一、选择题
1．如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2 B．＜ C．﹣2x＜﹣2y D．﹣x＞﹣y
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．两个等腰三角形全等的条件是（ ）
A．有两条边对应相等 B．有两个角对应相等
C．有一腰和一底角对应相等 D．有一腰和一角对应相等
4．如图，△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF，下列错误的是（ ）
A．AC=DF B．EB=FC C．DE∥AB D．∠D=∠DEF
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a+2b）=ax+2bx B．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2
C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y） D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c
6．在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x= B．x＞ C．x＜ D．x≠
8．下列命题中，正确命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形
9．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
二、填空题
11．已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长 ．
12． x与3的和不小于6，用不等式表示为 ．
13．计算：= ．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ．
15．若9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，那么m= ．
三、解答题
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
17．计算（）．
18．已知x=156，y=144，求代数式的值．
19． A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
20．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．
21．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形；
(2)选择(1)中的任意一对进行证明．
22．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．
23．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
24．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=2cm，DA=3cm．将线段AD向右平移2cm至CE．试判断△BCE的形状．
25．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？请你设计出来．
(2)以上方案哪种利润最大？是多少元？
答案与解析
1．如果x＞y，那么下列各式中正确的是（ ）
A．x﹣2＜y﹣2 B．＜ C．﹣2x＜﹣2y D．﹣x＞﹣y
【考点】C2：不等式的性质．
【专题】选择题
【分析】根据等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变可对A进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变可对B进行判断；根据不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变可对C、D进行判断．
【解答】解：A、若x＞y，则x﹣2＞y﹣2，故A选项错误；
B、若x＞y，则x＞y，故B选项错误；
C、若x＞y，则﹣2x＜﹣2y，故C选正确；
D、若x＞y，则﹣x＜﹣y，故D选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质：不等式两边同加上（或减去）一个数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个正数，不等号方向不变；不等式两边同乘以（或除以）一个负数，不等号方向改变．
2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】选择题
【分析】本题应该先求出各个不等式的解集，然后在数轴上分别表示出这些解集，它们的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：不等式组可化为：
所以不等式组的解集在数轴上可表示为：
故选：C．
【点评】本题考查不等式组解集的表示方法．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
3．两个等腰三角形全等的条件是（ ）
A．有两条边对应相等 B．有两个角对应相等
C．有一腰和一底角对应相等 D．有一腰和一角对应相等
【考点】KB：全等三角形的判定；KH：等腰三角形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据全等三角形的判定定理即可解答．
【解答】解：A、两条边对应相等，对应相等的边可能是两腰，而底边可能不相等，故不能判定全等，故A选项错误；
B、有两个角对应相等，则三个角对应相等，但边长不一定相等，故B选项错误；
C、根据AAS即可判定全等，故C选项正确；
D、中若不是对应的顶角相等，也不成立，故D选项错误；
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质；要熟练掌握等腰三角形的性质及判定定理．
4．如图，△ABC沿BC边所在的直线向左平移得到△DEF，下列错误的是（ ）
A．AC=DF B．EB=FC C．DE∥AB D．∠D=∠DEF
【考点】Q2：平移的性质．
【专题】选择题
【分析】直接根据图形平移的性质进行解答即可．
【解答】解：∵△DEF由△ABC平移而成，
∴AC=DF，BE=CF，DE∥AB，∠D=∠A，
∴A、B、C正确，D错误．
故选：D．
【点评】本题考查的是平移的性质，熟知图形平移后所得图形与原图形全等是解答此题的关键．
5．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）
A．x（a+2b）=ax+2bx B．x2﹣1+4y2=（x﹣1）（x+1）+4y2
C．x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y） D．ax+bx﹣c=x（a+b）﹣c
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】利用因式分解的定义判断即可．
【解答】解：根据题意得：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）．
故选：C．
【点评】此题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解的定义是解本题的关键．
6．在下列各式中，是分式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】61：分式的定义．
【专题】选择题
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．找到分母含有字母的式子的个数即可．
【解答】解：，这3个式子分母中含有字母，因此是分式．
（x+1）÷（x+2），它只表示一种除法运算，而不能称之为分式，
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：A．
【点评】本题主要考查分式的概念，分式与整式的区别主要在于：分母中是否含有未知数，注意π不是字母，故不是分式．
7．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x= B．x＞ C．x＜ D．x≠
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】选择题
【分析】根据分式的分母不等于0，是分式有意义的条件，可得答案．
【解答】解：要使分式有意义，可得3x﹣8≠0，x≠，
故选：D．
【点评】本题考查了分是有意义的条件，分母不等于0时分式有意义．
8．下列命题中，正确命题是（ ）
A．两条对角线相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线相等的四边形是矩形
C．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D．两条对角线平分且相等的四边形是正方形
【考点】L9：菱形的判定；L6：平行四边形的判定；LC：矩形的判定；LF：正方形的判定．
【专题】选择题
【分析】根据特殊平行四边形的性质进行判断，对角线平分的四边形是平行四边形；
对角线平分且相等的四边形是矩形；
对角线平分且垂直的四边形是菱形；
对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形．
【解答】解：A、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、两条对角线平分且相等的四边形是矩形，故B选项错误；
C、两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C选项正确；
D、两条对角线平分、垂直且相等的四边形是正方形，故D选项错误；
故选：C．
【点评】考查特殊平行四边形对角线的性质，一定要熟记．
9．如果一个多边形的内角和等于它的外角和，则这个多边形是（ ）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】选择题
【分析】利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵多边形的内角和等于它的外角和，多边形的外角和是360°，
∴内角和是360°，
∴这个多边形是四边形．
故选：B．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理，解题的关键是利用多边形的内角和公式并熟悉多边形的外角和为360°．
