BAM＝∠CAF，

∵AB＝AC，∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，

∴∠MAF＝∠MAC+∠CAF＝∠MAC+∠BAM＝∠BAC＝60°，

∵AM＝AF，

∴△AMF为等边三角形，

∴AF＝AM＝MF，

∴AF+EF＝BM+MF＝FB；

（3）如图3，延长BA、CF交于N，

∵AE∥BC，

∴∠E＝∠EBC，

∵AB＝AE，

∴∠ABE＝∠E，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵∠ABC＝45°，

∴∠ABF＝∠CBF＝22.5°，∠ACB＝45°，∠BAC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，

∴∠ACF＝∠ABF＝22.5°，

∴∠BFC＝180°﹣22.5°﹣45°﹣22.5°＝90°，

∴∠BFN＝∠BFC＝90°，

在△BFN和△BFC中，

，

∴△BFN≌△BFC（ASA），

∴CF＝FN，即CN＝2CF＝2EF，

∵∠BAC＝90°，

∴∠NAC＝∠BAD＝90°，

在△BAD和△CAN中，

，

∴△BAD≌△CAN（ASA），

∴BD＝CN，

∴BD＝2EF．

24．如图，点A（a，0）、B（0，b），且a、b满足（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0．

（1）如图1，求△AOB的面积；

（2）如图2，点C在线段AB上，（不与A、B重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论；

（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB，将线段PB绕点P顺时针旋转90°至PE，直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值，并求出该定值．

【分析】（1）根据非负数的性质得到a＝1，b＝1，得到OA＝1，OB＝1，于是得到结果；

（2）证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF根据已知条件得到∠BDF＝180°，由∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，同时代的∠BOD+∠AOC＝45°，求出∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，推出△ODF≌△ODC，根据全等三角形的性质得到DC＝DF＝DB+BF＝DB+DC；

（3）BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，由∠BAO＝∠PDF＝45°，得到∠PAB＝∠PD，E＝135°，根据余角的性质得到∠BPA＝∠PED，推出△PBA≌EPD，根据全等三角形的性质得到AP＝ED，于是得到FD+ED＝PF+AP．即：FE＝FA，根据等腰直角三角形的性质得到结论．

【解答】解：（1）∵（a﹣1）2+|2b﹣2|＝0，

∴a﹣1＝0，2b﹣2＝0，

∴a＝1，b＝1，

∴A（1，0）、B（0，1），

∴OA＝1，OB＝1，

∴△AOB的面积＝×1×1＝；

（2）如图2，证明：将△AOC绕点O逆时针旋转90°得到△OBF，

∵∠OAC＝∠OBF＝∠OBA＝45°，∠DBA＝90°，

∴∠BDF＝180°，

∵∠DOC＝45°，∠AOB＝90°，

∴∠BOD+∠AOC＝45°，

∴∠FOD＝∠BOF+∠BOD＝∠BOD+∠AOC＝45°，

在△ODF与△ODC中，

，

∴△ODF≌△ODC（SAS），

∴DC＝DF，DF＝BD+BF，故CD＝BD+AC；

（3）解：BQ是定值，作EF⊥OA于F，在FE上截取PF＝FD，

∵∠BAO＝∠PDF＝45°，

∴∠PAB＝∠PDE，∠PED＝135°，

∴∠BPA+∠EPF＝90°，∠EPF+∠PED＝90°，

∴∠BPA＝∠PED，

在△PBA与△EPD中，

，

∴△PBA≌EPD（SAS），

∴AP＝ED，

∴FD+ED＝PF+AP，

即：FE＝FA，

∴∠FEA＝∠FAE＝45°，

∴∠QAO＝∠EAF＝∠OQA＝45°，

∴OA＝OQ＝1，

∴BQ＝2．