[六年级数学]小学奥数平面几何五种面积模型等积_鸟头_蝶形_相似_共边

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形

知识点拨

一、等积模型

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如右图

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；

反之，如果，则可知直线平行于．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．

二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．

共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．

如图在中，分别是上的点如图  (或在的延长线上，在上)，

则

图                  图

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

①或者②

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

①

②；

③的对应份数为．

四、相似模型

(一)金字塔模型                                  (二) 沙漏模型

①；

②．

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．

五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形中，，，相交于同一点，那么．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为和的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

典型例题

【例 1】如图，正方形ABCD的边长为6， 1.5， 2．长方形EFGH的面积为       ．

【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．

三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

,所以长方形EFGH面积为33．

【巩固】如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接．(我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形中，边上的高，

∴(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)

同理，．

∴正方形与长方形面积相等． 长方形的宽(厘米)．

【例 2】长方形的面积为36，、、为各边中点，为边上任意一点，问阴影部分面积是多少？

【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接、，如下图：

        可得：、、，而

        即；

        而，．

        所以阴影部分的面积是： 

        解法二：特殊点法．找的特殊点，把点与点重合，

那么图形就可变成右图：

        这样阴影部分的面积就是的面积，根据鸟头定理，则有：

        ．

【巩固】在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与点连接,求阴影部分面积．

【解析】（法1）特殊点法．由于是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设点与点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和，所以阴影部分的面积为平方厘米．

（法2）连接、．

由于与的面积之和等于正方形面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面积的，所以阴影部分的面积为平方厘米．

【例 3】如图所示，长方形内的阴影部分的面积之和为70，，，四边形的面积为        ．

【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形、和四边形的面积之和，以及三角形和的面积之和，进而求出四边形的面积．

由于长方形的面积为，所以三角形的面积为，所以三角形和的面积之和为；

又三角形、和四边形的面积之和为，所以四边形的面积为．

另解：从整体上来看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色部分的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即，所以四边形的面积为．

【巩固】如图，长方形的面积是36，是的三等分点，，则阴影部分的面积为        ．

【解析】如图，连接．

根据蝶形定理，，所以；

，所以．

又，，所以阴影部分面积为：．

【例 4】已知为等边三角形，面积为400，、、分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形)

【解析】因为、、分别为三边的中点，所以、、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形和三角形的面积都等于三角形的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有，

即，所以．

又，所以．

【例 5】如图，已知，，，，线段将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形的面积是        ．

【解析】连接，．

根据题意可知，；；

所以，，，，，

于是：；；

可得．故三角形的面积是40．

【例 6】如图在中，分别是上的点，且，，平方厘米，求的面积．

【解析】连接，，

，所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．

【巩固】如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，如果三角形的面积等于1，那么三角形的面积是多少？

【解析】连接．

∵ 

∴

又∵

∴，∴．

【巩固】如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？

【解析】连接．

∵， 

∴， 

又∵，

∴，∴，．

【例 7】如图在中，在的延长线上，在上，且，

，平方厘米，求的面积．

【解析】连接，                                                                          ，

所以，设份，则份，平方厘米，所以份是平方厘米，份就是平方厘米，的面积是平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比

【例 8】如图，平行四边形，，，，，平行四边形的面积是， 求平行四边形与四边形的面积比．

【解析】连接、．根据共角定理

        ∵在和中，与互补，

∴．

又，所以．

同理可得，，．

所以．

所以．

【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？

【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.

我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：

把三角形绕顶点逆时针旋转，使长为的两条边重合，此时三角形将旋转到三角形的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积.

