2022年高考数学真题-全国乙卷(文)

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）

文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{2,4,6,8,10},{16}M N x x ==−<<，则M N =I （ ）

A ．{2,4}

B ．{2,4,6}

C ．{2,4,6,8}

D ．{2,4,6,8,10}

2．设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（ ）

A ．1,1a b ==−

B ．1,1a b ==

C ．1,1a b =−=

D ．1,1a b =−=−

3．已知向量(2,1)(2,4)==−，a b ，则||−=a b （ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

4．分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h ），得如下茎叶图：

则下列结论中错误的是（ ）

A ．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4

B ．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8

C ．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4

D ．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6

5．若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +⎧⎪+⎨⎪⎩

则2z x y =−的最大值是（ ）

A ．2−

B ．4

C ．8

D ．12

6．设F 为抛物线2

:4C y x =的焦点，点A 在C 上，点(3,0)B ，若||||AF BF =，则||AB =（ ）

A ．2

B ．22

C ．3

D ．32

7．执行右边的程序框图，输出的n =（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

8．右图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]−的大致图像，则该函数是（ ）

A ．3231x x y x −+=+

B ．321y x =+

C ．22cos 1x x y x =+

D ．22sin 1

x y x =+ 9．在正方体1111ABCD A B C D −中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则（ ）

A ．平面1

B EF ⊥平面1BDD B ．平面1B EF ⊥平面1A BD

C ．平面1B EF ∥平面1A AC

D ．平面1B EF ∥平面11A C D

10．已知等比数列{}n a 的前3项和为168，5242a a −=，则6a =（ ）

A ．14

B ．12

C ．6

D ．3

11．函数()()cos 1sin 1f x x x x =+++在区间[]0,2π的最小值、最大值分别为（ ）

A ．ππ

22−， B ．3ππ22−， C ．ππ222−+， D ．3ππ222

−+， 12．已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）

A ．13

B ．

12 C 3 D ．22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若32236S S =+，则公差d =_______． 14．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．

15．过四点()()()()0,0,4,0,1,1,4,2−中的三点的一个圆的方程为______．

16．若()1ln 1f x a b x

+

+−=是奇函数，则a =_____，b =______． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）

记ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A −=−．

（1）若2A B =，求C ；

（2）证明：2222a b c =+.

18．（12分）

如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．

（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；

（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求三棱锥F ABC −的体积．

19．（12分）某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：2m ）和材积量（单位：3m ），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截面积i x 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量i y 0.25 0.40 0.22

0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 并计算得2

10.038i i x

==∑，21 1.6158i i y ==∑，10.2474i i i x y ==∑． （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为2

186m ．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数()()()()

1

22

11n i i

i n n i i i i x x y y r x x y y ===−−=−−∑∑∑ 1.6 1.377≈．

20．（12分）已知函数1()(1)ln f x ax a x x =−

−+． （1）当0a =时，求

()f x 的最大值；

（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 21．（12分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过3

(0,2),,12A B ⎛⎫−− ⎪

⎝⎭两点．

（1）求E 的方程；

（2）设过点(1,2)P −的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT TH =u u u r u u u r ，证明：直线HN 过定点．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中选定一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3,2sin x t y t

⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为πsin 03m ρθ⎛⎫+

+= ⎪⎝⎭

． （1）写出l 的直角坐标方程；

（2）若l 与C 有公共点，求m 的取值范围．

23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知a ，b ，c 都是正数，且3

332221a b c ++=，证明： （1）19

abc ≤

； （2）2a b c b c a c a b abc ++≤+++．