湖北省襄阳市2012-2013学年上学期高二期末调研测试

高二数学（文科）（2013．1）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）

1．用样本估计总体，下列说法正确的个数是

  ①样本的概率与实验次数有关；

  ②样本容量越大，估计就越精确；

  ③样本的标准差可以近似地反映总体的平均水平；

  ④数据的方差越大，说明数据越不稳定．

  A．1    B．2    C．3 D．4

2．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是

  A．至少有一个黑球与都是黑球          B．至多有一个黑球与都是黑球

  C．至少有一个黑球与至少有一个红球    D．恰有一个黑球与恰有两个黑球

3．在直角坐标系中，直线x+y-3=0的倾斜角是

  A．    B．    C．    D． 

4．①已知p3+q3=2，求证p+q≤2，用反证法证明时，可假设计p+q≥2，②已知a、bR，|a|+|b|<1，求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根xl的绝对值大于或等于1，即假设|xl|≥1．以下结论正确的是

  A．①与②的假设都错误            B．①与②的假设都正确

  C．①的假设正确；②的假设错误    D．①的假设错误；②的假设正确

5．学校高中部共有学生2100名，高中部各年级男、女生人数如下表，已知在高中部学生中随机抽取1名学生，抽到高三年级女生的概率是0．2，现用分层抽样的方法在高中部抽取60名学生，则应在高二年级抽取的学生人数为

6．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

  ①若K2的观测值满足K26．635，我们有99％的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从性检验可知有99％的把握认为吸烟与患病有关系时，我们说某人吸烟，那么他有99％的可能患有肺病；③从统计量中得知有95％的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5％的可能性使得推断出现错误．

  A．①    B．①③    C．③    D．②

7．在ABC中， ABC=60°，AB=2，BC=6，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为

  A．    B．    C． D． 

8．直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°所得直线与圆（x-2）2+y2=3的位置关系是

  A．直线与圆相切    B．直线与圆相交但不过圆心

  C．直线与圆相离    D．直线过圆心

9．观察如图中各正方形图案，每条边上有n（n≥2）个圆点，第n个图案中圆点的总数是Sn．

  按此规律推断出Sn与n的关系式为

  A．Sn=2n    B．Sn=4n    C．Sn=2n    D．Sn=4n--4

10．已知直线l：kx-y-4k+1=0被圆C：x2+（y+1）2=25所截得的弦长为整数，则满足条件的直线，有

  A．9条    B．10条    C．11条    D．12条

二．填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分。将答案填在答题卡相应位置上。）

11．计算： =  ▲  ．

12．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表，则以上两个班成绩比较稳定的是  ▲  ．

14．对任意非零实数a、b，若ab的运算原理如图所示，则（㏒28）（）-2=  ▲  ．

15.已知=2， =3， =4，…，若=6（a、tR*），则a=  ▲  ，t=  ▲  ．

16．已知x、y之间的一组数据如右表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l1：y=x+1与l2：y=x+，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是  ▲  （填l1或l2）．

17．200辆汽车经过某一雷达速测地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速超过60km／h的汽车数量为  ▲  ．

三．解答题（本大题共5小题，满分65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）

18．（本大题满分12分）

    若关于x的方程（1+i）x2-2（a+i）x+5-3i=0（a∈R）有实数解，求a的值（i为虚数单位）．

19．（本大题满分12分）

    某学校为了了解学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n名同学进行调查，下表是这n名同学的日平均睡眠时间的频率分布表：

（2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如[4，5）的中点值4．5）作为代表．若据此计算的这n名学生的日平均睡眠时间的平均值为6．68．求a、b的值．

20．（本大题满分13分）

    已知两直线l1：ax-by+4=0，l2：（a-1）x+y+b=0，求分别满足下列条件的a、b的值．

    （1）直线l1过点（-3，-1），并且直线l1与直线l2垂直；

    （2）直线l1与直线l2平行，并旦坐标原点到l1、l2的距离相等．

21．（本大题满分l4分）

一汽车厂生产A、B、C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如右表（单位：辆），按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．

（2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有l辆舒适型轿车的概率；

（3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：

    9．4，8．6，9．2，9．6，8．7，9．3，9．0，8．2

把这8辆轿车的得分看作一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率．

22．（本大题满分14分）

    已知圆M的圆心M在x轴上，半径为l，直线l：y=x-被圆M所截的弦长为，且圆心M在直线l的下方．

  （1）求圆M的方程；

  （2）设A（0，t），B（0，t+6）（-5≤t≤-2），若圆M是△ABC的内切圆，求△ABC的面积S的最大值和最小值．

2013年1月襄阳市高中调研统一测试

高二数学（文科）参及评分标准

一．选择题：BDCDC  CCABC

二．填空题：11．1－2i　　12．甲　　13．（－7，24） 　14．　　15．6，35

　　　　　　　　16．l2    17．76

三．解答题：

18．解：将原方程整理得：（x2－2ax＋5） + （x2－2x－3）I = 0

设方程的实数解为x0，代入上式得：    4分

由复数相等的充要条件，得    8分

由②得x0 = 3，或x0 =－1，

代入①得：，或a =－3．    12分

19．（1）解：，    5分

（2）解：n = 50， 

平均时间为：，

即13a + 15b = 454  ①    9分

又4 + 10 + a + b + 4 = 50，即a + b = 32  ②

由①，②解得：a = 13，b = 1．    12分

20．（1）解：∵l1⊥l2，∴a（a + 1） + （－b）×1 = 0    2分

即a2－a－1 = 0      ①

又点（－3，－1）在l1上，∴－3a + b + 4 = 0         ②    4分

由①②解得：a = 2，b = 1．    6分

（2）解：∵l1∥l2，且l2的斜率为1－a，∴l1的斜率也存在，故　①    8分

∵原点到l1和l2的距离相等，∴ 

即，∴b =±2    10分

代入①得：a = 2－2a或a =－2 + 2a，∴或a = －2

因此或．    13分

21．（1）解：设该厂本月生产轿车为n辆，由题意得，，∴n = 2000    2分

z =2000－100－300－150－450－600 = 400．    4分

（2）解：设所抽样本中有m辆舒适型轿车，因为用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，所以，解得m = 2，也就是抽取了2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车，分别记作S1，S2，B1，B2，B3    6分

则从中任取2辆的所有基本事件为（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3）共10个    8分

其中至少有1辆舒适型轿车的基本事件有7个基本事件：（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）

所以从中任取2辆，至少有1辆舒适型轿车的概率为．    10分

（3）解：样本的平均数为    12分

那么与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的数为9．4，8．6，9．2，8．7，9．3，9．0这6个数，总的个数为8，所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过0．5的概率为．    14分

22． （1）解：设圆心M （a，0），则，即| 8a－3 | = 5    2分

又∵M在l的下方，∴8a－3 > 0，∴8a－3 = 5，a = 1 

故圆的方程为（x－1）2＋y2 = 1．    4分

（2）解：由题设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2，则直线AC的方程为y＝k1x＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6

由方程组，得C点的横坐标为    6分

∵|AB| = t＋6－t = 6，

∴    8分

由于圆M与AC相切，所以，∴ 

由于圆M与BC相切，所以，∴    10分

∴，

∴，    12分

∵－5≤t≤－2，∴－8≤t2＋6t＋1≤－4，

∴，，

∴△ABC的面积S的最大值为，最小值为．    14