10．如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，如果AC=5cm，BC=4cm，那么△DBC的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】由于AB的垂直平分线交AC于D，所以AD=BD，而△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，而AC=5cm，BC=4cm，由此即可求出△DBC的周长．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
而AC=5cm，BC=4cm，
∴△DBC的周长是9cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
11．已知一等腰三角形两边为2，4，则它的周长 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】由于已知的两边，腰长和底边没有明确，因此需要分两种情况讨论．
【解答】解：①当腰长为2，底边为4时，三边为2、2、4，
2+2=4，不能构成三角形，此种情况不成立；
②当底边为2，腰长为4时，三边为2、4、4，
能构成三角形，此时三角形的周长=4+4+2=10；
故等腰三角形的周长为10，
故答案为：10．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
12． x与3的和不小于6，用不等式表示为 ．
【考点】C8：由实际问题抽象出一元一次不等式．
【专题】填空题
【分析】x与3的和表示为：x+3，“不小于”用数学符号表示为“≥”，由此可得不等式x+3≥6，
【解答】解：x与3的和表示为：x+3，由题意可列不等式为：x+3≥6，
故答案为：x+3≥6．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号．
13．计算：= ．
【考点】6B：分式的加减法．
【专题】填空题
【分析】把第二个分式提取负号，进行分式加减，再把分式的分子分解公因式从而解得．
【解答】解：原式===a+b．
故答案为：a+b．
【点评】本题考查了分式的加减法，本题先变分母，分式相加减，分解因式而得，相互约分而得．
14．顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是 ．
【考点】KX：三角形中位线定理；LC：矩形的判定；LJ：等腰梯形的性质．
【专题】填空题
【分析】顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，理由为：根据题意画出相应的图形，连接AC、BD，由等腰梯形的性质得到AC=BD，由E、H分别为AD与DC的中点，得到EH为△ADC的中位线，利用三角形的中位线定理得到EH等于AC的一半，EH平行于AC，同理得到FG为△ABC的中位线，得到FG等于AC的一半，FG平行于AC，进而得到EH与FG平行且相等，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形得到EFGH为平行四边形，再由EF为△ABD的中位线，得到EF等于BD的一半，进而由AC=BD得到EF=EH，根据一对邻边相等的平行四边形为菱形可得证．
【解答】解：顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形是菱形，理由为：
已知：等腰梯形ABCD，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点，
求证：四边形EFGH为菱形．
证明：连接AC，BD，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴AC=BD，
∵E、H分别为AD、CD的中点，
∴EH为△ADC的中位线，
∴EH=AC，EH∥AC，
同理FG=AC，FG∥AC，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴四边形EFGH为平行四边形，
同理EF为△ABD的中位线，
∴EF=BD，又EH=AC，且BD=AC，
∴EF=EH，
则四边形EFGH为菱形．
故答案为：菱形．
【点评】此题考查了三角形的中位线定理，等腰梯形的性质，平行四边形的判定，以及菱形的判定，熟练掌握三角形中位线定理是解本题的关键．
15．若9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，那么m= ．
【考点】4E：完全平方式．
【专题】填空题
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可得到m的值．
【解答】解：∵9x2+（m﹣1）x+4是完全平方式，
∴m﹣1=±12，
解得：m=13或﹣11，
故答案为：13或﹣11．
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】解答题
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【解答】解：，
解①得：x＜﹣1，
解②得：x≥﹣9，
则不等式组的解集是：﹣9≤x＜﹣1，
数轴表示为：
．
【点评】把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
17．计算（）．
【考点】6C：分式的混合运算．
【专题】解答题
【分析】分式的四则运算是整式四则运算的进一步发展，在计算时，首先要弄清楚运算顺序，先去括号，再进行分式的乘除．
【解答】解：原式=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，难度一般，熟练掌握通分、因式分解和约分的知识点．
18．已知x=156，y=144，求代数式的值．
【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】解答题
【分析】根据=（x2+2xy+y2）=（x+y）2，把x，y代入即可求值．
【解答】解：
=（x2+2xy+y2）
=（x+y）2，
当x=156，y=144时，
原式=（156+144）2=45000
【点评】本题主要考查了代数式的值，正确对所求式子进行分解因式是解决本题的关键．
19． A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍．结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地．求两种车的速度．
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【分析】根据题意可得到：从A到B地，小汽车用的时间=公共汽车用的时间﹣2小时﹣40分钟，由此可得出方程．
【解答】解：设公共汽车的速度为x千米/时，则小汽车的速度为3x千米/时，
由题意可列方程为，
解得x=20．
经检验，x=20是原方程的解，
故3x=60；
答：公共汽车的速度为20千米/时，小汽车的速度为60千米/时．
【点评】列分式方程解应用题与所有列方程解应用题一样，重点在于准确地找出相等关系，这是列方程的依据．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．此题涉及的公式是：路程=速度×时间．
20．如图，A、B、C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置．
【考点】N4：作图—应用与设计作图．
【专题】解答题
【分析】根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等知，作出AB，BC的中垂线相交于点P，则点P是所求的点．
【解答】解：如图，
作出AB和BC的中垂线，相交于点P，则点P是所求的到三村距离相等的点．
【点评】本题利用了中垂线的性质求解，解题的关键在于理解中垂线的性质：中垂线上的点到线段两端的距离相等．
21．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．
(1)写出图中每一对你认为全等的三角形；
(2)选择(1)中的任意一对进行证明．
【考点】L5：平行四边形的性质；KB：全等三角形的判定．
【专题】解答题
【分析】(1)由四边形ABCD是平行四边形，易得AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，继而利用SSS证得△ABD≌△CDB，又由AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，即可利用AAS判定△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．
(2)由(1)选择一对，进行证明即可．
【解答】(1)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC，AB=CD，
∴∠ABE=∠CDF，∠ADE=∠CBF，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
同理：△ADE≌△CBF．
∴全等的三角形有：△ABD≌△CDB，△ABE≌△CDF，△ADE≌△CBF．
(2)选择：△ABD≌△CDB．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，
在△ABD和△CDB中，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
22．如图，已知：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC边的中点，PD⊥AC．求证：CD=3AD．
【考点】KO：含30度角的直角三角形．
【专题】解答题
【分析】连接AP，根据等腰三角形三线合一的性质可得AP⊥BC，根据等腰三角形两底角相等求出∠C=30°，再求出∠APD=∠C=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AP=2AD，AC=2AP，整理即可得证．
【解答】证明：如图，连接AP，
∵AB=AC，P为BC边的中点，
∴AP⊥BC，
∵∠BAC=120°，
∴∠C=（180°﹣∠BAC）=（180°﹣120°）=30°，
∵PD⊥AC，
∴∠CPD+∠C=90°，
又∵∠APD+∠CPD=90°，
∴∠APD=∠C=30°，
∴AP=2AD，AC=2AP，
∴AC=4AD，
∴CD=AC﹣AD=4AD﹣AD=3AD，
