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七
升
八
衔
接
班
讲
义
第一讲 与三角形有关的线段
知识点1、三角形的概念
☑不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。
☑三角形的表示方法
三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C的三角形，记作“△ABC”
三角形ABC用符号表示为△ABC。三角形ABC的顶点C所对的边AB可用c 表示,顶点B所对的边AC可用b表示,顶点A所对的边BC可用a表示.
知识点2、三角形的三边关系
【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？
☑三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b
拓展：a+b＞c，根据不等式的性质得c-b＜a，即两边之差小于第三边。
即a-b＜c＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）
【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形的第三边的长可能是（ ）
| A．3cm | B．4cm | C．7cm | D．11cm |
(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12
【辨析】有三条线段a、b、c，a+b＞c，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？
【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和
【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？
知识点3 三角形的三条重要线段
☑三角形的高
(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高）
(2)高的叙述方法
AD是△ABC的高
AD⊥BC，垂足为D
点D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90度
[练习]
画出、、三个△ABC各边的高,并说明是哪条边的高.
AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____ AB边上的高是线段____
BC边上的高是_________ BC边上的高是_________ BC边上的高是_________
AC边上的高是_________ AC边上的高是_________ AC边上的高是_________
[辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________
[探究] 画出图1中三角形ABC三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画
【结论】________________________________________
☑三角形的中线
（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线
[练习]
画出、、三个△ABC各边的中线,并说明是哪条边的中线.
AB边上的中线是线段____ AB边上的中线是线段____ AB边上的中线是线段____
BC边上的中线是_________ BC边上的中线是_________ BC边上的中线是_________
AC边上的中线是________ AC边上的中线是_________ AC边上的中线是_________
图中有相等关系的线段：___________________________________________________
[探究1]观察△ABC的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？
【结论】_________________________________
[探究2]如图，AD为三角形ABC的中线，△ABD和△ACD的面积相比有何关系？
【结论】__________________________________________
【例2】如图，已知△ABC的周长为16厘米，AD是BC边上的中线，AD=AB，AD=4厘米，△ABD的周长是12厘米，求△ABC各边的长。
☑三角形的角平分线
（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？
画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.
[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________
[自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：
(1)BD=______=________； (2)BC=2_______=2_______；
(3)∠BAE=_______=_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90
知识点4 三角形的稳定性
三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。
钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。
你还能举出一些例子吗？
【试一试】
1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______
2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（ ）
3、若点P是△ABC内一点，试说明AB+AC＞PB+PC
[课后作业]
1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）
| A． | B． | C． | D． |
| A．1个 | B．2个 | C．3个 | D．4个 |
| A．13 cm | B．6 cm | C．5 cm | D．4 cm |
| A．5 m | B．15m | C．20 m | D．28m |
| A．2个 | B．4个 | C．6个 | D．8个 |
| A．直线 | B．线段 | C．射线 | D．以上答案都不对 |
| A．中线 | B．角平分线 |
| C．高 | D．既是中线，又是角平分线 |
| A．△ABC中，AC是BC边上的高 |
| B．△BCD中，DE是BC边上的高 |
| C．△ABE中，DE是BE边上的高 |
| D．△ACD中，AD是CD边上的高 |
10、三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________.
11、如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，填空：
（1）BD＝________＝________;
（2）∠BAE＝________＝________；
（3）∠AFB＝________＝90°；
（4）∠B的余角是________，∠C与________互余；
（5）S△ABC＝________，S△ABD________S△ADC＝________．
12、如图，AD是△ABC的中线，DE=2AE，若△ABC的面积是18cm2，则△ABE的面积=__________
13、如图，, , ,求
14、已知在△ABC中，三边长a,b,c都是整数，且满足a＞b＞c,a=8，那么满足条件的三角形共有多少个？
15、如图，在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，三角形ABD的周长比三角形ACD的周长小5，你能求出AC与AB的边长的差吗？
16、如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．
17 、在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD和△ADC的周长之差为4（AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长．
第二讲 与三角形有关的角
知识点1、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于1800。
【导入】我们在小学就知道三角形内角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？
把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
想一想，还可以怎样拼？
①剪下∠A，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
图2
②把和剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。
如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形内角和等于1800的方法吗？
证明：已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=1800。
【例1】如图，C岛在A岛的北偏东30°方向，B岛在A岛的北偏东100°方向，C岛在B岛的北偏西55°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
知识点2、三角形的外角
☑定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
[自我探究] 画出图中三角形ABC的外角
1、判断图中∠1是不是△ABC的外角：_______________
2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC的外角吗？________________
(2)△ABC共有多少个外角？___________________
请在图中标出△ABC的其它外角.
3、探究题：如图，这是我们证明三角形内角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD与∠A、∠B的关系吗？
∵CE∥AB， ∴∠A=_____，_____=∠2
又∠ACD=_______+________
∴∠ACD=_______+________
结论1______________________________________________
结论2_____________________________________(外角两性质)
【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。
外角的作用：
1、已知外角和与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个
2、可证一个角等于另两个角的和
3、证明两个角不相等的关系。
[练习]填空：求出下列各图中∠1的度数.
(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；
(4)如图，∠1=______；(5)如图，∠1=______；(6)如图，∠1=______.
2、判断正误：对的有______，错的有_________.
(1)三角形的一个外角等于两个内角的和.
(2)三角形的一个外角减去它的一个不相邻的内角，等于它的另一个不相邻的内角. (3)三角形的一个外角大于与它不相邻的一个内角.
[探究]
2. 已知：如图，∠1=30°，∠2=50°，∠3=45°，
则(1)∠4=______°；(2)∠5=______°.
3.已知：如图∠1=40°，∠2=∠3，则
(1)∠4=______°；(2)∠2=______°.
4.如图，AB∥CD，∠B=55°，∠C=40°，则
(1)∠D=______°；(2)∠1=______°.
5. 例2.如图，∠BAE，∠CBF，
∠ACD是△ABC的三个外角，
它们的和是多少？
解：因为∠BAE=∠__+∠____，
∠CBF=∠__+∠___，
∠ACD=__________，
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD
=（∠__+∠___）+（________）+（___________）
=2（∠1+_________）=2×180°=360°.
从例2.我们可以得到一个数学结论: 三角形________________________________.
[试一试]
6 已知：如图，∠B=30°，∠C=65°，∠BAD=50°，
求∠CAD的度数.
