下学期高一数学期中考试卷

（满分：__150__分，答卷时间：__2_小时___分）

一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．)3

10sin(π

-

的值等于（ ） A ．

21 B ．－21 C ．23 D ．－

2

3

2. 已知向量(2,1)a =-，()4k =，b ．若⊥a b ，则实数k 的值是

A ．2k = B. 2k =- C. 8k = D. 8k =- 3. 如果点(tan ,cos )P θθ位于第三象限，那么角θ所在象限是

A ．第一象限

B ．第四象限

C . 第三象限 D. 第二象限

4.化简=--+CD AC BD AB （ ）. A.AD B.0 C.BC D.DA

5.已知3tan =α，则αααα22cos 9cos sin 4sin 2-+的值为（ ）. A.3 B.

10

21 C.

31 D.30

1 6．函数2cos 1y x =+的定义域是 （ ）

A ．2,2()3

3k k k Z π

πππ-

+

∈⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦ B ．2,2()66k k k Z ππππ-+∈⎡

⎤⎢⎥⎣⎦

C ．22,2()3

3k k k Z π

πππ+

+

∈⎡

⎤⎢⎥⎣

⎦

D ．222,2()3

3k k k Z ππππ-

+

∈⎡

⎤

⎢⎥⎣

⎦

7．要得到函数y=cos (4

2π

-x )的图象，只需将y=sin 2x 的图象 （ ）

A ．向左平移

2π个单位 B ．向右平移2π

个单位 C ．向左平移4

π个单位 D ．向右平移4π

个单位

8.不解三角形，下列判断正确的是（ ） A.7a =,14b =,

30A =,有两解 B.30a =,25b =,150

A =,有一解

C.6a =,9b =,45A =,有两解

D.9b =,10c =,60B =,无解

9．使函数sin(2)3cos(2)y x x ϕϕ=+++为奇函数，且在［0,

4

π

］上是减函数的φ的一个值为( ) A ．

3π B ．35π C ．32π D ．3

4π 10.定义运算⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡df ce bf ae f e d c b a ，如⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡1514543021，已知αβ+=π，2αβπ

-=，则=⎥

⎦

⎤

⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢

⎣⎡ββααααsin cos sin cos cos sin （ ）. A.00⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.10⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.11⎡⎤⎢⎥⎣⎦

二、填空题 (每小题4分 共20分)

11.在

ABC 中，a=4，b=43, A ∠= 30o 则B ∠=

12．已知一扇形的周长为20cm ，当这个扇形的面积最大时，半径R 的值为

13.已知

b =(3,1)-,

c =(4,3),a 满足()a b c =(9,18)-, 则a =

14．已知e 为一单位向量，a 与e 之间的夹角是120O ，而a 在e 方向上的投影为－2，则

||a = .

15. 给出下列四个命题：

①函数x x f sin )(=不是周期函数；

②把函数()2sin 2f x x =图像上每个点的横坐标伸长到原来的4倍，然后再向右平移6

π

个

单位得到的函数解析式可以表示为()12sin()2

6

g x x π

=-；

③函数2

()2sin cos 1f x x x =--的值域是]1,2-[；

④已知函数()2cos 2f x x =，若存在实数12x x 、，使得对任意x 都有

()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为

2

π； 其中正确命题的序号为 _（把你认为正确的序号都填上）。

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤。）

16、（本小题满分13分）

已知向量a 与b 的夹角为

23

π

，a =2,b =3,记 m = 32a b -,n =2a kb + （1）若m n ⊥，求实数k 的值。 （2）是否存在实数k ，使得m n ？说明理由。

17.（本小题满分13分）

（Ⅰ） 化简：

sin()cos(2)tan()

tan()sin()

παπααππαπα---+-----；

（Ⅱ）已知α为第二象限的角，化简：1sin 1cos cos sin .1sin 1cos αα

α

ααα

--+++

18、（本小题满分13分）

A 、

B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量两点间的距离的方法。

19、（本题满分13分）

已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0,0,||A ωϕπ>><）的一段图象如下图所示，

（1）求函数()f x 的解析式；

（2）求函数()f x 的单调增区间； （3）若3[,]84

x ππ

∈-

，求函数()f x 的值域.

20.（本小题满分14分）

已知向量33(cos

,sin )22x x =a ，(cos ,sin )22

x x =-b ，且[0,]2x π

∈，

()2||f x =⋅-λ+a b a b （λ为常数），求： （1）⋅a b 及||+a b ； （2）若)(x f 的最小值是2

3

-，求实数λ的值.