即CD=3AD．
【点评】本题考查了直角三角形°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．
23．有一群猴子，一天结伴去偷桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下9个；如果每个猴子分5个，就都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个．你能求出有几只猴子，几个桃子吗？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，根据题意的不相等关系都分得桃子，但有一个猴子分得的桃子不够5个建立不等式组，求出其解即可．
【解答】解：设有x只猴子，则有桃子（3x+9）个，由题意，得
0＜3x+9﹣5（x﹣1）＜5，
解得：4.5＜x＜7
∵x为整数，
∴x=5，6，
当x=5是，
桃子的个数是：3×5+9=24个．
当x=6时，
桃子的个数是：3×6+9=27个．
答：当猴子5个时，桃子24个；当猴子6个时，桃子27个．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答时根据条件的不等量关系建立不等式组是关键．
24．如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=7cm，BC=4cm，CD=2cm，DA=3cm．将线段AD向右平移2cm至CE．试判断△BCE的形状．
【考点】Q2：平移的性质；LH：梯形．
【专题】解答题
【分析】由题意易求得CE，BE的长，然后由勾股定理的逆定理证得△BCE是直角三角形．
【解答】解：∵将线段AD向右平移2cm至CE，
∴AE=CD=2cm，CE=DA=3cm，
∴BE=AB﹣AE=7﹣2=5（cm），
∵BC=4cm，
∴CE2+BC2=BE2，
∴∠BCE=90°，
即△BCE是直角三角形．
【点评】此题考查了平移的性质以及勾股定理的逆定理．此题难度不大，注意掌握平移的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用．
25．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品需用甲种原料9千克、乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品需用甲种原料4千克、乙种原料10千克，可获利润1200元．
(1)按要求安排A、B两种产品的件数有几种方案？请你设计出来．
(2)以上方案哪种利润最大？是多少元？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．
(2)本题可将三种方案的最大利润都求出来，再进行比较即可．
【解答】解：(1)设生产A种产品x件，则生产B种产品（50﹣x）件，
根据题意有：，
解得：30≤x≤32，
所以有三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件；
②安排A种产品31件，B种产品19件；
③安排A种产品32件，B种产品18件．
(2)∵方案一为：700×30+1200×20=45000元；
方案二为：700×31+1200×19=44500元；
方案三为：700×32+1200×18=44000元．
采用方案①所获利润最大，为45000元．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，找出题中隐藏的不等关系甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，列出不等式组解出即可．
期末测试（二）
一、选择题
1．在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3，4），则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
3．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列哪组条件能判别四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD
5．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
6．若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠0 B．x≥3 C．x≠3 D．x≤3
7．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz） B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2）
C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）
8．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
9．如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知函数y=2x﹣3，当x 时，y≥0；当x 时，y＜5．
12．若关于x的方程的解是x=2，则a= ．
13．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于 ．
14．若x2+px+q=（x+2）（x﹣4），则p= ，q= ．
三、解答题
15．15解不等式及分式方程：
(1)5（x+2）≥1﹣2（x﹣1）；
(2)；
(3)=3．
16．先化简，再求值：÷﹣，其中x=2．
17．在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案．
18．某项工程，甲工程队单独完成任务要40天，现乙工程队先做30天后，甲乙两队合作20天恰好完成任务，乙工程队单独做要多少天才能完成任务？
19．某种客货车车费起点是2km以内2.8元．往后每增加455m车费增加0.5元．现从A处到B处，共支出车费9.8元；如果从A到B，先步行了300m然后乘车也是9.8元，求AB的中点C到B处需要共付多少车费？
20．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．
(1)如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；
(2)如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由；
(3)如果CM=4，FM=5，求BE的长度．
21．某园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
22．(1)已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
(2)已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，试判断△ABC的形状．
23．已知△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点．求MN的长．
答案与解析
1．在式子、、、、、中，分式的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【考点】61：分式的定义．
【专题】选择题
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：、、9x+这3个式子的分母中含有字母，因此是分式．
其它式子分母中均不含有字母，是整式，而不是分式．
故选：B．
【点评】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．
2．在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是（3，4），则OP的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
【考点】KQ：勾股定理；D5：坐标与图形性质．
【专题】选择题
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵P（3，4），
∴OP==5，
故选C．
【点评】本题考查的是勾股定理及坐标与图形性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．
3．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【专题】选择题
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、是中心对称图形，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．
4．下列哪组条件能判别四边形ABCD是平行四边形（ ）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB=CD，AD=BC
C．∠A=∠B，∠C=∠D D．AB=AD，CB=CD
【考点】L6：平行四边形的判定．
【专题】选择题
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断，只有B正确．
【解答】解：根据平行四边形的判定，A、C、D均不能判定四边形ABCD是平行四边形；
B选项给出了四边形中，两组对边相等，故可以判断四边形是平行四边形．
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
5．下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
【考点】KS：勾股定理的逆定理．
【专题】选择题
【分析】根据勾股定理逆定理：a2+b2=c2，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【解答】解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵12+12=，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查学生对勾股定理的逆定理的理解和掌握，要求学生熟练掌握这个逆定理．
6．若分式有意义，则x应满足的条件是（ ）
A．x≠0 B．x≥3 C．x≠3 D．x≤3
【考点】62：分式有意义的条件．
【专题】选择题
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0．
