高一下学期期中考试数学试题及答案

（ 考试时间：120分钟 分值：150分）

第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，B A sin sin < 则( )

A.

B.

C.

D.

的大小关系无法确定

2.cos 42cos 78sin 42cos168+= ( )

A . 12-

B. 1

2

C.

3．下列函数中，以

2

π

为最小正周期的偶函数是（ ） A ． y=sin2x+cos2x B ． y=sin2xcos2x C ． y=cos （4x+

2

π） D ． y=sin 22x ﹣cos 2

2x 4.在∆中,已知

，则角的度数为（ ）

A. B. C. D.

5.已知数列}{n a 满足*+∈+=N n a a n n ，11，且182=++a a a ，则)(log 9753a a a ++的 值为（ ） A ．﹣3

B ．3

C ．2

D ．﹣2

6.过点A （1，-1）， B （-1，1）且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ ） A ．2

2

(3)(1)4x y -++= B. 2

2

(3)(1)4x y ++-=

C. 2

2

(1)(1)4x y -+-= D. 2

2

(1)(1)4x y +++=

7.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示，

则该四棱锥的侧面积和体积分别是 （ ）

A ．,8

B ．83

C ．8

1),3+ D ．8,8

8.将2cos(

)36x y π=+的图象按向量(,2)4

a π=--

平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）

A ．2cos(

)234x y π=+- B ．2cos()234x y π=++ C ．2cos(

)2312x y π=--

D ．2cos()2312x y π=++ 9. 在△ABC 中，已知2

cos sin sin 2

A

C B =⋅，则三角形△ABC 的形状是( ) A.直角三角 B.等腰直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形 10.若实数x 、y 满足等式 2

2

(2)3x y -+=，那么

y

x

的最小值为( ) A.

B.

C.

- D.

11.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知72=a ，3a 为整数，且5S S n ≤，则公差d 为（ ） A. 1 B.2 C. 2- D.1-

12.过坐标轴上的点M 且倾斜角为060的直线被圆042

2

=-+y y x 所截得的弦长为32，则点 M 的个数为（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案直接答在答题纸上。

13.0

050

cos 20sin 10sin 3+= . 14．原点O 在直线l 上的射影为点(2,1)H -，则直线l 的方程为 .

15.设0απ≤≤，不等式2

8(8sin )cos 20x x αα-+≥对x R ∈恒成立，则α的取值范围 16．已知圆2

2

:(3)(4)1C x y -+-=，点(1,0),(1,0)A B -，点P 是圆上的动点，则2

2

||||d PA PB =+的最大值为________，最小值为________．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.( 本小题满分10分) 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒，

（1）求

sin sin a b

A B

++的值；（2）若a b ab +=，求ABC ∆的面积。

18. （本小题满分12分）

已知向量(sin ,sin )a x x = ，(cos ,sin )()b x x x R =∈

，若函数()f x a b =⋅ . （1）求()f x 的最小正周期；

（2）若[,]2x π

π∈，求()f x 的最小值及相应的x 值；

（3）若[0,]2

x π

∈，求()f x 的单调递减区间.

19．（本题满分12分）已知如图：四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ,

且AE =2EB BC ==,点F 为CE 上一点，且BF ⊥平面ACE . (1)求证：//AE 平面BFD ； (2)求二面角D BE A --的大小．

E

F D

C

B

A

20. (本小题满分12分)

在等差数列{}n a 中，已知前三项的和为3-，前三项的积为8. （1）求等差数列{}n a 的通项公式；

（2）若0d >，求数列{||}n a 的前n 项的和。

21. (本小题满分12分)

在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

2

3

2cos cos sin()sin cos()25

A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；

（Ⅱ）若a =，5b =，求向量BA 在BC

方向上的投影．

22.(本题满分12分）

已知圆C ：22270x y x +--=

（1）过点(3,4)P 且被圆C 截得的弦长为4的弦所在的直线方程

（2）是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 的中点D 到原点O 的距离恰好等于圆C 的半径，若存在求出直线l 的方程，若不存在说明理由

高一年级下学期 数学试题参

A 卷：AADB

B CBADD CC

B 卷：BBDCA CABD

C AC

13. 1 14. 250x y -+= 15. ]

