浙江省宁波市慈溪市2017-2018学年八年级(上)期末数学试卷(含解析)

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

2．（3分）三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

3．（3分）使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A．    B．    

C．    D．

4．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣1）    B．（﹣3，7）    C．（1，﹣1）    D．（1，7）

5．（3分）能说明命题：“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例是（　　）

A．c＝﹣1    B．c＝0    

C．c＝2    D．c＝m2（m为任意实数）

6．（3分）如图，能用AAS来判定△ACD≌△ABE需要添加的条件是（　　）

A．∠AEB＝∠ADC，BE＝CD    B．AC＝AB，∠B＝∠C    

C．AC＝AB，AD＝AE    D．∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C

7．（3分）已知，一次函数y＝ax﹣b的图象如图所示，则（　　）

A．a＞0，b＞0    B．a＞0，b＜0    C．a＜0，b＞0    D．a＜0．b＜0

8．（3分）若不等式组的解为x＜m，则m的取值范围为（　　）

A．m≤1    B．m＝1    C．m≥1    D．m＜1

9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（　　）

A．30°    B．36°    C．40°    D．45°

10．（3分）如图，在△ABC中作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是（　　）

A．P为∠ABC、∠BAC的平分线的交点    

B．P为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点    

C．P为AB、BC两边的垂直平分线的交点    

D．P为AB的垂直平分线与∠BAC的平分线的交点

11．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+m（m为常数）图象上两点（﹣2，y1），（﹣1，y2），则y1与y2的大小关系是　   　．

14．（3分）不等式2x﹣5＜0的正整数解为　   　．

15．（3分）定义：对于一次函数y＝kx+b，我们把点（b，k）称为这个一次函数的伴随点．已知一次函数y＝﹣2x+m的伴随点在它的图象上，则m＝　   　．

16．（3分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有两边的长为3，4，则斜边上的中线长为　   　．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，D为AC上一点，且BD＝BC，CD＝4，AD＝1，则AB的长为　   　．

18．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B（0，﹣3），直线l：y＝﹣x+4上点A的横坐标为2，把射线BA绕点B顺时针旋转45°，与直线l交于点C，则点C的坐标为　   　．

三、解答题（第19题5分，第20题6分，第21题7分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题12分，共66分）

19．（5分）解不等式组：．

20．（6分）计算：

21．（7分）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．

（1）求△AOB的面积；

（2）在该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标．

22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且

AE＝CF．

（1）求证：△ABE≌△CBF．

（2）若∠ACF＝70°，求∠EAC的度数．

23．（8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画等腰三角形，要求三个顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），用实线画四种图形，且分别符合下列各条件：

（1）面积为2（画在图1中）；

（2）面积为4，且三边与AB或AD都不平行（画在图2中）；

（3）面积为5，且三边与AB或AD都不平行（画在图3中）；

（4）面积为，且三边与AB或AD都不平行（画在图4中）．

24．（10分）已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．

（1）求点A的坐标；

（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值．

25．（10分）某校计划一次性购买排球和篮球，每个篮球的价格比排球贵30元；购买2个排球和3个篮球共需340元．

（1）求每个排球和篮球的价格：

（2）若该校一次性购买排球和篮球共60个，总费用不超过3800元，且购买排球的个数少于39个．设排球的个数为m，总费用为y元．

①求y关于m的函数关系式，并求m可取的所有值；

②在学校按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少？

26．（12分）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线CP不过点A，B，且不平分∠ACB，点B关于直线CP的对称点为E，直线AE交直线CP于点F．