因此，原来四边形的面积为.(也可以用勾股定理)

【例 10】如图所示，中，，，，以为一边向外作正方形，中心为，求的面积．

【解析】如图，将沿着点顺时针旋转，到达的位置．

由于，，所以．而，

所以，那么、、三点在一条直线上．

由于，，所以是等腰直角三角形，且斜边为，所以它的面积为．

根据面积比例模型，的面积为．

【例 11】如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．

【解析】如图，连接，以点为中心，将顺时针旋转到的位置．

那么，而也是，所以四边形是直角梯形，且，

所以梯形的面积为：

()．

又因为是直角三角形，根据勾股定理，，所以()．

那么()，

所以()．

【例 12】如下图，六边形中，，，，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，已知厘米，厘米，请问六边形的面积是多少平方厘米？

【解析】如图，我们将平移使得与重合，将平移使得与重合，这样、都重合到图中的了．这样就组成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形的面积为平方厘米，所以六边形的面积为平方厘米．

【例 13】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点．则四边形的面积等于       ．

【解析】方法一：连接，根据燕尾定理，，, 

设份，则份，份，份，如图所标

所以

方法二：连接，由题目条件可得到，

，所以，

，

而．所以则四边形的面积等于．

【巩固】如图，长方形的面积是平方厘米，，是的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米?

【解析】设份，则根据燕尾定理其他面积如图所示平方厘米.

【例 14】四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍．

【解析】在本题中，四边形为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形．看到题目中给出条件，这可以向模型一蝶形定理靠拢，于是得出一种解法．又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比．再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果．请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝶形定理解决问题．

解法一：∵，∴，∴．

解法二：作于，于．

∵，∴，∴，

∴，∴，∴．

【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，

    求：⑴三角形的面积；⑵？

【解析】⑴根据蝶形定理，，那么；

⑵根据蝶形定理，．

【例 15】如图，平行四边形的对角线交于点，、、、的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求的面积；⑵求的面积．

【解析】⑴根据题意可知，的面积为，那么和的面积都是，所以的面积为；

⑵由于的面积为8，的面积为6，所以的面积为，

根据蝶形定理，，所以，

那么．

【例 16】如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．

【解析】连接，．

因为，，所以．

因为，，所以平方厘米，所以平方厘米．因为，所以长方形的面积是平方厘米．

【例 17】如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点．求图中阴影部分的面积．

【解析】因为是边上的中点，所以，根据梯形蝶形定理可以知道

，设份，则份，所以正方形的面积为份，份，所以，所以平方厘米．

【巩固】在下图的正方形中，是边的中点，与相交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是         平方厘米．

【解析】连接，根据题意可知，根据蝶形定理得(平方厘米)， (平方厘米)，那么(平方厘米)．

【例 18】已知是平行四边形，，三角形的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是        平方厘米．

【解析】连接．

由于是平行四边形，，所以，

根据梯形蝶形定理，，所以(平方厘米)， (平方厘米)，又(平方厘米)，阴影部分面积为(平方厘米)．

【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是        平方厘米．

【分析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．

根据蝶形定理，，故，

所以(平方厘米)．

【巩固】右图中是梯形，是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是        平方厘米．

【解析】连接．由于与是平行的，所以也是梯形，那么．

根据蝶形定理，，故，所以(平方厘米)．

另解：在平行四边形中， (平方厘米)，

所以(平方厘米)，

根据蝶形定理，阴影部分的面积为(平方厘米)．

【例 19】如图，长方形被、分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为___________平方厘米．

【解析】连接、．四边形为梯形，所以，又根据蝶形定理，，所以，所以(平方厘米)， (平方厘米)．那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)．

【例 20】如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与相交于点．已知正方形的面积48，，则的面积是多少？

【解析】由于是正方形，所以与平行，那么四边形是梯形．在梯形中，和的面积是相等的．而，所以的面积是面积的，那么的面积也是面积的．

由于是等腰直角三角形，如果过作的垂线，为垂足，那么是的中点，而且，可见和的面积都等于正方形面积的一半，所以的面积与正方形的面积相等，为48．

那么的面积为．

【例 21】下图中，四边形都是边长为1的正方形，、、、分别是，，，的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数，那么，的值等于        ．

【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形，不方便直接求面积，观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部分的面积．

如下图所示，在左图中连接．设与的交点为．

左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，所以三角形的面积为．又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图中阴影部分的面积为．