解：在△ABC中，∠ADC=∠____+∠___=____°+___°=_______.
在△ADC中，∠CAD=180°-_____________
=180°-_____________=_________.
7.已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，
∠BAC=80°，∠C=40°，则∠BAD=________°.
8.已知：如图，BD是△ABC的角平分线,
∠A=100°，∠C=30°，则∠ADB=________°.
9.*如图，AD、BE分别是△ABC的高和
角平分线，∠BAC=100°，∠C=30°，则∠1=________°.
10*.△ABC中，∠B=∠A+100，∠C=∠B+200，
求△ABC各内角的度数
【实战演练】
1、如图所示，D,E分别AC，AB边上的点，DB,EC相交于点F，则∠A+∠B+∠C+∠EFB=_________
2、如图所示，已知∠1=∠2，∠BAC=70度，求∠DEF的度数。
3、已知△ABC中，∠A, ∠B, ∠C的外角度数之比为3：4：5，求∠A, ∠B, ∠C的度数，并判断△ABC的形状。
4、（1）如图所示，已知△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．试说明∠BOC=90°+∠A（2）如图所示，BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的外角平分线．试说明∠D=90°－∠A；
（3）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．
[课后作业]
1、（2011，济宁）若一个三角形三个内角度数的比为2∶7∶4，那么这个三角形是（）
| A．直角三角形 | B．锐角三角形 | C．钝角三角形 | D．等边三角形 |
| A．锐角三角形 | B．直角三角形 | C．钝角三角形 | D．无法确定 |
4、如图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4的度数为________．
5、如图所示，已知AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数是_________
(第3题) （第4题） （第5题）
6、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为________
7、如图所示，AC⊥DE，垂足为O，∠B＝35°，∠E＝30°，则∠A＝________．
8、把一把直尺与一个三角板如图放置，若∠1＝45°，则∠2的度数为（）
（第6题） （第7题） （第8题）
9、已知△ABC中，∠B、∠C的外角平分线交于点D，∠A＝40°，那么∠D＝________．
10、在△ABC中，若∠A-2∠B=70°，2∠C-∠B=10°，则∠C=________.
11、如图，是用四根木棒搭成的平行四边形框架，AB=8 cm，AD=6 cm，使AB固定，转动AD，当∠DAB=________时，ABCD的面积最大，最大值是________.
12、（2012•漳州）将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是（ ）
13、一副三角板如图叠放在一起，则图中∠α的度数为（ ）
（第11题） （第12题） （第13题）
14、如图所示，AB∥CD，∠E=27°，∠C=52°，则∠EAB的度数为（ ）
15、如图，△ABC中，∠A=50°，点D，E分别在AB，AC上，则∠1+∠2的大小为（ ）
（第14题） （第15题）
16、（2006•临沂）如图，已知AB∥CD，则（ ）
| A．∠1=∠2+∠3 | B．∠1=2∠2+∠3 |
| C．∠1=2∠2-∠3 | D．∠1=180°-∠2-∠3 |
| A．10° | B．20° | C．30° | D．40° |
（第16题） （第17题） （第18题）
19、若一个三角形三个外角的度数之比为2：3：4，则与之对应的三个内角的度数的比为（ ）
| A．5：3：1 | B．3：2：4 | C．4：3：2 | D．3：1：5 |
（1）若∠ABC=40°，∠ACB=60°，则∠BOC=________；
（2）若∠ABC+∠ACB=116°，则∠BOC=________；
（3）若∠A=76°，则∠BOC=________；
（4）若∠A=m°，则∠BOC=________；
（5）若∠BOC=120°，则∠A=________；
（6）∠A与∠BOC之间具有的数量关系是________.
21、（1）如图，∠MON=80°，点A、B分别在射线OM、ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD交于点P．试问：随着点A、B位置的变化，∠APB的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠APB的度数．若发生变化，求出变化范围．
（2）画两条相交的直线OX、OY，使∠XOY=60°，②在射线OX、OY上分别再任意取A、B两点，③作∠ABY的平分线BD，BD的反向延长线交∠OAB的平分线于点C，随着点A、B位置的变化，∠C的大小是否会变化？若保持不变，请求出∠C的度数．若发生变化，求出变化范围．
第三讲 多边形及其内角和
知识点1、多边形的有关概念
☑定义：在平面内，由一些不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形
多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形……、n边形。这就是说，一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形，三角形是最简单的多边形。
与三角形类似地，多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，如图中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E。多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角．如图中的∠1是五边形ABCDE的一个外角。
连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线
凸多边形和凹多边形
如图，下面的两个多边形有什么不同？
在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形；而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形。
注意：今后我们讨论的多边形指的都是凸多边形．
我们知道，等边三角形、正方形的各个角都相等，各条边都相等，像这样各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
知识点2、多边形的内角和
[探究] 观察下面的图形，填空：
五边形 六边形
从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ；
从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ；
从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 三角形，n边形的内角和等于 。
【小结】从一个顶点引对角线时，这个顶点和相邻的两个顶点不能引对角线，那么还剩下(n-3)个顶点，就能引出(n-3)条对角线，从而得出结论：从n边形的一个顶点可引出(n-3)条对角线，每一个顶点可引出(n-3)条对角线，有n个顶点，共有n(n-3)条对角线，但每条对角线都算了两次，所以n边形共有对角线的条数为
多边形内角和的证明
方法1、如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。
方法2、如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。
∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°
如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．
☑多边形的外角和
n边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于180度，n个外角连同它们各自相邻的内角共有2n个角，这些角的总和等于，所以外角和为
[自我检测]
1.一个多边形的内角和为720°,那么它是________边形.
2.一个多边形每一个内角等于144°,则其边数是________.
3.下列角度中,不能成为多边形内角和的是( )
A. 600° B. 420° C. 900° D. 1800°
4如果五边形的三个内角是直角,另两个内角都为n°,则n的值为 ( )
A.105 B.120 C.125 D.135
5.一个四边形的内角中,钝角最多有( ) A.一个 B.两个 C.三个 D.四个
6. 一个四边形四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数比是2:3:4:3，求这个四边形的四个内角.