（1）如图1，直线CP与线段AB相交，若∠PCB＝25°，求∠CAF的度数；

（2）如图1，当直线CP绕点C旋转时，记∠PCB＝α（0°＜α＜90°，且α≠45°）．

①∠FEB的大小是否改变，若不变，求出∠FEB的度数；若改变，请用含α的式子表示）．

②找出线段AF，EF，BC的数量关系，并给出证明．

（3）如图2，当直线CP在△ABC外侧，且0°＜∠ACP＜45°时．若BC＝5，EF＝8，求CF的长．

参与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）

1．（3分）下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．

【解答】解：A、不是轴对称图形，本选项错误；

B、不是轴对称图形，本选项错误；

C、是轴对称图形，本选项正确；

D、不是轴对称图形，本选项错误．

故选：C．

2．（3分）三角形两边长为2，5，则第三边的长不能是（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

【分析】根据三角形的三边关系求出第三边的范围即可得出结论．

【解答】解：设三角形的第三边为x，

∵三角形两边长为2，5，

∴根据三角形的三边关系得，5﹣2＜x＜5+2，

∴3＜x＜7，

∴第三边不能是7，

故选：D．

3．（3分）使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（　　）

A．    B．    

C．    D．

【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．

【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，

解得x≥2，

在数轴上表示如下：

．

故选：B．

4．（3分）在平面直角坐标系中，点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（　　）

A．（﹣3，﹣1）    B．（﹣3，7）    C．（1，﹣1）    D．（1，7）

【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

【解答】解：点M（﹣1，3），先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，得到的点的坐标为（﹣1+2，3﹣4），即（1，﹣1），

故选：C．

5．（3分）能说明命题：“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例是（　　）

A．c＝﹣1    B．c＝0    

C．c＝2    D．c＝m2（m为任意实数）

【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

【解答】解：∵当c＝﹣1时，﹣a＜﹣b，

∴c＝﹣1是“若a＞b，则ac≥bc”是假命题的反例．

故选：A．

6．（3分）如图，能用AAS来判定△ACD≌△ABE需要添加的条件是（　　）

A．∠AEB＝∠ADC，BE＝CD    B．AC＝AB，∠B＝∠C    

C．AC＝AB，AD＝AE    D．∠AEB＝∠ADC，∠B＝∠C

【分析】已知公共角∠A，根据三角形全等的判定方法，可知用AAS来判断△ACD≌△ABE，需要添加的条件应该是另一组对应角和一组对应边（注意不能是夹边就可以了）．

【解答】解：∠AEB＝∠ADC，CD＝BE，又∠A＝∠A符合要求AAS，A是可选的；

AC＝AB，∠C＝∠B，又∠A＝∠A符合的是ASA，而不是AAS，B不可选

AC＝AB，AD＝AE，又∠A＝∠A符合的是SAS，而不是AAS，C不能选；

∠AEB＝∠ADC，∠C＝∠B，不能判定全等，D错误；

故选：A．

7．（3分）已知，一次函数y＝ax﹣b的图象如图所示，则（　　）

A．a＞0，b＞0    B．a＞0，b＜0    C．a＜0，b＞0    D．a＜0．b＜0

【分析】根据一次函数的性质解答即可．

【解答】解：由图象可得：一次函数的图象经过二、四象限，所以可得：a＜0，

同时经过一象限，可得：b＞0，

故选：D．

8．（3分）若不等式组的解为x＜m，则m的取值范围为（　　）

A．m≤1    B．m＝1    C．m≥1    D．m＜1

【分析】先解不等式，然后根据解集为x＜m，可得结论．

【解答】解：，

∵不等式组的解集为x＜m，

∴m≤1．

故选：A．

9．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，且D为BC上一点，CD＝AD，AB＝BD，则∠B的度数为（　　）

A．30°    B．36°    C．40°    D．45°

【分析】求出∠BAD＝2∠CAD＝2∠B＝2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B，

【解答】解：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝BD，

∴∠BAD＝∠BDA，

∵CD＝AD，

∴∠C＝∠CAD，

∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C＝180°，

∴5∠B＝180°，

∴∠B＝36°

故选：B．

10．（3分）如图，在△ABC中作一点P，使点P到AB，AC两边的距离相等，且PA＝PB．下列确定点P的方法正确的是（　　）

A．P为∠ABC、∠BAC的平分线的交点    

B．P为AB的垂直平分线与∠ABC的平分线的交点    

C．P为AB、BC两边的垂直平分线的交点    

D．P为AB的垂直平分线与∠BAC的平分线的交点

【分析】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．

【解答】解：∵点P到AB，AC两边的距离相等，

∴点P在∠A的角平分线上；

又∵PA＝PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上，

∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．

故选：D．

11．（3分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示．则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1.5小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距40千米时，t＝或t＝，其中正确的结论有（　　）