21（本小题满分14分）

如图，在等腰直角三角形OPQ ∆中，90POQ ∠=，22OP =，点M 在线段PQ 上． （1）若5OM =，求PM 的长；

（2）若点N 在线段MQ 上，且30MON ∠=，问：当POM ∠取何值时，OMN ∆的面积最小？并求出面积的最小值．

38

π 8π-

2

2-

下学期期中考

高一数学答案

一、 选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二、填空题 (每小题4分 共20分)

11、 60120o o 或 12、 5cm

13、 (1,2)- 14、 4； 15、 ①④

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16.（1）由于 a b cos 3a b θ==- 又因为m n ⊥，可得m n =0

所以m n =（32a b -）（2a k b +）=36-27k=0 得 k=

4

3

(2 ) 设存在实数k ，使得m n ，且设m n λ= 则 32a b -=λ（2a kb +）=2a k b λλ+ 又因为a ，b 不共线 所以 2λ=3 且 k λ2=-

则 λ=32， 4

3

k =-

17.解：（Ⅰ）

sin()cos(2)tan()

tan()sin()

παπααππαπα---+-----

sin cos tan()tan()[sin()]αααπαπα-=

+-+sin cos tan tan sin ααα

αα

-=

cos α=-. 题

号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

答

案 C C D B B D A B C A

（Ⅱ）1sin 1cos cos sin 1sin 1cos αα

α

α

αα

--+++ ()()2

2

2

2

1sin 1cos cos sin 1sin 1cos ααααα

α

--=+--·

1sin 1cos cos sin .cos sin ααα

ααα

--=+

∵α是第二象限角， ∴0sin ,0cos ><αα 上式=a a cos sin 1cos --⨯

α+α

α

αsin cos 1sin -⨯

sin 11cos sin cos αααα=-+-=-.

18.解：测量者可以在河岸边选定两点C 、D ，测得CD=a,并且在C 、D 两点分别测得∠BCA=α, ∠ACD=β, ∠CDB=γ, ∠BDA=δ.在⊿ADC 和⊿BDC 中，应用正弦定理得

计算出AC 和BC 后，再在⊿ABC 中，应用余弦定理计算出AB 两点间的距离

19、解：（1）由题意知： 2,2A ω== --------------------2分

3()2sin(2)4

f x x π

=+

--------------------4分 （2）由3222,2

42

k x k k Z π

ππ

ππ-

≤+

≤+∈得 --------------------6分 588

k x k ππ

ππ-

≤≤- 减区间为5[,],88k k k Z ππ

ππ--∈ --------------------9分 （3）值域为[2,2]- ------------------13分

[]

)

sin()

sin()(180sin )sin(δγβδγδγβδγ+++=++-+=a a AC []

)sin(sin )(180sin sin γβαγγβαγ++=

++-=a a BC α

cos 22

2BC AC BC AC AB ⨯-+=

20.解：（1）x x x x x b a 2cos 2

sin 23sin 2cos 23cos

=-=⋅， x x x x x x b a 222cos 22cos 22)2

sin 23(sin )2cos 23(cos ||=+=-++=+， ∵]2,0[π

∈x ， ∴0cos ≥x ， x b a cos 2||=+.

（2）2221)(cos 2cos 42cos )(λλλ---=-=x x x x f ， ∵]2,0[π

∈x ， ∴1cos 0≤≤x ，

①当0<λ时，当且仅当0cos =x 时，)(x f 取得最小值1-，这与已知矛盾；

②当10≤≤λ，当且仅当λ=x cos 时，)(x f 取得最小值221λ--， 由已知得23212-=--λ，解得2

1=λ； ③当1>λ时，当且仅当1cos =x 时，)(x f 取得最小值λ41-， 由已知得2341-

=-λ，解得85=λ，这与1>λ相矛盾. 综上所述，2

1=λ为所求.

21.本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）在OMP ∆中，45OPM ∠=︒，5OM =，22OP =，

由余弦定理得，2222cos 45OM OP MP OP MP =+-⨯⨯⨯︒，

得2430MP MP -+=，

解得1MP =或3MP =．

（Ⅱ）设POM α∠=，060α︒≤≤︒，

在OMP ∆中，由正弦定理，得

sin sin OM OP OPM OMP =∠∠， 所以()

sin 45sin 45OP OM α︒=︒+， 同理()sin 45sin 75OP ON α︒=

︒+

1

sin

2

OMN

S OM ON MON

∆

=⨯⨯⨯∠

()()

22

1sin45

4sin45sin75

OP

αα

︒

=⨯

︒+︒+

()()

1

sin45sin4530

αα

=

︒+︒++︒

()()()

1

31

sin45sin45cos45

22

ααα

=

⎡⎤

︒+︒++︒+

⎢⎥

⎣⎦

()()()

2

1

31

sin45sin45cos45

22

ααα

=

︒++︒+︒+

()()

1

31

1cos902sin902

44

αα

=

-︒++︒+

⎡⎤

⎣⎦

1

331

sin2cos2

444

αα

=

++

()

1

31

sin230

42

α

=

++︒

因为060

α

︒≤≤︒，30230150

α

︒≤+︒≤︒，所以当30

α=︒时，()

sin230

α+︒的最大值为1，此时OMN

∆的面积取到最小值．即230

POM

∠=︒时，OMN

∆的面积的最小值为843

-．