分析与简解:我们从∠A、∠B、∠C、∠D的度数比是2:3:4:3，所以如果我们设∠A的度数为2x则∠B、∠C、∠D的度数为___，____，_____.根据题意，列方程:___________________
解得x=30.所以，∠A=2x°=2×____°=_____°.类似，∠B =_____、∠C =_______、∠D= _________
7.四边形ABCD中若∠A +∠B =180° 且: ∠B:∠C:∠D =1:2:3则∠A=___________
8.一个五边形剪去一个角后,剩下的内角和是多少度:________________________________
9.如果一个多边形除了一个内角外,其余各内角这和为1190°,则这个内角为_________度,是一个__________边形.
10.一个多边形截去一个角(不过顶点)后,所形成的一个多边形的内角和是2520°,那么原多边形的边数是 ( ) A.13 B.15 C.17 D.19
8.填空：如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是______边形.
9.填空：如果一个多边形的各外角都等于60°，那么这个多边形是______边形.
10.填空：如果一个多边形的各内角都等于120°，那么这个多边形是______边形.
11.一个多边形的内角和是外角和的2.5倍，它是几边形？
解：设这个多边形为n边形. - - - - 注意学习解题格式
根据题意，列方程得(_______)·180=_______×360.
解得 n=____.
答：这个多边形是_____边形.
12.求下列图中x值
答案:
(1)X=
(2)X=
13.四边形的内角和是_________,外角和是___________
14.一个多边形的每一个外角为18°,则它是一个______边形.
15.当多边形的边数增加1时,其内角和增加______度,外角和增加___度.
16一个正多边形的每个外角都是72°,则这个多边形是__________边形.
17.每个内角都为144°的多边形为______边形.
18.若多边形的内角和等于外角的3倍,则这个多边形的边是______.
19.四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )
A.都是钝角 B.都是锐角 C.是一个锐角,一个钝角. D. 是一个锐角,一个直角
20**.若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( ) A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:4
21**一个多边形的内角中,锐角的个数最多有 ( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
22**若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( ) A.90° B.105° C.130° D.120°
【课后作业】
1、过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成6个三角形，这个多边形的边数为（）
| A．5 | B．6 | C．7 | D．8 |
| A．5 | B．20 | C．22 | D．18 |
| A．12 | B．13 | C．14 | D．15 |
| A．3 | B．4 | C．5 | D．6 |
| A．5 | B．6 | C．7 | D．8 |
| A．10 | B．11 | C．12 | D．以上都有可能 |
| A．30° | B．40° | C．80° | D．不存在 |
| A．180° | B．360° | C．540° | D．720° |
| A．45° | B．50° | C．55° | D．60° |
| A．30 | B．36 | C．40 | D．72 |
（第7题） （第8题） （第9题） （第10题）
11、如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6的度数之和是（ ）
| A．120° | B．135° | C．180° | D．360° |
| A．4 | B．5 | C．6 | D．7 |
| A．12 | B．13 | C．14 | D．15 |
| A．2πR2 | B．4πR2 | C．πR2 | D．不能确定 |
（第11题） （第12题） （第13题） （第14题）
15、外角都是72°的多边形的内角和是________．
16、如果一个正多边形的内角比它相邻的外角大100°，那么这个多边形是________．
17、如图所示，根据图中的对话回答问题：（1）王强是在求几边形的内角和？（2）少加的那个内角为多少度？
第四讲 全等三角形
[观察与探案]
1、观察下列图形，都有什么共同特征？你还能举出其他例子吗？
☑定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2、右图中的二个图形是全等形吗？
[思考]二个图形满足什么条件时就能完全重合呢？
结论：
3、判断下列说法是否正确：
①五角星都是全等形；（ ） ⑤周长相等的长方形是全等形；（ ）
②面积相等的三角形是全等形； （ ）⑥周长相等的正方形是全等形；（ ）
③全等的两个图形面积相等（ ） ⑦全等的两个三角形的大小和形状完全相同；（ ）
4、拿出纸片，对折以后用剪刀剪出两个三角形，观察发现：这两个三角形_____、_____相同,能够 ,因此，我们把 的两个三角形叫做全等三角形。
☑定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
“全等”用“≌”表示，读作“全等于” ，如图中的两个三角形全等，记作：△ABC≌△DEF]
5、按要求填空
△ABC中，AB边的对角是________，AC边的对角是_______，∠B的对边是________；______是∠A的对边；AB与BC的夹角是_________，AC与BC的夹角是___________，∠B是_____和_____的夹角。
[问题]：你手中的两个三角形是全等的，但是如果任意摆放能重合吗？该怎样做它们才能重合呢？
[发现]：两个全等三角形任意摆放时，并不一定能完全重合，只有当把 重合到一起（或 重合到一起）时它们才能完全重合。这时我们把重合在一起的顶点、角、边分别称为对应顶点、对应角、对应边。
☑表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点字母写在对应的位置上，这样便于确定两个三角形的对应关系。
[思考]两个三角形全等，它们的对应边有什么关系？对应角呢？
[发现]全等三角形的性质：全等三角形的对应边________，对应角_____________
☑用几何语言表示全等三角形的性质
如图：
∵∆ABC≌ ∆DEF
∴AB＝DE，AC＝DF，BC＝EF（全等三角形对应边相等）
∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F（全等三角形对应角相等）
[思考]图中的各对三角形是全等三角形，怎样改变其中一个三角形的位置，使它能与另一个三角形完全重合?
一个图形经过平移、翻折、旋转后，_________变化了，但_______和_______没变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。
[思考]通过刚才的操作，你能说说每对三角形的对应顶点，对应角，对应边吗？
[试一试]下列图形中，至少有两个三角形是全等的，请写出你找到的对应边、对应角。
☑根据位置元素来推理
a.有公共边的，公共边是对应边；
b.有公共角的，公共角是对应角；
c.有对顶角的，对顶角是对应角；
d.两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边也是对应边；
e.两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角也是对应角；
[练一练]
| 图形 | 记作 | 对应边 | 对应角 |
| 图形 | 记作 | 对应边 | 对应角 |
A、 1 B、2 C、3 D、4
【例2】如图, △ABD ≌ △EBC
1、请找出对应边和对应角。
2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的长.