【解答】解：∵x﹣3≠0，
∴x≠3，
故选C．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件．当分母不为0时，分式有意义．
7．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A．12xyz﹣9x2y2=3xyz（4﹣3xyz） B．3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2）
C．﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x2+y﹣z） D．a2b+5ab﹣b=b（a2+5a）
【考点】53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】选择题
【分析】A选项中提取公因式3xy；
B选项提公因式3y；C选项提公因式﹣x，注意符号的变化；
D提公因式b．
【解答】解：A、12xyz﹣9x2y2=3xy（4z﹣3xy），故此选项错误；
B、3a2y﹣3ay+6y=3y（a2﹣a+2），故此选项正确；
C、﹣x2+xy﹣xz=﹣x（x﹣y+z），故此选项错误；
D、a2b+5ab﹣b=b（a2+5a﹣1），故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确找出公因式．符号的变化是学生容易出错的地方，要克服．
8．如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【考点】L5：平行四边形的性质；KX：三角形中位线定理．
【专题】选择题
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，可得OA=OC，又由点E是BC的中点，易得OE是△ABC的中位线，继而求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵点E是BC的中点，OE=3cm，
∴AB=2OC=6cm．
故选B．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形中位线的性质．注意平行四边形的对角线互相平分．
9．如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】C4：在数轴上表示不等式的解集；CB：解一元一次不等式组．
【专题】选择题
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．
【解答】解：
由①，得
x＜3；
由②，得
x≥﹣3；
故不等式组的解集是：﹣3≤x＜3；表示在数轴上如图所示：
故选A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组．把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
10．小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的时间和小张打180个字所用的时间相等．设小明打字速度为x个/分钟，则下列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【分析】等量关系为：小明打120个字所用的时间=小张打180个字所用的时间，把相关数值代入即可．
【解答】解：小明打120个字所用的时间为，小张打180个字所用的时间为，
所以列的方程为：，
故选C．
【点评】考查列分式方程；得到两个人所用时间的等量关系是解决本题的关键；得到两个人的工作效率是解决本题的易错点．
11．已知函数y=2x﹣3，当x 时，y≥0；当x 时，y＜5．
【考点】F5：一次函数的性质．
【专题】填空题
【分析】先根据y≥0得出关于x的不等式，求出x的取值范围；再根据y＜5得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵y=2x﹣3且y≥0，
∴2x﹣3≥0，
∴x≥；
∵y＜5，
∴2x﹣3＜5，
∴x＜4，
故答案为：≥；＜4．
【点评】本题考查的是一次函数的性质，根据题意得出关于x的不等式是解答此题的关键．
12．若关于x的方程的解是x=2，则a= ．
【考点】B2：分式方程的解．
【专题】填空题
【分析】根据解分式方程的一般步骤，可得分式方程的解，根据分式方程的解，可得a的值．
【解答】解：方程两边都乘以2（ax﹣1），得
2（x﹣a）=ax﹣1，
x==2，
a=，
故答案为：．
【点评】本题考查了分式方程的解，先用a表示出分式方程的解，再求出a的值．
13．如图，∠C=∠ABD=90°，AC=4，BC=3，BD=12，则AD的长等于 ．
【考点】KQ：勾股定理．
【专题】填空题
【分析】首先根据勾股定理求得AB的长，再根据勾股定理求得AD的长．
【解答】解：在直角三角形ABC中，AC=4，BC=3，
根据勾股定理，得AB=5．
在直角三角形ABD中，BD=12，
根据勾股定理，得AD=13．
【点评】熟练运用勾股定理进行计算．
14．若x2+px+q=（x+2）（x﹣4），则p= ，q= ．
【考点】57：因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】填空题
【分析】首先利用多项式乘法去括号，进而得出p，q的值．
【解答】解：∵x2+px+q=（x+2）（x﹣4），
∴（x+2）（x﹣4）=x2﹣2x﹣8，
则p=﹣2，q=﹣8，
故答案为：﹣2，﹣8．
【点评】此题主要考查了多项式乘以多项式的应用，正确多项式乘法运算是解题关键．
15．解不等式及分式方程：
(1)5（x+2）≥1﹣2（x﹣1）；
(2)；
(3)=3．
【考点】CB：解一元一次不等式组；B3：解分式方程；C6：解一元一次不等式．
【专题】解答题
【分析】(1)去括号、去分母、移项、合并同类项，系数化成1即可求解；
(2)先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集；
(3)去括号、去分母、移项、合并同类项，系数化成1即可求得x的值，然后进行检验即可．
【解答】解：(1)去括号，得：5x+10≥1﹣2x+2，
移项，得：5x+2x≥1+2﹣10，
合并同类项，得：7x≥﹣7，
系数化成1得：x≥﹣1；
(2)，
解①得：y＜8，
解②得：y≥2，
则不等式组的解集是：2≤y＜8；
(3)去分母，得：3﹣2=3（2x﹣2），
去括号，得：1=6x﹣6，
移项，合并同类项，得：7=6x，
系数化成1得：x=．
检验：当x=时，2x﹣2=≠0，
则方程的解是：x=．
【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．
16．先化简，再求值：÷﹣，其中x=2．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】解答题
【分析】先算除法，再算减法，最后将x=2代入．
【解答】解：÷﹣
=•﹣
=﹣
=﹣
=﹣，
当x=2时，原式=﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值．解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．
17．在图中，将大写字母A绕它上侧的顶点按逆时针方向旋转90°，作出旋转后的图案．
【考点】R8：作图﹣旋转变换．
【专题】解答题
【分析】将其中的关键点绕上顶点逆时针旋转90°后，连接各关键点成“A”即可．
【解答】解：．
【点评】本题是在网格里逆时针旋转90°，要充分运用网格里的垂直关系画图，注意检验结果是否符合题意．
18．某项工程，甲工程队单独完成任务要40天，现乙工程队先做30天后，甲乙两队合作20天恰好完成任务，乙工程队单独做要多少天才能完成任务？
【考点】B7：分式方程的应用．
【专题】解答题
【分析】设乙工程队单独做要x天才能完成任务，等量关系为：甲20天的工作量+乙50天的工作量=1，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设乙工程队单独做要x天才能完成任务，甲的速度为，乙的速度为，
由题意得：+20（+）=1，
解得：x=100，
经检验得x=100是原方程的根．
答：乙工程队单独做要100天才能完成任务．
【点评】此题考查了分式方程的应用，得到总工作量1的等量关系是解决本题的关键，对于分式方程的应用题，所得出的根一定要检验．
19．某种客货车车费起点是2km以内2.8元．往后每增加455m车费增加0.5元．现从A处到B处，共支出车费9.8元；如果从A到B，先步行了300m然后乘车也是9.8元，求AB的中点C到B处需要共付多少车费？
【考点】95：二元一次方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】设走xm需付车费y元，n为增加455m的次数，求出n的值，继而根据先步行了300m然后乘车也是9.8元，可得出不等式，解出后即可得出答案．
【解答】解：设走xm需付车费y元，n为增加455m的次数，
则y=2.8+0.5n，可得n==14，
由题意得，2000+455×13＜x≤2000+455×14，
即7915＜x≤8370，
又∵7915＜x﹣300≤8370，
∴8215＜x≤8670，
故8215＜x≤8370，
CB=，且4107.5＜≤4185，
=4.63＜5，=4.8＜5，
将n=5代入，y=2.8+0.5×5=5.3（元），
即从C到B需支付车费5.3元．
【点评】本题考查一元一次不等式组的应用及二元一次方程的应用，得到2个总路程的关系式是解决本题的关键，有一定难度．
20．如图，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，点D是BC的中点，BE，CF交于点M．
(1)如果AB=AC，求证：△DEF是等边三角形；
(2)如果AB≠AC，试猜想△DEF是不是等边三角形？如果△DEF是等边三角形，请加以证明；如果△DEF不是等边三角形，请说明理由；
(3)如果CM=4，FM=5，求BE的长度．
【考点】KL：等边三角形的判定；KQ：勾股定理．
【专题】解答题
【分析】(1)先判定△ABC是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得EF=ED=DF，从而可得△DEF是等边三角形；