如上图所示，在右图中连接、．设、的交点为．

可知∥且．那么三角形的面积为三角形面积的，所以三角形的面积为，梯形的面积为．

在梯形中，由于，根据梯形蝶形定理，其四部分的面积比为：，所以三角形的面积为，那么四边形的面积为．而右图中四个空白四边形的面积是相等的，所以右图中阴影部分的面积为．

那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为，即，

那么．

【例 22】如图，中，，，互相平行，，

则         ．

【解析】设份，根据面积比等于相似比的平方，

所以，，

因此份，份，

进而有份，份，所以

【巩固】如图，平行，且，，，求的长．

【解析】由金字塔模型得，所以

【巩固】如图，中，，，，，互相平行，

，则

       ．

【解析】设份，，因此份，进而有份，同理有份，份，份．

所以有

【例 23】如图，已知正方形的边长为，是边的中点，是边上的点，且，与相交于点，求

【解析】方法一：连接，延长，两条线交于点，构造出两个沙漏，所以有，因此，根据题意有，再根据另一个沙漏有，所以．

方法二：连接，分别求，，根据蝶形定理，所以．

【例 24】如图所示，已知平行四边形的面积是1，、是、的中点，交于，求的面积． 

【解析】解法一：由题意可得，、是、的中点，得，而，

所以，

并得、是的三等分点，所以，所以

，所以，；

又因为，所以．

        解法二：延长交于，如右图，

        可得，，从而可以确定的点的位置，

      ，， (鸟头定理)，

        可得

【例 25】如图，为正方形，且，请问四边形的面积为多少？

【解析】(法)由，有，所以，又，所以

，所以，所以占的，

所以．

(法)如图，连结，则(，

而，所以， ()．

而()，因为，

所以，则()，阴影部分面积等于

()．

【例 26】如右图，三角形中，，，求．

【解析】根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以

【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【巩固】如右图，三角形中，，，求.

【解析】根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以

【巩固】如右图，三角形中，，，求.

【解析】根据燕尾定理得

（都有的面积要统一，所以找最小公倍数）

所以

【点评】本题关键是把的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！

【例 27】如右图，三角形中，，且三角形的面积是，则三角形的面积为______，三角形的面积为________，三角形的面积为______．

【分析】连接、、．

由于，所以，故；

根据燕尾定理，，，所以

，则，；

那么；

同样分析可得，则，，所以，同样分析可得，

所以，．

【巩固】 如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求三角形的面积．

【解析】连接BG， 份

根据燕尾定理，， 

得(份)， (份)，则(份)，因此,

同理连接AI、CH得, ,所以

三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19

【巩固】如图，中，，，那么的面积是阴影三角形面积的        倍．

【分析】如图，连接．

根据燕尾定理，，，

所以，，那么，．

同理可知和的面积也都等于面积的，所以阴影三角形的面积等于面积的，所以的面积是阴影三角形面积的7倍．

【巩固】如图在中，,求的值．

【解析】连接BG,设1份，根据燕尾定理, ,得(份)， (份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得, ,所以

【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形，虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得到”的，即再重复一次解题思路，因此我们有对称法作辅助线.

【例 28】如图，三角形的面积是，，，三角形被分成部分，请写出这部分的面积各是多少?

【解析】设BG与AD交于点P，BG与AE交于点Q，BF与AD交于点M，BF与AE交于点N．连接CP，CQ，CM，CN．

根据燕尾定理，，，设(份)，则(份)，所以

同理可得，, ,而，所以，．

同理， ,所以，, ,

【巩固】如图，的面积为1，点、是边的三等分点，点、是边的三等分点，那么四边形的面积是多少？

【解析】连接、、．

根据燕尾定理，，，

所以，那么，．

类似分析可得．

又，，可得．

那么，．

根据对称性，可知四边形的面积也为，那么四边形周围的图形的面积之和为，所以四边形的面积为．

【例 29】右图，中，是的中点，、、是边上的四等分点，与交于，与交于，已知的面积比四边形的面积大平方厘米，则的面积是多少平方厘米？

【解析】连接、．

根据燕尾定理，，，所以；

再根据燕尾定理，，所以，所以，那么，所以．

根据题意，有，可得(平方厘米)

【例 30】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求阴影部分面积. 