【例3】如图RT△ABE≌RT△ECD，点B、E、C在同一直线上，则结论： AE=EDAE⊥DEBC=AB+CD, AB∥DC中成立的是（ ）
A B C D
【课后作业】
一、选择、填空
1、 全等三角形是（ ）
| A． 三个角对应相等的两个三角形 | B． 周长相等的两个三角形 |
| C． 面积相等的两个三角形 | D． 能够完全重合的两个三角形 |
3、如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°∠C＝25°则∠DAO＝________度
4、如图，△ACB≌△A＇CB＇，∠BCB＇＝30°，∠ACA＇的度数为（ ）
| A． 20° | B． 30° | C． 35° | D． 40° |
（第2题） （第3题） （第4题）
5、在△ABC中，∠B＝∠C，若与△ABC全等的一个三角形中有一个角是92°，那么92°角在△ABC中的对应角是（ ）
| A． ∠C | B． ∠B | C． ∠A | D． ∠B或∠C |
| A． 7cm | B．2 cm或7 cm | C．5 cm | D．2 cm或5 cm |
| A． 5 | B． 4 | C． 3 | D． 2 |
| A．585° | B．540° | C．270° | D．315° |
10、如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于________
11、如图，点F、A、D、C在同一直线上，△ABC≌△DEF，AD=3，CF=10，则AC等于_________
（第8题） （第9题） （第10题） （第11题）
二、解答题
12、如图，△ACE≌△DBF，AE＝DF，CE＝BF，AD＝10，BC＝2。
（1）求证：AB＝CD
（2）求AC的长度
（3）若∠A＝40°，∠E＝80°，求∠DBF的度数。
13、如图，已知△ABC≌△CDA，则下列结论：
AB＝CD，BC＝DA ∠BAC＝∠DCA，∠ACB＝∠CAD AB∥CD，BC∥DA，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
14、如图所示，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，则θ的度数是________．
15、如图，△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，点D、E分别在BC、AB上，△ACD≌△AED，
（1）求证：AB＝BC＋BE
（2）若AB＝6㎝，求△DEB的周长。
第五讲 全等三角形的判定（一）
知识点1、边角边定理
☑[思考与探究]
1、问题：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃？
(1) (2)
2、是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？
A．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？
B．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．
①三角形一内角为30°，一条边为3cm．
②三角形两内角分别为30°和50°．
③三角形两条边分别为4cm、6cm．
[发现] 给出一个或二个条件时，两个三角形不能保证全等
[思考] 如果给出三个条件时，两个三角形会全等吗？这些条件可以怎样分类？
条件分类：三条边相等， ，_______________,__________________
☑[操作] 1、已知一个三角形的三条边长分别为6cm、8cm、10cm．你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
[尺规作图]
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：
1．画线段取B′C′=BC；
2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；
3．连接线段A′B′、A′C′．
上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？
（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．
（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
【例1】如图所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，求证△ABD≌△ACD
【例2】如图,已知AC=AD,BC=BD, 求证AB是∠DAC的平分线.
【例3】已知AB=AD，DC=CB，则∠B与∠D是什么关系？
[探究] 通过前面的操作，我们知道当满足三个角相等时，两个三角形不一定全等，当满足三条边相等时，两个三角形全等，如果满足二条边和一角对应相等时，两个三角形全等吗？
[操作1]
1、画∠AOB=30度。
2、在射线OA上取OD=6厘米
3、以点A为圆心，以4厘米为半径作弧交射线OB于E，连结DE
和同伴画的三角形比较，两个三角形全等吗？
[思考]在以上的操作中，满足了哪些条件呢？
[操作2]
1、画∠AOB=30度。
2、在射线OA上取OD=6厘米
3、在身线OB上取OE=4厘米，连结DE
和同伴画的三角形比较，两个三角形现在全等吗？
[思考]在以上的操作中，又满足了哪些条件呢？通过以上操作，你认为二个三角形满足什么条件时，就全等呢？
知识点2、“边角边”定理
☑两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边角边”或“SAS”）．
[尺规作图]角平分线的画法
【例1】如图所示有一池塘，要测池塘两侧A、B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点，连接AC并延长到D，使CD=CA，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么？
【例2】(1)如图3，已知AD∥BC，AD＝CB，要用边角边公理证明△ABC≌△CDA，需要三个条件，这三个条件中，已具有两个条件，一是AD＝CB(已知)，二是___________；还需要一个条件_____________(这个条件可以证得吗？)．
(2)如图4，已知AB＝AC，AD＝AE，∠1＝∠2，要用边角边公理证明△ABD≌ACE，需要满足的三个条件中，已具有两个条件：_________________________(这个条件可以证得吗？)．
【例3】已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．
【例4】如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED
【课后作业】
1、如图所示，AB＝AC，BE＝CD，要使△ABE≌△ACD，依据SSS，则还需添加条件________．
2、如图所示，已知AB＝CD，AD＝CB，∠1＝40°，∠2＝80°，则∠A＝________．
3、如图，已知AE＝AD，AB＝AC，EC＝DB，则①∠C＝∠B，②∠D＝∠E，③∠EAD＝∠BAC，④∠B＝∠E，其中错误的结论是（ ）
| A．① | B． ② | C． ③ | D． ④ |
| A． AD＝AE，BE＝CD | B． AD＝AE，BD＝CE |
| C． AB＝AC，AD＝AE，BE＝CD | D． AB＝AE，AC＝AD |
(第1题) （第2题） （第3题） （第4题）
5、如图，D为AE延长线上一点，且AB＝AC，EB＝EC，则图有全等三角形（ ）
| A． 1对 | B． 2对 | C． 3对 | D． 4对 |
7、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，若要证明∠A＝∠D，则要添加的辅助线是________．
（第5题） （第6题） （第7题）
8、如图所示，F、C在线段BE上，且∠1＝∠2，BC＝EF，若要根据“SAS”使△ABC≌△DEF，还需要补充的条件是________．
9、如图，已知AC＝FE，BC＝DE，点A、D、B、F在一条直线上，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是________
10、如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________；又知AD＝BC，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是________，则∠BAC＝∠DCA，理由是________，则AB∥DC，理由是________
11、如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，BD＝CF，BE＝CD，则∠EDF的度数是________．
(第9题) (第10题) (第11题) （第12题）
12、已知：AC=BC，AD=BD，点M和N分别是AC和BC的中点，说明：DM=DN．
13、如图所示，AD＝AE，BD＝CE，∠ADB＝∠AEC＝100°，∠BAE＝70°，求∠C的度数
14、如图，AC与BD交于点O，AD＝CB，E、F是BD上两点，且AE＝CF，DF＝BE，
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）求证：AE∥CF
15、如图，已知AB＝CD，AC＝BD，求证：∠A＝∠D
15、综合训练
如图，D是BC上一点，AB＝AD，BC＝DE，AC＝AE。
（1）求证：∠C＝∠E
（2）求证：∠CDE＝∠BAD
第六讲 全等三角形的判定（二）
知识点3、“角边角定理（ASA）”
[回顾] 三角形中已知三个元素，包括哪几种情况？___________________
到目前为止，可以作为判别两三角形全等的方法有几种？各是什么？_____________
三角形中已知两角一边有几种可能？______________________
[问题] 如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带哪块去？