(2)先根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABE=∠ACF=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BDF+∠CDE=120°，从而得到∠EDF=60°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=DF，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可证明；
(3)根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可得BM=2FM，ME=CM，然后代入数据进行计算即可求解．
【解答】(1)证明：∵∠A=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∵BE⊥AC，垂足为E，CF⊥AB，垂足为F，
∴E、F分别是AC、AB边的中点，
又∵点D是BC的中点，
EF=BC，DE=AB，DF=AC，
∴EF=ED=DF，
∴△DEF是等边三角形；
(2)解：△DEF是等边三角形．
理由如下：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°﹣60°=30°，
在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°﹣60°﹣30°×2=60°，
∵点D是BC的中点，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴DE=DF=BD=CD，
∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，
∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF是等边三角形；
(3)解：∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABE=∠ACF=90°﹣60°=30°，
∴BM=2FM=2×5=10，ME=CM=×4=2，
∴BE=BM+ME=10+2=12．
【点评】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，仔细分析图形并熟练掌握性质是解题的关键．
21．迎接大运，美化深圳，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．
(1)某校九年级(1)班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．
(2)若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明(1)中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？
【考点】CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)摆放50个园艺造型所需的甲种和乙种花卉应＜现有的盆数，可由此列出不等式求出符合题意的搭配方案来；
(2)根据两种造型单价的成本费可分别计算出各种可行方案所需的成本，然后进行比较；也可由两种造型的单价知单价成本较低的造型较多而单价成本较高的造型较少，所需的总成本就低．
【解答】解：(1)设搭配A种造型x个，则B种造型为（50﹣x）个，依题意得
解这个不等式组得，
∴31≤x≤33
∵x是整数，
∴x可取31，32，33
∴可设计三种搭配方案
①A种园艺造型31个B种园艺造型19个
②A种园艺造型32个B种园艺造型18个
③A种园艺造型33个B种园艺造型17个．
(2)方法一：
由于B种造型的造价成本高于A种造型成本．所以B种造型越少，成本越低，故应选择方案③，成本最低，最低成本为
33×800+17×960=42720（元）
方法二：
方案①需成本31×800+19×960=43040（元）
方案②需成本32×800+18×960=42880（元）
方案③需成本33×800+17×960=42720（元）
∴应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元．
【点评】本题主要考查不等式在现实生活中的应用，运用了分类讨论的思想进行比较．
22．(1)已知多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，求m的值．
(2)已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，试判断△ABC的形状．
【考点】59：因式分解的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)令2x3﹣x2+m=（2x+1）A的形式，当x=﹣时，可以转化为关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值；
(2)将已知等式利用配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，即可判断出△ABC的形状．
【解答】解：(1)∵多项式2x3﹣x2+m有一个因式是2x+1，
∴2x3﹣x2+m=（2x+1）A，
当x=﹣时，
﹣﹣+m=0，
解得m=．
(2)∵a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=0，
∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac=0，
a2+b2﹣2ab+b2+c2﹣2bc+a2+c2﹣2ac=0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2=0，
∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．
【点评】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断；以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题．
23．已知△ABC中，AB=10，AC=7，AD是角平分线，CM⊥AD于M，且N是BC的中点．求MN的长．
【考点】KX：三角形中位线定理；KJ：等腰三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】延长CM交AB于E，根据ASA证，推出CM=ME，AE=AC=7，根据三角形的中位线定理求出MN=BE，代入求出即可．
【解答】解：延长CM交AB于E，
∵AM⊥CM，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠AME=∠AMC=90°，∠EAM=∠CAM，
在△EAM与△CAM中，
，
∴△EAM≌△CAM（ASA），
∴CM=ME，AE=AC=7，
∵N是BC的中点，
∴MN=BE=（AB﹣AE）=×（10﹣7）=1.5，
即：MN的长度是：1.5．
【点评】本题主要考查对三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，能求出MN是△CEB的中位线是解此题的关键．
期末测试（三）
一、选择题
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果a＜0，则下列式子错误的是（ ）
A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．
3．下列因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2
C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）
A．AB=DC B．∠1=∠2 C．AB=AD D．∠D=∠B
5．某地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．若原计划每天修x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式组的整数解是（ ）
A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1
7．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
8．如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（6，2） C．（6，4） D．（3，5）
9．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1.5
10．已知x+y=12，xy=9，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B．：2 C．：2 D．2：
12．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
二、填空题
13．一个n边形的每个外角都等于36°，则n= ．
14．若分式的值为零，则m= ．
15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED=155°，则∠EDF等于 ．
16．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C= 度．
17．如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为 ．
18．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S= ．
三、解答题
19．分解因式：
(1)2（m﹣n）2+m（n﹣m）；
(2)（2x+y）2﹣（x+2y）2．
20．并将解集在数轴上表示出来．
21．计算，其中．
22．某市计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠BAC=56°，则∠BPC= °．
23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
25．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
| 价格 | 甲 | 乙 |
| 进价（元/双） | m | m﹣20 |
| 售价（元/双） | 240 | 160 |
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
26．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
答案与解析