,65[]6,0[ππ

π⋃

16. 74，34

17.（1）因为2c =，60C = ，由正弦定理

sin sin sin a b c

A B C

==，

得

sin sin sin sin a b a b A B A B +==+2sin sin 60c C === ，

∴

sin sin a b A B +=

+ 5分 （2）∵a b ab +=，由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-， 即2

2

2

2

4()3c a b ab a b ab ==+-=+-，所以2

()340ab ab --=， 解得4ab =或1ab =-（舍去），

所以11sin 422ABC S ab C ∆=

=⨯=. ………………………10分

18、解：211cos 2()sin cos sin sin 222x

f x a b x x x x -=⋅=+=+

1

)42

x π-+ ………………… 2分 (1) ()f x 的最小正周期为π； ………………… 4分

(2)当[,]2x ππ∈时，372[,]444x πππ-∈，∴当24x π-=x

sin(2)14

x π

-

＝-，(f x x 值和最值各2分）…… 8分

3[]444

x πππ

-∈-，

由sin y x =的图象知，在区间3[22]()22

k k k Z ππ

ππ++∈，上单调递减，

而333[][22]k Z []442224k k ππππππππ-++∈= ，（），解得3[]82

x ππ∈，．

∴()f x 的单调递减区间为3[

]82

ππ

，． ………………12分

19.（1）证明:连接AC 交BD 于G ，连结GF ，

ABCD 是矩形, ∴G 为AC 的中点；

由BF ⊥平面ACE 得：BF CE ⊥；

由EB BC =知：点F 为CE 中点……………………………2分

∴FG 为ACE ∆的中位线

∴FG //AE ；…………………………… 4分

∵ AE ⊄平面BFD ；FG ⊂平面BFD ；

∴ //AE 平面BFD ………………… 6分

（2）解：BF ⊥ 平面ACE,AE BF ∴⊥，,AE BC AE ⊥∴⊥平面BEC ，AE BE ∴⊥ ∴ BE ⊥平面ADE ，则BE DE ⊥；

∴ DEA ∠是二面角D BE A --的平面角；……………… 8分

在Rt ADE ∆

中，4DE =

==, ∴ 12

AD DE =,则030DEA ∠=； ∴ 二面角D BE A --的大小为030． …………………12分

20.(1)设等差数列n

a 的公差为d , 则2131

,2a a d a a d =+=+

由题意得1111333()(2)8

a d a a d a d +=-⎧⎨++=⎩ 解得123a d =⎧⎨=-⎩或143

a d =-⎧⎨=⎩ 所以由等差数列通项公式可得:

23(1)35n a n n =--=-+或43(1)37n a n n =-+-=-

所以35n a n =-+或37n

a n =-…………………6分

(2)当d 0>时，

.

371,2|||37|373

n n n a n n n -+=⎧=-=⎨-≥⎩记数列{}||n a 的前n 项和为

当1n =时, 14S =;当 22,5n S ==;

当3n ≥时, 23113,1022

n n S n n ≥=-+ 当2n =时,满足此式.

综上,241311101,22

n n S n n n n N *=⎧⎪=⎨-+>∈⎪⎩…………………12分 21.解（Ⅰ）由2

32cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-，得 3[cos()1]cos sin()sin cos 5

A B B A B B B -+---=-， 即3cos()cos sin()sin 5A B B A B B ---=-

. 则3cos()5A B B -+=-，即3cos 5A =-.……………………5分 （Ⅱ）由3cos 5A =-，0A π<<，得4sin 5

A =， 由正弦定理，有sin sin a b A B

=

，所以sin sin b A B a == 由题知a b >，则A B >，故4B π

=．

根据余弦定理，有2223525()5

c c =+-⨯⨯-，

解得1c =或7c =-（舍去）. 故向量BA 在BC

方向上的投影为||cos BA B =

……………………12分 22.（1）22270x y x +--=得：22(1)8x y -+=……………（1分）

当斜率存在时，设直线方程为4(3)y k x -=-，即340kx y k --+=

∴弦心距

2d ====，解得34

k = ∴直线方程为34(3)4

y x -=-，即3470x y -+=…………（4分） 当斜率不存在时，直线方程为3x =，符合题意

综上得：所求的直线方程为3470x y -+=或3x =…………（5分）

（2）（方法一）设直线l 方程为y x b =+，即0x y b -+=

∵在圆C 中，D 为弦AB 的中点，∴CD AB ⊥，∴1CD k =-，∴:1CD y x =-+

由1

y x b y x =+⎧⎨=-+⎩，得D 的坐标为11(,)22b b -+………………（7分）

∵D 到原点O 的距离恰好等于圆C =，

解得b =…（9分）

∵直线l 与圆C 相交于A 、B ，∴C 到直线l 的距离

d =<，

∴53b -<<…（11分）∴b =，则直线l 的方程为0x y --=…………（12分） （方法二）设直线l 方程为y x b =+，11(,)A x y ，22(,)B x y

由22270

y x b x y x =+⎧⎨+--=⎩得222(22)70x b x b +-+-= 由121x x b +=-，得

12122x x b +-=，12122y y b ++=，故D 的坐标为11(,)22

b b -+…………（7分）

∵D 到原点O 的距离恰好等于圆C =，

解得b =…（9分）

∵直线与圆C 相交于A 、B ，∴22(22)8(7)0b b ∆=--->得53b -<<…………（11分）

∴b =，则直线l 的方程为0x y --=…………………（12分）