[做一做] 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？将你画的三角形剪下，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
☑两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）．
[思考] 在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定．我们是不是可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等”呢？
【例1】如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
证明：
☑两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）．
【例2】如下图，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．
【例3】如图，，AC，BD相交于O，求证：①AB=CD ②OA=OD
【例4】如图：D是△ABC的边AB上一点，DE交AC于点E，交CF于点F，
DE=FE,FC∥AB,求证：AE=CE
【例5】已知，如图，，求证：AB=DE
【课后作业】
1、下列各组条件中，能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
| A． AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D |
| B． ∠A＝∠D，∠C＝∠F，AC＝EF |
| C． AB＝DE，BC＝EF，△ABC的周长＝△DEF的周长 |
| D． ∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F |
2、分别根据下列已知条件，再补充一个条件使得如图所示的△ABD和△ACE全等：
（1）AB＝AC，________；
（2）∠B＝∠C，________；
（3）AD＝AE，________，DB＝CE
3、给出下列说法：
①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么一定也可以依据“ASA”来判定它们全等；
②如果两个三角形都和第三个三角形不全等，那么这两个三角形也一定不全等；
③要判定两个三角形全等，给出的条件中至少要有一条边对应相等．正确的是（ ）
| A．①② | B． ②③ | C． ①③ | D． ①②③ |
①AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF；
②AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF；
③∠B＝∠E，BC＝EF，∠C＝∠F；
④AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E．其中，能使△ABC≌△DEF的条件共有（ ）
| A． 1组 | B． 2组 | C． 3组 | D． 4组 |
| A． 1个 | B． 2个 | C． 3个 | D． 0 |
| A．①② | B．①③ | C．①②④ | D．①②③④ |
8、（2011绥化）如图，点B、F、C、E在同一直线上，点A、D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE．请添加一个适当的条件________，使得AC＝DF
（第6题） （第7题） （第8题）
9、如图，已知AC平分∠BAD，∠1＝∠2，求证：AB＝AD
10、已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△EDC
11、已知：点B、E、C、F在同一直线上，AB＝DE，∠A＝∠D，AC∥DF.求证：（1）△ABC≌△DEF；（2）BE＝CF．
12、如图所示，AD是△ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CF、BE，垂足分别为F、E.求证：BE＝CF
13、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE＝BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．求证：AB＝FC
第七讲 直角三角形全等的条件(HL)
[问题] 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．（播放课件）
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
只有卷尺，那么他只能量出斜边长度和不被遮住的直角边边长，此时能判定两个三角形全等吗？
[操作]
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
1．画∠MC′N=90°。
2．在射线C′M上取B′C′=BC。
3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。连接A′B′。
【例1】如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．
【例2】如图，在△ABC中，已知D是BC中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，DE＝DF. 求证：AB=AC
【例3】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD=DF．求证：CF=EB．
【例4】如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3，AE=4，求CH的长。
【例5】已知：如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l经过点C，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D，E．求证：△ACD≌△CBE
【课后作业】
1、下列条件不能判断两个直角三角形全等的是（ ）
| A．两条直角边分别对应相等 | B．斜边和一个锐角分别对应相等 |
| C．两个锐角对应相等 | D．斜边和一直角边分别对应相等 |
3、如图，BA∥DC，∠A＝90°，AB＝CE，BC＝ED，则△CED≌_____，AC＝_____，∠B＝_____．
4、如图，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F，若BE＝CF，则图中全等三角形共有________对
5、如图，△ABC中，AB＝AC，BE，CF是两腰上的高，则△ABE≌△ACF的理由是________，则BE＝CF，这样可证Rt△BCE≌Rt△CBF，理由是________．
（第2题） （第3题） （第4题） （第5题）
6、如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC、BD相交于O，如果AC＝BD，那么下列结论：①Rt△ABD≌Rt△BAC，②AD＝BC，③∠ABC＝∠BAD，④∠DAC＝∠CBD．其中正确的是（ ）
| A．①②③④ | B． ①②③ | C． ①② | D． ②③ |
8、如图，在Rt△ABC的斜边BC上截取CD＝CA，过点D作DE⊥BC交AB于E，则有（ ）
| A．DE＝DB | B．DE＝AE | C．AE＝BE | D．AE＝BD |
（第6题） （第7题） （第8题）
9、如图，点E、F在AB上，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，BF＝AE，CF＝DE．求证：CF∥ED
10、如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．
11、如图，AB=AC，∠BAC=90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．
求证：BD=EC+ED．
12、如图，在△ABC中，AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足．AE=CF，求证：∠ACB=90°．
12、（2002•呼和浩特）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．
（1）求证：AE=CD；
（2）若AC=12cm，求BD的长．
13、如图，在平面直角坐标系中，将直角三角形的顶点放在点P（4，4）处，两直角边与坐标轴交于点A和点B。
⑴求OA+OB的值；
⑵将直角三角形绕点P逆时针旋转，两直角边与坐标轴交于点A和点B，
求OA-OB的值；
第八讲 全等三角形小结
【例1】如图，已知AC=AB、AE=AD，∠EAB=∠DAC，求证：BD=CE．
【例2】如图，已知AB=AC，∠1=∠2，AD=AE，求证：∠C=∠B．
【例3】如图所示，已知∠ACB和∠ADB都是直角，且AC=AD，P是AB上任意一点．求证：CP=DP．
【例4】，OP∠AOC∠BOD，OA=OC，OB=OD求证AB=CD
【例5】如图，BE⊥AE，CF⊥AE，ME＝MF。求证：AM是△ABC的中线。
【例6】已知：BC＝EF，BC∥EF，∠A＝∠D，∠ABF＝∠DEC。求证：AF＝DC。
【例7】已知：如图为的高，为上一点，交于，且有，。求证：。
【例8】如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上任意一点，且BD=CE，连接DE交BC于F．
求证：FD=FE．
【课后作业】
1、如图，已知，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．
2、如图，CD=CA，∠1=∠2，EC=BC，求证：DE=AB．
3、已知：如图，AB=AE，∠1=∠2，∠B=∠E．求证：BC=ED．
4、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD．求证：∠B=∠D．
5、如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠C，求证：AB=DC