A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【分析】由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为40，可求得t，可得出答案．

【解答】解：由图象可知A、B两城市之间的距离为300km，故①正确；

设甲车离开A城的距离y与t的关系式为y甲＝kt，

把（5，300）代入可求得k＝60，

∴y甲＝60t，

把y＝150代入y甲＝60t，可得：t＝2.5，

设乙车离开A城的距离y与t的关系式为y乙＝mt+n，

把（1，0）和（2.5，150）代入可得，解得，

∴y乙＝100t﹣100，

令y甲＝y乙可得：60t＝100t﹣100，解得t＝2.5，

即甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，

乙的速度：150÷（2.5﹣1）＝100，

乙的时间：300÷100＝3，

甲行驶的时间为5小时，而乙是在甲出发1小时后出发的，且用时3小时，即比甲早到1小时，故②错误；

甲、乙两直线的交点横坐标为t＝2.5，此时乙出发时间为1.5小时，即乙车出发1.5小时后追上甲车，故③错误；

令|y甲﹣y乙|＝40，可得|60t﹣100t+100|＝40，即|100﹣40t|＝40，

当100﹣40t＝40时，可解得t＝，

当100﹣40t＝﹣40时，可解得t＝，

又当t＝时，y甲＝40，此时乙还没出发，

当t＝时，乙到达B城，y甲＝260；

综上可知当t的值为或或或t＝时，两车相距40千米，故④不正确；

故选：A．

12．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＜∠B，且∠A≠30°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点P在△ABC的其他边上，则可以画出不同的点P的个数为（　　）

A．4    B．5    C．6    D．7

【分析】①以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；

②以A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点P，△ACP就是等腰三角形；

③以C为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点P，△BCP就是等腰三角形；

④以C为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点P，△BCP就是等腰三角形；

⑤作AB的垂直平分线交AC于P，则△APB是等腰三角形；

⑥作BC的垂直平分线交AB于P，则△BCP和△ACP是等腰三角形．

【解答】解：如图：

故选：C．

二、填空题（每小题3分，共18分）

13．（3分）已知一次函数y＝﹣3x+m（m为常数）图象上两点（﹣2，y1），（﹣1，y2），则y1与y2的大小关系是　y1＞y2　．

【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以解答本题．

【解答】解：∵一次函数y＝﹣3x+m，k＝﹣3，

∴该函数y随x的增大而减小，

∵一次函数y＝﹣3x+m（m为常数）图象上两点（﹣2，y1），（﹣1，y2），

∴y1＞y2，

故答案为：y1＞y2．

14．（3分）不等式2x﹣5＜0的正整数解为　1，2　．

【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据不等式的解集找出即可．

【解答】解：2x﹣5＜0，

移项得：2x＜5，

不等式的两边都除以2得：x＜，

∴不等式的正整数解是1，2，

故答案为：1，2．

15．（3分）定义：对于一次函数y＝kx+b，我们把点（b，k）称为这个一次函数的伴随点．已知一次函数y＝﹣2x+m的伴随点在它的图象上，则m＝　2　．

【分析】根据题意可以求得一次函数y＝﹣2x+m的伴随点，然后根据一次函数y＝﹣2x+m的伴随点在它的图象上，从而可以求得m的值．

【解答】解：由题意可得，

y＝﹣2x+m的伴随点是（m，﹣2），

∵一次函数y＝﹣2x+m的伴随点在它的图象上，

∴﹣2＝﹣2m+m，

解得，m＝2，

故答案为：2．

16．（3分）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，有两边的长为3，4，则斜边上的中线长为　2或2.5　．

【分析】分两种情况：①4为斜边；②4为直角边，根据勾股定理可求得斜边的长，从而不难求得斜边上的中线．

【解答】解：①4为斜边，斜边上的中线长为2；

②4为直角边，

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝3，b＝4，

∴c＝5，

∴斜边上的中线长为2.5．

故斜边上的中线长为2或2.5．

故答案为：2或2.5．

17．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，D为AC上一点，且BD＝BC，CD＝4，AD＝1，则AB的长为　2　．