1．下列图案中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】R5：中心对称图形．
【专题】选择题
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项正确；
C、是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项错误；
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
2. 如果a＜0，则下列式子错误的是（ ）
A．5+a＞3+a B．5﹣a＞3﹣a C．5a＞3a D．
【考点】C2：不等式的性质．
【专题】选择题
【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵5＞3，∴5+a＞3+a，故A选项正确；
B、∵5＞3，∴5﹣a＞3﹣a，故B选项正确；
C、∵5＞3，a＜0，∴5a＜3a，故C选项错误；
D、∵5＞3，∴＜，∵a＜0，∴＞，故D选项正确．
故选：C．
【点评】本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解答此题的关键．
3．下列因式分解错误的是（ ）
A．x2﹣y2=（x+y）（x﹣y） B．x2+6x+9=（x+3）2
C．x2+xy=x（x+y） D．x2+y2=（x+y）2
【考点】51：因式分解的意义．
【专题】选择题
【分析】根据公式特点判断，然后利用排除法求解．
【解答】解：A、是平方差公式，故A选项正确；
B、是完全平方公式，故B选项正确；
C、是提公因式法，故C选项正确；
D、（x+y）2=x2+2xy+y2，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了对于学习过的两种分解因式的方法的记忆与理解，需熟练掌握．
4．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需要条件（ ）
A．AB=DC B．∠1=∠2 C．AB=AD D．∠D=∠B
【考点】L6：平行四边形的判定；JB：平行线的判定与性质；K7：三角形内角和定理；LJ：等腰梯形的性质．
【专题】选择题
【分析】根据等腰梯形的定义判断A；根据平行线的性质可以判断B；根据平行四边形的判定可判断C；根据平行线的性质和三角形的内角和定理求出∠BAC=∠DCA，推出AB∥CD即可．
【解答】解：A、符合条件AD∥BC，AB=DC，可能是等腰梯形，故A选项错误；
B、根据∠1=∠2，推出AD∥BC，不能推出平行四边形，故B选项错误；
C、根据AB=AD和AD∥BC不能推出平行四边形，故C选项错误；
D、∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠B=∠D，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查对平行四边形的判定，等腰梯形的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．
5．某地震导致某铁路隧道被严重破坏．为抢修其中一段120米的铁路，施工队每天比原计划多修5米，结果提前4天开通了列车．若原计划每天修x米，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．
【专题】选择题
【分析】关键描述语为：提前4天开通了列车；等量关系为：计划用的时间﹣实际用的时间=4．
【解答】解：题中原计划修天，实际修了天，
可列得方程﹣=4，
故选：B．
【点评】本题考查了用方程的思想来求解实际生活中的未知量，从关键描述语找到等量关系是解决问题的关键．
6．不等式组的整数解是（ ）
A．﹣1，0，1 B．0，1 C．﹣2，0，1 D．﹣1，1
【考点】CC：一元一次不等式组的整数解．
【专题】选择题
【分析】首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．
【解答】解：，
由不等式①，得x＞﹣2，
由不等式②，得x≤1.5，
所以不等组的解集为﹣2＜x≤1.5，
因而不等式组的整数解是﹣1，0，1，
故选：A．
【点评】此题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
7．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（ ）
A．18 B．22 C．24 D．26
【考点】KG：线段垂直平分线的性质．
【专题】选择题
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AB=2AE=8，AD=BD，求出△ABC的周长为：AB+AD+DC+AC，求出AD+DC+AC=18，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，AE=4，
∴AB=2AE=8，AD=BD，
∵△ACD的周长为18，
∴AD+DC+AC=18，
∴△ABC的周长为：
AB+BC+AC
=8+BD+DC+AC
=8+AD+DC+AC
=8+18
=26，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
8．如图，已知直角坐标系中的点A、B的坐标分别为A（2，4）、B（4，0），且P为AB的中点．若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（6，2） C．（6，4） D．（3，5）
【考点】Q3：坐标与图形变化﹣平移．
【专题】选择题
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：根据中点坐标的求法可知点PD坐标为（3，2），因为左右平移点的纵坐标不变，由题意向右平移3个单位，则各点的横坐标加3，所以点Q的坐标是（6，2）．
故选：B．
【点评】本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点．
9．如图，△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′．ED是△ABC的中位线，经旋转后为线段E′D′．已知BC=4，则E′D′=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．1.5
【考点】R2：旋转的性质；KX：三角形中位线定理．
【专题】选择题
【分析】先根据图形旋转不变性的性质求出B′C′的长，再根据三角形中位线定理即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC以点O为旋转中心，旋转180°后得到△A′B′C′，
∴△ABC≌△A′B′C′，
∴B′C′=BC=4，
∵D′E′是△A′B′C′的中位线，
∴D′E′=B′C′=×4=2，
故选：A．
【点评】本题考查的是图形旋转的性质，熟知旋转前、后的图形全等是解答此题的关键．
10．已知x+y=12，xy=9，则的值等于（ ）
A． B． C． D．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】选择题
【分析】把所求式子的分子配方变为x+y与xy的关系式，分母提取xy也变为xy与x+y的形式，然后把已知的x+y与xy的值代入即可求出值．
【解答】解：∵x+y=12，xy=9，
∴
=
=
=
=．
故选：A
【点评】此题考查了分式的化简求值，利用了整体代入的思想．其中灵活运用完全平方公式及提取公因式的方法把所求式子化为关于x+y与xy的式子是解本题的关键．
11．如图，平行四边形ABCD中，AB：BC=3：2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE：EB=1：2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP：DQ等于（ ）
A．3：4 B．：2 C．：2 D．2：
【考点】L5：平行四边形的性质；K3：三角形的面积；KQ：勾股定理．
【专题】选择题
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，则BF=a，BE=2a，BN=a，BM=a，FN=a，CM=a，求出AF=a，CE=2a，代入求出即可．
【解答】解：连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
∵根据三角形的面积和平行四边形的面积得：S△DEC=S△DFA=S平行四边形ABCD，
即AF×DP=CE×DQ，
∴AF×DP=CE×DQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵∠DAB=60°，
∴∠CBN=∠DAB=60°，
∴∠BFN=∠MCB=30°，
∵AB：BC=3：2，
∴设AB=3a，BC=2a，
∵AE：EB=1：2，F是BC的中点，
∴BF=a，BE=2a，
BN=a，BM=a，
由勾股定理得：FN=a，CM=a，
AF==a，
CE==2a，
∴a•DP=2a•DQ
∴DP：DQ=2：．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形面积，勾股定理，三角形的面积，含30度角的直角三角形等知识点的应用，关键是求出AF×DP=CE×DQ和求出AF、CE的值．
12．在Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论：①AE+BF=AC，②AE2+BF2=EF2，③S四边形CEDF=S△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①④ D．②③
【考点】R2：旋转的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理；KW：等腰直角三角形．
【专题】选择题
【分析】连接CD，根据等腰直角三角形的性质得CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，再根据等角的余角相等得∠CDE=∠BDF，则可根据“AAS”判断△CDE≌△BDF，所以CE=BF，DE=DF，易得AE+BF=AC，△△DEF等腰直角三角形；再由△CDE≌△BDF得S△CDE=S△BDF，于是S四边形CEDF=S△CDB=S△ABC；然后根据CE=BF，AC=BC，CF2+CE2=EF2判断AE2+BF2=EF2．
【解答】解：连接CD，如图，
∵AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，