【解析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！

令BI与CD的交点为M，AF与CD的交点为N，BI与AF的交点为P,BI与CE的交点为Q,连接AM、BN、CP

求：在中，根据燕尾定理， 

设(份)，则(份), (份), (份),

所以，所以, ,

所以,

同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是面积的

求：在中，根据燕尾定理,

所以,同理

在中，根据燕尾定理,

所以，所以

同理另外两个五边形面积是面积的，所以

【例 31】如图，面积为l的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA 的三等分点,求中心六边形面积.

【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR

在中根据燕尾定理，,

所以,同理,

所以，同理

根据容斥原理，和上题结果

课后练习：

练习1.已知的面积为平方厘米，，求的面积．

【解析】， 

设份，则份，份，份，份，恰好是平方厘米，所以平方厘米

练习2.如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．

【解析】连接．由共角定理得，即

同理，即

所以

连接，同理可以得到

所以平方米

练习3.正方形的面积是120平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是      平方厘米． 

【解析】欲求四边形的面积须求出和的面积．

由题意可得到：，所以可得： 

将、延长交于点，可得：

，

而，得，

而，所以

        ．

        本题也可以用蝶形定理来做，连接，确定的位置(也就是)，同样也能解出．

练习4.如图，已知，，，，则        ．

【解析】将三角形绕点和点分别顺时针和逆时针旋转，构成三角形和，再连接，显然，，，所以是正方形．三角形和三角形关于正方形的中心中心对称，在中心对称图形中有如下等量关系：

；；．

所以．

练习5.如图，正方形的面积是平方厘米，是的中点，是的中点，四边形的面积是_____平方厘米．

【解析】连接,根据沙漏模型得,设份，根据燕尾定理份，份，因此份，，所以(平方厘米).

练习6.如图，中，点是边的中点，点、是边的三等分点，若的面积为1，那么四边形的面积是_________．

【解析】由于点是边的中点，点、是边的三等分点，如果能求出、、三段的比，那么所分成的六小块的面积都可以求出来，其中当然也包括四边形的面积．

连接、．

根据燕尾定理，，而，所以，那么，即．

那么，．

另解：得出后，可得，

则．

练习7.如右图，三角形中，，且三角形的面积是，求角形的面积．

【解析】连接BG， 12份

根据燕尾定理，， 

得(份)， (份)，则(份)，因此,

同理连接AI、CH得, ,所以

三角形ABC的面积是,所以三角形GHI的面积是

月测备选

【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为和，乙三角形两条直角边分别为和，求图中阴影部分的面积．

【解析】如右图，我们将三角形甲与乙进行平移，就会发现平行四边形面积等于平移后两个长方形面积之和．所以阴影部分面积为： 

【备选2】如图所示，矩形的面积为36平方厘米，四边形的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是        平方厘米．

【解析】因为三角形面积为矩形的面积的一半，即18平方厘米，三角形面积为矩形的面积的，即9平方厘米，又四边形的面积为3平方厘米，所以三角形与三角形的面积之和是平方厘米．

又三角形与三角形的面积之和是矩形的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部分面积为(平方厘米)．

【备选3】如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占面积的几分之几？

【解析】连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的

【备选4】如图，在中，延长至，使，延长至，使，是的中点，若的面积是，则的面积是多少？

【解析】∵在和中，与互补，

∴．

又，所以．

同理可得，．

所以

【备选5】如图，, ,则      

【解析】根据燕尾定理有, ,所以

【备选6】如图在中，,求的值．

【解析】连接BG,设1份，根据燕尾定理, ,得(份)， (份),则(份)，因此,同理连接AI、CH得, ,

所以