【分析】作BE⊥CD于E，根据等腰三角形的性质求出DE，根据直角三角形的性质得到BE＝AB，根据勾股定理列式计算，得到答案．

【解答】解：作BE⊥CD于E，

∵BC＝BD，BE⊥CD，

∴DE＝EC＝CD＝2，

∴AE＝AD+DE＝3，

在Rt△ABE中，∠A＝30°，

∴BE＝AB，

由勾股定理得，AB2＝BE2+AE2，即AB2＝（AB）2+32，

解得，AB＝2，

故答案为：2．

18．（3分）如图，平面直角坐标系中，点B（0，﹣3），直线l：y＝﹣x+4上点A的横坐标为2，把射线BA绕点B顺时针旋转45°，与直线l交于点C，则点C的坐标为　（7，）　．

【分析】将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到A'B，过点A作AE⊥y轴，过点A'作A'F⊥y轴．可证△ABE≌△BA'F，可得A'点坐标，即可求直线AA'解析式和直线BC解析式，

直线BC解析式与直线AC解析式组成方程组可求点C的坐标．

【解答】解：如图：将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到A'B，过点A作AE⊥y轴，过点A'作A'F⊥y轴．

∵点A在直线y＝﹣x+4上，且横坐标为2，

∴y＝3

∴点A坐标为（2，3）

∵点A（2，3），点B（0，﹣3）

∴AE＝2，BE＝6

∵旋转

∴AB＝A'B，∠ABA'＝90°

∴∠ABE+∠A'BF＝90°，且∠ABE+∠EAB＝90°

∴∠A'BF＝∠EAB，且AB＝A'B，∠AEB＝∠A'FB＝90°

∴△ABE≌△BA'F

∴AE＝BF＝2，A'F＝6

∴点A'（6，﹣5）

设直线AA'解析式为y＝kx+b

∴

解得：k＝﹣2，b＝7

∴解析式y＝﹣2x+7

∵AB＝A'B，∠ABA'＝90°，∠ABC＝45°

∴BC⊥AA'

∴BC解析式y＝x﹣3

∴

解得：x＝7，y＝

∴点C坐标为（7，）

故答案为（7，）

三、解答题（第19题5分，第20题6分，第21题7分，第22、23题各8分，第24、25题各10分，第26题12分，共66分）

19．（5分）解不等式组：．

【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【解答】解：，

由①得 x﹣3x≤2，x≥﹣1；

由②得 3（x﹣1）＜2x，3x﹣2x＜3，x＜3，

故此不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．

20．（6分）计算：

【分析】直接利用立方根以及算术平方根的性质化简各数得出答案．

【解答】解：原式＝2﹣﹣﹣1+2

＝1．

21．（7分）如图，一次函数y＝﹣2x+4的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．

（1）求△AOB的面积；

（2）在该一次函数图象上有一点P到x轴的距离为6，求点P的坐标．

【分析】（1）根据题意可求A，B两点坐标，即可求△AOB的面积．

（2）由点P到x轴的距离为6，即|y|＝6，可得y＝±6，代入解析式可求P点坐标．

【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，当y＝0时，x＝2

∴A（2，0），B（0，4）

∴AO＝2，BO＝4

∴S△AOB＝AO×BO＝4

（2）∵点P到x轴的距离为6

∴点P的纵坐标为±6

∴当y＝6时，6＝﹣2x+4

∴x＝﹣1，即P（﹣1，6）

当y＝﹣6时，﹣6＝﹣2x+4

∴x＝5，即P（5，﹣6）

∴P点坐标（﹣1，6），（5，﹣6）

22．（8分）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点E在BC上，点F在AB的延长线上，且

AE＝CF．

（1）求证：△ABE≌△CBF．

（2）若∠ACF＝70°，求∠EAC的度数．

【分析】（1）由AB＝CB，∠ABC＝90°，AE＝CF，即可利用HL证得Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）由AB＝CB，∠ABC＝90°，即可求得∠CAB与∠ACB的度数，即可得∠FBC的度数，又由Rt△ABE≌Rt△CBF，即可求得∠EAB的度数，再得出∠EAC即可求得答案．