∴CD=BD，∠B=∠DCA=45°，CD⊥AB，
∵∠GDF=90°，即∠CDE+∠CDF=90°，
而∠CDF+∠BDF=90°，
∴∠CDE=∠BDF，
在△CDE和△BDF中，
，
∴△CDE≌△BDF（AAS），
∴CE=BF，DE=DF，
∴AE+BF=AE+CE=AC，故①正确；
∵∠EDF=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形，故④正确；
∵△CDE≌△BDF，
∴S△CDE=S△BDF，
∴S四边形CEDF=S△CDB=S△ABC，故③正确；
∵CE=BF，AC=BC，
∴AE=CF，
∵CF2+CE2=EF2，
∴AE2+BF2=EF2，故②正确．
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质和勾股定理．
13．一个n边形的每个外角都等于36°，则n= ．
【考点】L3：多边形内角与外角．
【专题】填空题
【分析】正n边形有n个外角，外角和为360°，那么边数n=360°÷一个外角的度数．
【解答】解：n=360°÷36°=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是多边形内角与外角，用到的知识点为：正多边形的边数等于360÷正多边形的一个外角度数．
14．若分式的值为零，则m= ．
【考点】63：分式的值为零的条件．
【专题】填空题
【分析】根据分式的值为零的条件（分子为零、分母不为零）可以求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
m+2=0，且m﹣2≠0、m+3≠0；
解得m=﹣2；
故答案是：﹣2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0．这两个条件缺一不可．
15．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC边上任意一点，DF⊥AC于点F，E在AB边上，ED⊥BC于点D，∠AED=155°，则∠EDF等于 ．
【考点】KH：等腰三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】由于∠EDF、∠C同为∠EDC的余角，因此它们相等，欲求∠EDF，只需求得∠C或∠B的度数即可，已知了∠AED的度数，可直接利用三角形的外角性质来求得∠B的度数，由此得解．
【解答】解：∵∠B=∠AED﹣∠BDE=155°﹣90°=65°，
又∵AB=AC，
∴∠C=∠B=65°，
∵DF⊥AC，ED⊥BC，
∴∠EDF=∠C=65°，
故答案为：65°．
【点评】综合考查了三角形的外角性质和等腰三角形的性质．注意：等角的余角相等，根据这一性质是发现角相等的一种常用方法．
16．如图，平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），点B′恰好落在BC边上，则∠C= 度．
【考点】R2：旋转的性质；L5：平行四边形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，∠BAB′=30°，进而得出∠B的度数，再利用平行四边形的性质得出∠C的度数．
【解答】解：∵平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转30°，
得到平行四边形AB′C′D′（点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点，点D′与点D是对应点），
∴AB=AB′，∠BAB′=30°，
∴∠B=∠AB′B=（180°﹣30°）÷2=75°，
∴∠C=180°﹣75°=105°．
故答案为：105．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及平行四边形的性质，根据已知得出∠B=∠AB′B=75°是解题关键．
17．如图，函数y=2x和y=ax+5的图象相交于A（m，3），则不等式2x＜ax+5的解集为 ．
【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．
【专题】填空题
【分析】先把点A（m，3）代入函数y=2x求出m的值，再根据函数图象即可直接得出结论．
【解答】解：∵点A（m，3）在函数y=2x的图象上，
∴3=2m，解得m=，
∴A（，3），
由函数图象可知，当x＜时，函数y=2x的图象在函数y=ax+5图象的下方，
∴不等式2x＜ax+5的解集为：x＜．
故答案为：x＜．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
18．如图，在直线m上摆放着三个正三角形：△ABC、△HFG、△DCE，已知BC=CE，F、G分别是BC、CE的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1，S，S3，若S1+S3=10，则S= ．
【考点】L5：平行四边形的性质；KK：等边三角形的性质．
【专题】填空题
【分析】根据题意，可以证明S与S1两个平行四边形的高相等，长是S1的2倍，S3与S的长相等，高是S3的一半，这样就可以把S1和S3用S来表示，从而计算出S的值．
【解答】解：根据正三角形的性质，∠ABC=∠HFG=∠DCE=60°，
∴AB∥HF∥DC∥GN，
设AC与FH交于P，CD与HG交于Q，
∴△PFC、△QCG和△NGE是正三角形，
∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴BF=MF=AC=BC，CP=PF=AB=BC
∴CP=MF，CQ=BC，QG=GC=CQ=AB，
∴S1=S，S3=2S，
∵S1+S3=10，
∴S+2S=10，
∴S=4，
故答案为：4．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质及平行四边形的面积求法，平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．即S=a•h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高．
19．分解因式：
(1)2（m﹣n）2+m（n﹣m）；
(2)（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【考点】54：因式分解﹣运用公式法；53：因式分解﹣提公因式法．
【专题】解答题
【分析】(1)先变形得到原式=2（m﹣n）2﹣m（m﹣n），然后利用提公因式法分解因式；
(2)利用平方差分解因式．
【解答】解：(1)原式=2（m﹣n）2﹣m（m﹣n）
=（m﹣n）（2m﹣2n﹣m）
=（m﹣n）（m﹣2n）；
(2)原式=（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
=3（x+y）（x﹣y）．
【点评】本题考查了因式分解﹣运用公式法：如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法；平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2；也考查了提公因式法分解因式．
20． 并将解集在数轴上表示出来．
【考点】CB：解一元一次不等式组；C4：在数轴上表示不等式的解集．
【专题】解答题
【分析】求出不等式的解集，根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．
【解答】解：∵解不等式①得：x≤0，
解不等式②得：x＞﹣5，
∴不等式组的解集为：﹣5＜x≤0，
在数轴上表示不等式组的解集为：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是求出不等式组的解集．
21．计算，其中．
【考点】6D：分式的化简求值．
【专题】解答题
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入原式进行计算即可．
【解答】解：原式=÷
=×
=，
当x=2+时，原式==．
【点评】本题考查分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分、约分的灵活运用．
22．某市计划修建一处公共服务设施，使它到三所公寓A、B、C的距离相等．
(1)若三所公寓A、B、C的位置如图所示，请你在图中确定这处公共服务设施（用点P表示）的位置（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
(2)若∠BAC=56°，则∠BPC= °．
【考点】N4：作图—应用与设计作图．
【专题】解答题
【分析】(1)到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上，所以应作出任意两条线段的垂直平分线，它们的交点即为所求；
(2)连接点P和各顶点，以及AC．根据线段的垂直平分线的性质和三角形的内角和定理求解．
【解答】解：(1)如图：
．
(2)连接点P和各顶点，延长AP到D交BC于D，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
同理∠PAC=∠PCA，
∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=56°，
∴∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°，
∵∠BPD=∠PAB+∠PBA，∠CPD=∠PAC+∠PCA，
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=∠PAB+∠PBA+∠PAC+∠PCA=112°．
故答案为：112．
【点评】此题考查应用与设计作图．本题用到的知识点为：到线段两个端点距离相等的点应在线段的垂直平分线上；线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．等边对等角．
23．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC．
(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；
(2)线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．
【考点】L7：平行四边形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】(1)证明△AGE≌△ACE，根据全等三角形的性质可得到GE=EC，再利用三角形的中位线定理证明DE∥AB，再加上条件EF∥BC可证出结论；
