多种解法的高考压轴导数题

（1）若，求的单调区间

（2）若当时，求的取值范围

解：（1）时，，.

当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加

（II）

由（I）知，当且仅当时等号成立.故

        ，

从而当，即时，，而，

于是当时，.

    由可得.从而当时，

        ，

故当时，，而，于是当时，.

    综合得的取值范围为.

方法二：（2）当时成立， 

  当时，即   

  设    所以

  设  则

  所以在是增函数，即

  所以在是增函数，即即

  所以在是增函数，应在取得最小值

又因为（由罗比达法则）当时， 

所以的取值范围为

（2011年课标全国卷21）已知函数，曲线在点处的切线方程为

（1）求的值

（2）如果当，且时，，求k的取值范围

解：（Ⅰ） 

    由于直线的斜率为，且过点，故即

                            解得，。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以

                。

考虑函数，则。

(i)设，由知，当时，。而，故

当时，，可得；

当x（1，+）时，h（x）<0，可得h（x）>0

从而当x>0,且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.

（ii）设00,故h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

（iii）设k1.此时h’ （x）>0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得h（x）<0,与题设矛盾。

        综合得，k的取值范围为（-，0]

方法二：（2）由题意得：即

   即    设

   即    

   设    则

   所以

   因为当时，，当时

   所以在递增，在上递减    所以

   所以在递增，又因为

   所以在上小于0  在上大于0

   即在上递减，在上递增

  所以在处取最小值，（由罗比达法则）当时，

  所以的取值范围是

8、（2010辽宁21）已知函数

 （1）讨论函数的单调性

 （2）设，如果对任意，求的取值范围

解：

  方法二：（2）因为当时，在递减

     对于任意即可以看做是图像上任意两点连线的斜率，因此在图像上一定存在一点处的切线的斜率的绝对值等于

即，因为，时，

所以，即在上恒成立

所以只需解得，  所以取值范围为

9、（2009辽宁21）已知函数

 （1）讨论函数的单调性

 （2）证明：若，则对任意，，有

解：(1)的定义域为。

2分

（i）若即,则

故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，;

当及时， 

故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

(II)考虑函数

则

由于1方法二，（2）因为对任意，，有看做是图像上任意两点连线的斜率，所以在图像上一定存在一点处的切线的斜率的等于

  所以只需证明

 又因为，所以

所以只需证明

只需证明       只需证  即

所以原结论成立

10、（2011辽宁21）已知函数

 （1）讨论的单调性

 （2）设证明：当时， 

 （3）若函数的图像与轴交于A,B两点，线段AB的中点坐标为，证明： 

（I）

   （i）若单调增加.

   （ii）若

且当

所以单调增加，在单调减少.  ………………4分

   （II）设函数则

当.

故当，   ………………8分

（III）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，

故，从而的最大值为

不妨设

由（II）得

从而

由（I）知，   ………………12分

方法二（3）由（I）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，所以

因为所以只需证  即只需证

不妨设

只需证   又因为在单调递减.

所以只需证

而由（2）可知

所以原结论成立

1、已知函数

（1）若函数在区间上递增，在区间上递减，求的值

（2）在（1）的条件下，是否存在实数m，使得函数的图像与函数的图像恰有三个交点，若存在，请求出m的取值范围，若不存在，试说明理由

解：（1），因为函数在区间上递增，在区间上递减，所以， 

  （2）设函数

   因为的图像与函数的图像恰有三个交点，所以方程=0有三个不同的解

   且    所以

2、已知函数

（1）若，求的值

（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围

解：（1）当时，，当时， 

        有条件可知，即，解得

       所以

（2）当时，，即

   因为，所以     

  所以m的取值范围是

3、已知函数，其中

（1）若曲线在点处的切线方程为，求函数的解析式

（2）讨论函数的单调性

（3）若对于任意的不等式在上恒成立，求b的取值范围

解：（1），由导数的几何意义得，得

  由切点在直线上可得，所以，所以

  （2）    

当时，所以在内是增函数

当时令解得

（3）由（2）知在上的最大值为与中的较大者，对于任意的不等式在上恒成立，当且仅当

即对成立，所以b的取值范围为

4、已知，函数

（1）当为何值时，取得最小值？证明你的结论

（2）设在是单调函数，求的取值范围

解：（1）

令解得其中

而当时，所以函数在处取得最小值。

（2）当时，在时单调函数的充要条件是，即

      ，解得

   综上所述的取值范围是

5、已知函数

（1）求的单调区间和值域

（2）设，函数，若对于任意总存在，使得成立，求的取值范围

解：（1），令解得或

当时，值域为

（2），因为，当时， 

  所以在上，函数是减函数，所以在上， 

  即

对于时， 

若对于任意总存在，使得成立，

则即又因为，所以的取值范围是