【解答】证明：∵∠ABC＝90°

∴△ABE与△CBF为直角三角形．

∵在Rt△ABE与Rt△BCF中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△CBF；

（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACB＝45°，

∵∠ACF＝70°，

∴∠FBC＝25°，

由Rt△ABE≌Rt△CBF，∴∠EAB＝∠FBC＝25°，

∴∠EAC＝20°．

23．（8分）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画等腰三角形，要求三个顶点都在格点上（小正方形的顶点称为格点），用实线画四种图形，且分别符合下列各条件：

（1）面积为2（画在图1中）；

（2）面积为4，且三边与AB或AD都不平行（画在图2中）；

（3）面积为5，且三边与AB或AD都不平行（画在图3中）；

（4）面积为，且三边与AB或AD都不平行（画在图4中）．

【分析】（1）利用等腰三角形的对称性，计算等腰三角形的面积可求图形；

（2）利用等腰三角形的对称性，计算等腰三角形的面积可求图形；

（3）利用等腰三角形的对称性，计算等腰三角形的面积可求图形；

（4）利用等腰三角形的对称性，计算等腰三角形的面积可求图形．

【解答】解：（1）如图1

∵ME＝EN，MG＝FN，∠EMG＝∠FNE＝90°

∴△EMG≌△EFN

∴EG＝EF

∴△EFG是等腰三角形

∵S△EFG＝×2×2＝2

∴△EFG为所求等腰三角形．

  （2）如图2

∵ME＝EN，MG＝FN，∠EMG＝∠FNE＝90°

∴△EMG≌△EFN

∴EG＝EF

∴△EFG是等腰三角形

∵S△EFG＝3×3﹣2×＝4

∴△EFG为所求等腰三角形．

（3）如图3

∵ME＝EN，MG＝FN，∠EMG＝∠FNE＝90°

∴△EMG≌△EFN

∴EG＝EF

∴△EFG是等腰三角形

∵S△EFG＝3×4﹣2×＝5

∴△EFG为所求三角形．

（4）如图4

∵ME＝EN，MG＝FN，∠EMG＝∠FNE＝90°

∴△EMG≌△EFN

∴EG＝EF

∴△EFG是等腰三角形

∵S△EFG＝2×2﹣2××2×1﹣×1×1＝

∴△EFG为所求等腰三角形

24．（10分）已知平面直角坐标系内的点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，B（3，1）．

（1）求点A的坐标；

（2）点P是x轴上一动点，当PA+PB最小时，求：①点P的坐标；②PA+PB的最小值．

【分析】（1）依据点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，即可得到A（﹣1，2）；

（2）作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），利用待定系数法即可得到直线BC的解析式，进而得到点P的坐标；依据勾股定理依据轴对称的性质，即可得到PA+PB的最小值．