(2)先证明BF=DE=BG，再证明AG=AC，可得到BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．
【解答】(1)证明：延长CE交AB于点G，
∵AE⊥CE，
∴∠AEG=∠AEC=90°，
在△AEG和△AEC中，
∴△AGE≌△ACE（ASA）．
∴GE=EC．
∵BD=CD，
∴DE为△CGB的中位线，
∴DE∥AB．
∵EF∥BC，
∴四边形BDEF是平行四边形．
(2)解：BF=（AB﹣AC）．
理由如下：
∵四边形BDEF是平行四边形，
∴BF=DE．
∵D、E分别是BC、GC的中点，
∴BF=DE=BG．
∵△AGE≌△ACE，
∴AG=AC，
∴BF=（AB﹣AG）=（AB﹣AC）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明GE=EC，再利用三角形中位线定理证明DE∥AB是解决问题的关键．
24．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．
(1)求证：AD⊥CF；
(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．
【考点】KJ：等腰三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质．
【专题】解答题
【分析】(1)欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．
(2)要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据(1)的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．
【解答】(1)证明：在等腰直角三角形ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=∠CAB=45°．
又∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠BDE=45°．
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°．
∴∠BFD=45°=∠BDE．
∴BF=DB．
又∵D为BC的中点，
∴CD=DB．
即BF=CD．
在△CBF和△ACD中，
，
∴△CBF≌△ACD（SAS）．∴∠BCF=∠CAD．
又∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°．
即AD⊥CF．
(2)△ACF是等腰三角形，理由为：
连接AF，如图所示，
由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，
∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，
∴BE垂直平分DF，
∴AF=AD，
∵CF=AD，∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形．
【点评】此题难度中等，考查全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．
25．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：
运动鞋
| 价格 | 甲 | 乙 |
| 进价（元/双） | m | m﹣20 |
| 售价（元/双） | 240 | 160 |
(1)求m的值；
(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价﹣进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？
(3)在(2)的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a（50＜a＜70）元出售，乙种运动鞋价格不变．那么该专卖店要获得最大利润应如何进货？
【考点】FH：一次函数的应用；B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．
【专题】解答题
【分析】(1)用总价除以单价表示出购进鞋的数量，根据两种鞋的数量相等列出方程求解即可；
(2)设购进甲种运动鞋x双，表示出乙种运动鞋（200﹣x）双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答；
(3)设总利润为W，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可．
【解答】解：(1)依题意得，=，
整理得，3000（m﹣20）=2400m，
解得m=100，
经检验，m=100是原分式方程的解，
所以，m=100；
(2)设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋（200﹣x）双，
根据题意得，，
解不等式①得，x≥95，
解不等式②得，x≤105，
所以，不等式组的解集是95≤x≤105，
∵x是正整数，105﹣95+1=11，
∴共有11种方案；
(3)设总利润为W，则W=（240﹣100﹣a）x+80（200﹣x）=（60﹣a）x+16000（95≤x≤105），
①当50＜a＜60时，60﹣a＞0，W随x的增大而增大，
所以，当x=105时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双；
②当a=60时，60﹣a=0，W=16000，(2)中所有方案获利都一样；
③当60＜a＜70时，60﹣a＜0，W随x的增大而减小，
所以，当x=95时，W有最大值，
即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双．
【点评】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系，(3)要根据一次项系数的情况分情况讨论．
26．在▱ABCD中，∠ADC的平分线交直线BC于点E、交AB的延长线于点F，连接AC．
(1)如图1，若∠ADC=90°，G是EF的中点，连接AG、CG．
①求证：BE=BF．
②请判断△AGC的形状，并说明理由；
(2)如图2，若∠ADC=60°，将线段FB绕点F顺时针旋转60°至FG，连接AG、CG．那么△AGC又是怎样的形状．（直接写出结论不必证明）
【考点】L5：平行四边形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；KL：等边三角形的判定；KW：等腰直角三角形．
【专题】解答题
【分析】(1)①先判定四边形ABCD是矩形，再根据矩形的性质可得∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，然后根据平行线的性质求出∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，再根据DF是∠ADC的平分线，利用角平分线的定义得到∠ADF=∠FDC，从而得到∠F=∠BEF，然后根据等角对等边的性质即可证明；
②连接BG，根据等腰直角三角形的性质可得∠F=∠BEF=45°，再根据等腰三角形三线合一的性质求出BG=FG，∠F=∠CBG=45°，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，再求出∠GAC+∠ACG=90°，然后求出∠AGC=90°，然后根据等腰直角三角形的定义判断即可；
(2)连接BG，根据旋转的性质可得△BFG是等边三角形，再根据角平分线的定义以及平行线的性质求出AF=AD，平行四边形的对角相等求出∠ABC=∠ADC=60°，然后求出∠CBG=60°，从而得到∠AFG=∠CBG，然后利用“边角边”证明△AFG和△CBG全等，根据全等三角形对应边相等可得AG=CG，全等三角形对应角相等可得∠FAG=∠BCG，然后求出∠GAC+∠ACG=120°，再求出∠AGC=60°，然后根据等边三角形的判定方法判定即可．
【解答】(1)证明：①∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AB∥DC，AD∥BC，
∴∠F=∠FDC，∠BEF=∠ADF，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∴∠F=∠BEF，
∴BF=BE；
②△AGC是等腰直角三角形．
理由如下：连接BG，
由①知，BF=BE，∠FBC=90°，
∴∠F=∠BEF=45°，
∵G是EF的中点，
∴BG=FG，∠F=∠CBG=45°，
∵∠FAD=90°，
∴AF=AD，
又∵AD=BC，
∴AF=BC，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，
∴∠FAG=∠BCG，
又∵∠FAG+∠GAC+∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GAC+∠ACB=90°，
即∠GAC+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴△AGC是等腰直角三角形；
(2)连接BG，∵FB绕点F顺时针旋转60°至FG，
∴△BFG是等边三角形，
∴FG=BG，∠FBG=60°，
又∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=∠ADC=60°
∴∠CBG=180°﹣∠FBG﹣∠ABC=180°﹣60°﹣60°=60°，
∴∠AFG=∠CBG，
∵DF是∠ADC的平分线，
∴∠ADF=∠FDC，
∵AB∥DC，
∴∠AFD=∠FDC，
∴∠AFD=∠ADF，
∴AF=AD，
在△AFG和△CBG中，，
∴△AFG≌△CBG（SAS），
∴AG=CG，∠FAG=∠BCG，
在△ABC中，∠GAC+∠ACG=∠ACB+∠BCG+∠GAC=∠ACB+∠BAG+∠GAC=∠ACB+∠BAC=180°﹣60°=120°，
∴∠AGC=180°﹣（∠GAC+∠ACG）=180°﹣120°=60°，
∴△AGC是等边三角形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，难度较大，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
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