6、已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE，求证：AE=BD．
7、如图，在△ABE中，AB=AE，AD=AC，∠BAD=∠EAC，BC、DE交于点O．
求证：（1）△ABC≌△AED；（2）OB=OE．
8、如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：CA是∠DCF的平分线．
9、如图，点C,E分别为△ABD的边BD、AB上两点，且AE=AD,CE=CD,∠D=70°，∠ECD=150°求∠B的度数。
10、已知：如图，A、F、C、D四点在同一直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．求证：
（1）△ABC≌△DEF； （2）∠CBF=∠FEC．
11、（2002•南昌）如图，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．求证：AF⊥CD；
12、如图.以知AD∥BC。点E为CD上的一点，AE.BE分别平分∠DAB、∠CBA.BE交AD的延长线于点F。
(1)求证AE⊥BE
（2）求证AB=AF
（3）求证AD+BC=AB
13、已知：如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两条边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连AD、AG．求证：AG=AD．
14、如图，已知A（-2，0），B（0，-4），C(1,1),点P为线段OB上一动点（不包括点O），CD⊥CP交X于D，当P点运动时（
（1）：求证∠CPO=∠CD
（2）：求证：CP=CD
（3）：下列两个结论：①AD-BP的值不变；②AD+BP的值不变，选择正确的结论求其值
第九讲 角平分线的性质
[问题] 如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？
[操作]
作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
（3）作射线OC，射线OC即为所求．
[探索]
按以下步骤折纸
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
[证明]
已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E
求证：PD=PE
证明：
[几何语言描述]
在的平分线上
于，于
☑角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？
【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
【例3】如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。
求证：。
【例4】已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD，求证：∠B=∠C．
【例5】如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：AB=AC+CD．
【例6】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论
【课后作业】
1、如图所示，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空：
（1）若∠1＝∠2，则________＝________；
（2）若∠3＝∠4，则________＝________．
2、如图所示，下列推理中正确的个数是（ ）
①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；
②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；
③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE．
| A．0个 | B．1个 | C．2个 | D．3个 |
1.5cm，则BC=（ ）
| A．3cm | B．7.5cm | C．6cm | D．4.5cm |
| A．PC＝PD | B．OC＝OD |
| C．∠CPO＝∠DPO | D．OC＝PC |
（第2题） （第3题） （第4题）
5、如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5 cm，BD＝3 cm，则点D到AB的距离为（ ）
| A．5 cm | B．3 cm | C．2 cm | D．不能确定 |
| A．OD＞OE | B．OD＝OE | C．OD＜OE | D．不能确定 |
8、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（ ）
| A． ①② | B． ①②③ | C． ①②④ | D． 只有① |
（第5题） （第6题） （第7题） （第8题）
9、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）DC＝DE；（2）CF＝EB．
10、如图，四边形ABCD中，AB=AD,CD=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E,PF⊥CD于F，求证：PE=PF
11、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．
求证：CE=CF．
12、已知，（如图）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BF上，PM⊥AD于M，
PN⊥CD于N，求证：PM=PN
13、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长。
14、如图1，在△ABC中，∠A，∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB与R，AB=7，BC=8,AC=9（1.）求BP、CQ、AR的长。（2）.如图2若CD⊥BO于D 求证∠OCD=∠A（3）.如图3若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线叫AB于F，若∠A=60°，求证：OE=OF.
（图1） （图2） （图3）
第十讲 角平分线的判定
[思考]角平分线上的点到角两边的距离相等，这里的条件是_________；结论是__________
如果将条件和结论互换，则可以得到命题________________________________________，那么，这个命题是真命题吗？可以证明吗？
【例1】证明如下：
已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
【例2】如图，已知BD = CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的平分线上．
【例3】如图，∠CAB的角平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，求证：BP平分∠CBN
【例4】如图所示，BD平分∠ABC，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，M、N为垂足．求证：PM=PN．
【例5】如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC延长线于G，求证：BF=CG。
【思考】若OC为∠AOB的角平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，除了可以得到DP=PE之外，还可以得到哪些角或线段之间的关系？
【例5】如图，在∠BAC的平分线上任取一点D，在AB,AC上各到一点E和F，若DE=DF，且AE＞AF,求证∠AED+∠AFD=180°
【例6】如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD=180°，求证CD=DB
【课后作业】
1、如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝________．
2、如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O到AB、BC两边的距离相等，则∠AOC的度数为_______
（第1题） （第2题）
3、如图所示，AB∥CD，点P是线段MN的中点，且MN⊥CD，点P到BC的距离等于，则点P应是________的平分线与________平分线的交点
4、如图，已知点P在△ABC的外部，∠DAE的内部，若点P到BC、BD、CE的距离都相等，则下列关于P的位置说法最准确的是（ ）
5、（2010，南宁）如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB＝4，BD＝5，AD＝3，则点D到BC的距离是__________
（第3题） （第4题） （第5题）
6、如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是三角形的角平分线，DE⊥AB于E，下列结论错误的是（ ）
| A． BD＋DE＝BC | B． DE平分∠ADB | C． AD平分∠EDC | D． AC＝AE |
| A． DA平分∠EDF | B． AE＝AF |
| C． AD上任一点P到AB、AC的距离相等 | D． AB、AC上的点到AD的距离相等 |
| A． 1个 | B． 2个 | C． 3个 | D． 4个 |
（第6题） （第7题） （第8题） (第9题)
9、如图，l1、l2、l3是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有（ ）
| A． 1处 | B． 2处 | C． 3处 | D． 4处 |
10、如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：（1）AM平分∠DAB；（2）∠DMA＝90°
11、如图，已知∠CAD＝∠CDA，AC＝BD，E在BC上，DE＝EC，求证：AD平分∠BAE.