【解答】解：（1）∵点A（m﹣3，2m﹣2）在第二象限，且m为整数，

∴，

解得1＜m＜3，

∴m＝2，

∴A（﹣1，2）；

（2）如图，作点A关于x轴的对称点C，则C（﹣1，﹣2），

连接BC交x轴于P，设直线BC的解析式为y＝kx+b，则

，

解得，

∴y＝x﹣；

①令y＝0，则x＝，即P（，0）；

②如图，过C作CD∥x轴，过B作BD∥y轴，则CD＝4，BD＝3，

∴Rt△BCD中，BC＝＝5，

即PA+PB的最小值为5．

25．（10分）某校计划一次性购买排球和篮球，每个篮球的价格比排球贵30元；购买2个排球和3个篮球共需340元．

（1）求每个排球和篮球的价格：

（2）若该校一次性购买排球和篮球共60个，总费用不超过3800元，且购买排球的个数少于39个．设排球的个数为m，总费用为y元．

①求y关于m的函数关系式，并求m可取的所有值；

②在学校按怎样的方案购买时，费用最低？最低费用为多少？

【分析】（1）根据每个篮球的价格比排球贵30元；购买2个排球和3个篮球共需340元列出方程组，解方程组即可；

（2）①根据题意列出函数关系式即可；

②根据购买排球和篮球共60个，总费用不超过3800元，且购买排球的个数少于39个列出不等式，解不等式即可．

【解答】解：（1）设每个排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元，

根据题意得：，

解得：，

所以每个排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元；

（2）①y＝50m+80（60﹣m）＝﹣30m+4800，

由题意可得：，

解得：，

m取整数，所以m＝34，35，36，37，38；

②∵k＝﹣30＜0，y随x的增大而减小，

∴当m＝38时，y最小＝3660元．

26．（12分）已知，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线CP不过点A，B，且不平分∠ACB，点B关于直线CP的对称点为E，直线AE交直线CP于点F．

（1）如图1，直线CP与线段AB相交，若∠PCB＝25°，求∠CAF的度数；

（2）如图1，当直线CP绕点C旋转时，记∠PCB＝α（0°＜α＜90°，且α≠45°）．

①∠FEB的大小是否改变，若不变，求出∠FEB的度数；若改变，请用含α的式子表示）．

②找出线段AF，EF，BC的数量关系，并给出证明．

（3）如图2，当直线CP在△ABC外侧，且0°＜∠ACP＜45°时．若BC＝5，EF＝8，求CF的长．

【分析】（1）如图1，根据轴对称的性质得：CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，由等边对等角和三角形内角和可得结论；

（2）①存在两种情况：当P在直线BC的上方时，根据CB＝CE，CP⊥BE，得∠PCB＝∠ECP＝α，计算∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，根据角的和可得∠AEB＝135°，最后由平角的定义得结论；

当P在直线BC的下方时，同得可得∠FEB的度数是45°；

②连接FB，证明∠AFB＝90°，根据勾股定理可得结论；

（3）连接BF，过C作CH⊥AE，同（2）可得：∠EFC＝45°，AF2+EF2＝2BC2，根据△ACE是等腰三角形和勾股定理可计算CF的长．

【解答】解：（1）如图（1）a，连接CE，

∵B、E关于CP对称，

∴CB＝CE，∠ECP＝∠PCB＝25°，

∵CB＝CA，

∴CE＝CA，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACE＝40°，

∴∠CAF＝70°；

（2）①如图（1），∠FEB的大小不变，

当PC在CB的上方时，如图（1）a，

∵∠PCB＝α，则∠ECP＝α，

∴∠ACE＝90°﹣2α，∠AEC＝45°+α，∠CEB＝90°﹣α，

∴∠AEB＝135°

∴∠FEB＝45°；

当PC在CB的下方时，如图（1）b，连接CE，

∵∠PCB＝∠ECP＝α，

∴∠ACE＝90°+2α，∠AEC＝45°﹣α，∠CEB＝90°﹣α，

∴∠AEB＝∠FEB＝∠CEB﹣∠AEC＝（90°﹣α）﹣（45°﹣α）＝45°，

综上，∠FEB的大小不变，都是45°；

②AF2+EF2＝2BC2，理由是：

连接FB，

∵点B关于直线CP的对称点为E，∠FEB＝∠FBE＝45°，

∴∠AFB＝90°，

∴AF2+FB2＝AB2，

∵AB2＝2BC2，EF＝BF，

∴AF2+EF2＝2BC2；（9分）

（3）连接BF，过C作CH⊥AE，

同（2）：记∠PCB＝α，则∠PCE＝α

∴∠ACP＝α﹣90°

∴∠ACE＝2α﹣90°

∵AC＝CE

∴∠AEC＝＝135°﹣α

∵∠CEB＝α﹣90°

∴∠FEB＝α﹣90°+135°﹣α＝45°

可得：∠EFC＝45°，

∴∠EFC＝∠BFC＝45°

∴∠AFB＝90°

同理得：AF2+EF2＝2BC2，

∵BC＝5，EF＝8，

∴AF＝6，

∴AE＝14，

∵BC＝CE＝AC，

∴AH＝7，

∴FH＝1，

∴CF＝．