吉林省实验中学2012—2013学年度上学期期中考试高二数学理试题

吉林省实验中学

2012—2013学年度上学期期中考试

高二数学理试题

命题人： 高志才           审题人：孙立文

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1． 平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆”，那么             （   ）

A．甲是乙成立的充分不必要条件    B．甲是乙成立的必要不充分条件

C．甲是乙成立的充要条件    D．甲是乙成立的非充分非必要条件

2．抛物线y=－x2的焦点坐标是                                        （   ）

  A．(－, 0)         B.(－, 0)         C.(0, －2)        D.(0, －4)

3．在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（a＞b＞0）的曲线大致是      （   ） 

4．为过椭圆中心的弦，为椭圆的右焦点，则面积的最大值是                                                 （    ）

5.下列命题的否定是真命题的是                                           (    )

A． x∈R，x2－2x＋2≥0    B.所有的菱形都是平行四边形

C． x∈R，｜x－1｜＜0    D. x∈R，使得x3＋＝0

6．在相距4k米的A、B两地, 听到炮弹爆炸声的时间相差2秒, 若声速每秒k 米, 则爆炸地点P必在                                                          (    )  

A. 以A，B为焦点, 短轴长为k米的椭圆上 .        

B. 以A，B为焦点, 实轴长为2k米的双曲线上 .

C. 以AB为直径的圆上.

D.以A，B为顶点, 虚轴长为k米的双曲线上.

7．如果点P在平面区域上，点Q在曲线：x2＋(y＋2)2＝1上，那么的最小值为                                                            （   ）

    A．－1         B．        C．        D． 

8．已知双曲线：，则以A(1，1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（   ）

A．3x－y－2＝0        B．x－3y＋2＝0      C．3x＋y－2＝0         D．不存在

9．已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若是的等比中项，是与的等差中项，则椭圆的离心率是                                                                   （   ）                                                         

A．            B．            C．           D． 

10．若直线与双曲线的左支交于不同的两点，那么的取值范围是                                                                    (    ) 

A.（）    B.（）       C.（）        D.（）

11.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是                                                              (    )

  　A.            B. 

  　C.              D. 

12.如图，过抛物线的焦点F的直线交抛   

物线于点A、B，交其准线于点C，若，且，

则此抛物线的方程为                      （     ）     

A.                 B.    

C.                  D. 

二、填空题

13. 若曲线表示双曲线，则的取值范围是                 。

14.已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为                        

15. 已知P：，，若是必要不充分条件，则m的取值范围为                。

16. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是                  

三、解答题：

17. （满分10分）在抛物线上求一点，使这点到直线的距离最短。

18（满分12分）已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根，q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根。若p或q 为真，p且q为假。求实数m的取值范围。

19. (满分12分) 已知双曲线过点A，它的渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）设F1和F2是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小.

20. (满分12分) 若直线y=x+t与椭圆相交于A、B两点，当t变化时，求|AB|的最大值．

21. （满分12分）如图，过抛物线上一定点P（）（），作两条直线分别交抛物线于A（），B（）．

（1）求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离；

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线AB的斜率是非零常数.

22.(满分12分)设A，B分别是直线和上的两个动点，并且，动点P满足．记动点P的轨迹为C．

（） 求轨迹C的方程；

（）若点D的坐标为（0，16），M、N是曲线C上的两个动点，且，求实数的取值范围．

参

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）

13.。       14.   

15.        。             16.           

三、解答题：

17. （满分10分）

解：设点，距离为，…………6分

      当时，取得最小值，此时为所求的点。…………10分

18（满分12分）

解：由题意，p， q中有且仅有一为真，一为假。

p真m>2，           …………4分

q真<01若p假q真，则1若p真q假，则m≥3。       …………11分

综上所述：m∈(1，2]∪[3，+∞)．               …………12分

19.（12分）

解（1）由渐近线方程知双曲线中心在原点，且渐近线上横坐标为的点的纵坐

标绝对值为

  ∴双曲线的焦点在轴上，设方程    ………………3分

∵双曲线过点   ①

又   ②

由①②得，∴所求的双曲线方程为   …………6分

（2）证|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1·d2=32

又由双曲线的几何性质知|d1－d2|=2a=6…………8分

  即有    ………………10分

又|F1F2|=2c=10   

△PF1F2是直角三角形，………………………………12分

20. (12分)解：以y= x +t代入，并整理得    ①

因为直线与椭圆相交，则△=，…………3分

所以，即，…………3分

设A（），B（），则A（），B（），且是方程①的两根．由韦达定理可得：，…………6分

所以，弦长|AB|2=+=2  =2[]

 =2[]…………9分

得 |AB|=     所以当t=0时，|AB|取最大值为．…………12分

21.（12分）

解：（I）当时， 

 又抛物线的准线方程为

由抛物线定义得，所求距离为…………3分

（2）设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为

 由， 

相减得,

故                          …………3分

同理可得,由PA，PB倾斜角互补知…………5分

 即,所以, 故       …………8分

 设直线AB的斜率为,由，,

相减得

   所以, 将代入得

   ，所以是非零常数              . …………12分

22.(满分12分)

解：（）设P（x，y），因为A、B分别为直线和上的点，

故可设，．

∵，∴∴………………2分

又，∴．        …………………3分

　　∴．

　即曲线C的方程为．      ………………………………………5分

（） 设N（s，t），M（x，y），则由，可得（x，y－16）= (s，t－16)．

     故，．   ……………………………………7分

   ∵M、N在曲线C上， ∴………………9分

   消去s得  ．

由题意知，且，解得．    ………………………10分

又，∴．解得（）．

故实数的取值范围是（）    ．…………………………12分