12、如图，AE，BD是△ABM的高，AE,BD交于点C，且AE=BE，BD平分∠ABM，求证
（1）BC=2AD
（2）AB=AE+CE
（3）ED平分∠BDM
13、如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标是（-1，0），点C的坐标是（1，0），点D为y轴上一点，点A为第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过D作DM⊥AC于M
（1）求证：∠ABD=∠ACD
（2）若E在BA的延长线上，求证:AD平分∠CAE
（3）当A点运动时，的值是否发生变化？若变化，求其值，若不变，请说明理由。
第十一讲 与角平分线有关的问题
（一）利用角平分线条件直接找出（或构造）全等三角形。
【例1】．如图，△ABC中，∠ACB﹦90º，CD⊥AB于D，AO平分∠BAC，交CD于O,OE∥BC交AB于E，求证：AC=AE.
（二）利用“角平分线+垂直”构造全等三角形
【例2】如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90 º,BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE。
(三) 利用角平线在角两边截取两条相等的线段构造全等三角形
【例3】 如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，求证：AC=AE+CD．
(四) 已知角平分线或要证明角平分线时可考虑作垂线构造直角三角形全等.
【例4】.如图,点P为△AEF外一点,PA平分∠EAF,PD⊥EF于D,且DE=DF,PB⊥AE于B.
求证:AF-AB=BE.
【例5】如图，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE，AD，BE交于点H，连CH
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）求证CH平分∠AHE。
（五）角平分线中的一个常见基本图形和基本结论
【例6】．如图，在四边形OACB中，CM⊥OA于M，现有：①∠1=∠2；②CA=CB；
③∠3+∠4=180°；④OA+OB=20M，若把其中任两个作为条件，都可得出另两个结论
（1）已知：①②，求证③④ （3）已知：①④，求证②③
（2）已知：①③，求证②④ （4）已知：②③，求证①④
【例7】.如图，点M（2，2），将一个90°的角尺的直角顶点放在M处，角尺的两边分别交x轴、y轴正半轴于A、B，AP平分∠OAB交OM于P，PN⊥x轴于N，把角尺绕点M旋转时：
（1）求证：OM平分∠AOB；
（2）求AO+OB的值：
（3）ON+AB的值是否发生变化？试证明你的结论
【课后作业】
1、如图1，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC．
2、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，AD平分∠CAB．求证：AB=AC+CD．
3、如图所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于F。
求证：
4、如图，BP、CP分别是ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分线．求证：P点在∠BAC的平分线上．
5、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD．
6、已知AD为△ABC的中线，∠1=∠2，∠3=∠4，试判断BE+CF与EF的大小关系？
7、如图，在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90，∠1＝∠2，CE垂直于BD的延长线于E．求证：BD＝2CE．
8、如下图，AD是∠BAC的平分线，DE垂直AB于点E，DF垂直AC于点F，且BD=DC．求证：BE=CF．
9、如图，AD是∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB＞AC，求证：AB-AC＞PB-PC．
10、如图，已知△ABC中，∠ACB=90度，BD平分∠ABC交AC于D，DE⊥AB于E，交BC的延长线于F，求证：DF=AD
11、如图，已知的周长是21，分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC
于D，且OD＝3，△ABC的面积是___________。
12、如图，EQ、FQ分别是∠MEF和∠NFE的平分线，交点是Q．BP、CP分别是∠MBC和∠NBC的平分线，交点是P，F、C在AN上，B、E在AM上，如果∠Q＝68，求∠P的度数。
第十二讲 轴对称
知识点1、轴对称的概念
【观察探案】观察下面的图片，它们都有些什么共同特征?你还可以举出一些例子吗？
☑概念：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称
【试一试】
下列各图，你能找出它们的对称轴吗？
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
[辨析] 轴对称与轴对称图形是同一概念吗？成轴对称的两个图形具有怎么的关系？
________________________________________________________________________
【探究】如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？
图中A、A′是对称点，AA′与MN垂直，BB′和CC′也与MN垂直．
AA′、BB′和CC′与MN除了垂直以外还有什么关系吗？
知识点2、垂直平分线
概念：对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．我们把经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
知识点3、（重、难点）垂直平分线的性质
[探究1]
如下图．木条L与AB钉在一起，L垂直平分AB，P1，P2，P3，…是L上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离，你有什么发现？
1．用平面图将上述问题进行转化，先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线L，在L上取P1、P2、P3…，连结AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…
2．作好图后，用直尺量出AP1、AP2、BP1、BP2、CP1、CP2…讨论发现什么样的规律．
探究结果：
☑垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…
【例1】已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点． 求证：PA=PB．
证明：
【思考】你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB． 求证：P点在AB的垂直平分线上．
☑逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
[尺规作图] 用尺规作线段的垂直平分线
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线.
作法:
1.分别以点A和B为圆心,以大于长为半径作弧,两弧交于点C和D.
2.作直线CD. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
[思考] 刚才的作图中，体现了哪些相等的条件，你能说明为什么这样做出来的就是垂直平分线吗？
【尺规作图】作轴对称图形
作△ABC关于直线的对称图形
【例1】如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．
（1）若BC=10，则△ADE周长是多少？
（2）若∠BAC=128°，则∠DAE的度数是多少？
【例2】如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF=2CF．
【例3】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB＞AC，求证：BF=AC+AF．
【例4】（1）如图1，AC、AB是两条笔直的交叉公路，M、N是两个实习点的同学参加劳动，现欲建一个茶水供应站，使得此茶水供应站到公路两边的距离相等，且离M、N两个实习点的距离也相等，试问：此茶水供应站应建在何处？（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不用写作法）
（2）如图2，已知直线河岸MN同侧有两个村庄A和B，现要在河边修建一个取水点P．为了节省成本，使取水点到A、B两个村庄铺设的水管总长度最短，请你确定取水点P的位置．（要求：不用写做法，但要保留作图痕迹）
【课后作业】
1、如下书写的四个汉字，其中为轴对称图形的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| A． | B． | C． | D． |
4、（2009，黄冈）如图，△ABC与△A＇B＇C＇关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C＇＝48°，则∠B的度数为（ ）
5（2010，宿迁）如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF所叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．
6、如图镜子中的号码的实际号码是________．
7、（2010，义乌）如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（ ）
| A． 6 | B． 5 | C． 4 | D． 3 |
| A． AB垂直平分CD | B． CD垂直平分AB |
| C． AB与CD互相垂直平分 | D． CD平分∠ACB |
（第4题） （第5题） （第7题） （第8题）
9、如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（ ）①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°．
| A． 2个 | B． 3个 | C． 4个 | D． 5个 |
| A．13 | B． 14 | C． 15 | D． 16 |
| A． 3 cm | B． 4 cm | C． 5 cm | D． 6 cm |
(第9题) (第10题) (第11题)
12、（2009，泉州）如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E.若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AFDC的周长之差为12，则线段DE的长为________．
13、如图，已知△ABC中，∠A＝50°，∠B60°，AC的垂直平分线交AB于Q，垂足为P，则∠QCB＝________，∠QCA＝_______
14、如图所示，已知，在△ABC中，AB＜AC，B、C关于直线ED对称，E、D分别是AC、BC上的点，若AC＝8 cm，△ABE的周长为14 cm，求AB的长．
（第12题） （第13题） （第14题）
15、如图，AO，OB是互相垂直的墙壁，墙角O处是一鼠洞，一只猫在A处发现了B处的一只老鼠正向洞口逃窜，若猫以与老鼠同样的速度与追捕老鼠，请在图中作出最快能截住老鼠的位置C．（保留作图痕迹）
16、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE是BC的中垂线，E为垂足，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC交AC的延长线于N，求证：BM＝CN
17、已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．
第十三讲 等腰三角形
[问题]
①三角形是轴对称图形吗？
②什么样的三角形是轴对称图形？
[操作] 请利用轴对称的知识作一个等腰三角形
☑定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角
[思考]：
1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
2．等腰三角形的两底角有什么关系？
3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
等腰三角形的性质：
1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（ “三线合一”）．
[探究]你能通过几何证明等腰三角形的性质吗？
1、如图，△ABC中，AB=AC，求证∠B=∠C
2、如图，△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，求证BD=CD,AD⊥BC
以上结论用符号语言描述为
（1）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠＿=∠＿，＿=＿；
（2）∵AB=AC，AD是中线， ∴∠＿=∠＿，＿⊥＿；
（3）∵AB=AC，AD是角平分线， ∴＿⊥＿，＿=＿
【例1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
【例2】如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。
【例3】已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。
[思考]：若△ABC为等腰直角三角形，除了以上结论外，你还可以得到哪些角或线段的关系呢？
【例4】Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC的中点，AE=BF．
求证：（1DF=DE （2）DF⊥DE
【例5】如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，
求证：①DE=DG，②BE=CG，③DF=DH，④BH=CF．
【课后作业】
1、等腰三角形的对称轴是（ ）
| A． 顶角的平分线 | B． 底边上的中线 |
| C． 底边上的高 | D． 底边上的高所在的直线 |
| A． 40° | B． 50° | C． 60° | D． 30° |
| A． 7 | B． 9 | C． 12 | D． 9或 12 |
| A． ∠BAC＝∠B | B． ∠BAC＝2∠CAD |
| C． ∠BAC＝∠ACD | D． ∠BAC＝∠CAD |
| A． 88°，4° | B． 46°，46°或88°，4° |
| C． 46°，46° | D． 88°，24° |
7、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于（ ）
| A． 30° | B． 40° | C． 45° | D． 36° |
9、已知等腰△ABC的周长是40 cm，AD为底边上的高，△ABD的周长为30 cm，则AD的长为
（第6题） （第7题） （第8题） （第9题）
10、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为（ ）
| A．20° | B．120° | C．20°或120° | D．36° |
12、如图，CD是△ABC的中线，且，则∠ACB的度数为________．
13、如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为______
（第11题） （第12题） （第13题）
14、如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若△ABC的面积是12 cm2，则图中阴影部分的面积是________
15、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°．分别以AB、AC为边作两个等腰三角形ABD和△ACE，使∠BAD＝∠CAE＝90°，则∠DBC=________度
16、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°．直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：
①AE＝CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF = S△ABC；④EF＝AP．其中正确的有（ ）
| A．1个 | B．2个 | C．3个 | D．4个 |
（第14题） （第15题） （第16题）
17、如图，△ABC中，AB＝AC，点P是BC的中点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．求证：PD＝PE
18、如图，在△ABC中，AB＝AC，D点在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，DE的延长线交BC于点F．求证：DF⊥BC。
19、已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD交BC于E，AD＝AB，∠CAD＝30°，求∠BCD、∠DBC的度数
20、在Rt△ABC中，AB=BC=4，∠B=90°，将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别与边AB、BC或其延长线上交于D、E两点，在旋转过程中，如图1、求证：（1）PD=PE （2）AD+EC=AB
如图2，请写出AD,EC与AB之间的数量关系并证明。
第十四讲 等腰三角形的判定
[问题] 某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度，选择河流北岸上一棵树(B点)为B标，然后在这棵树的正南方(南岸A点抽一小旗作标志)沿南偏东60°方向走一段距离到C处时，测得∠ACB为30°，这时，地质专家测得AC的长度就可知河流宽度．为什么？
【探索】在△ABC中，苦∠B=∠C，则AB= AC吗？
☑等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（简写为：等角对等边）
符号语言描述：∵∠B=∠C ∴AB=BC
[辨析]等腰三角形的性质与判定有区别吗？
性质： 判定
【小结】判定一个三角形是等腰三角形的方法有哪些？
【例1】．如图2
其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]
2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．
②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．
③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．
④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．
【例2】如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，求证这个三角形是等腰三角形．
[思考]
1、你能分别指出命题中的已知条件和结论吗？
2、你能正确画出图形，写出已知和求证吗？
【例3】如图：AD∥BC,BD平分∠ABC，求证：AB=AD
【例4】如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部份是一个等腰三角形吗？
解题策略：角平分+平行线，常常可以出现等腰三角形。
【例5】如图，AC和BD相交于点O，且AB∥DC，OA=OB，求证：OC=OD
【知识拓展】
在上节课中，我们学习了等腰三角形的一个重要的性质：“三线合一”，反过来，若顶角的平分线、底边的中线、和高线，其中具备了二个条件，是否能判定这个三角形为等腰三角形呢？
【例6】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，且AD垂直BC于D，求证：AB=AC
[思考]：若把条件换为BD=CD,AD⊥BC; 或AD平分∠BAC，BD=CD，以上结论是否仍然成立呢？
结论：若一个三角形中满足三线中的二线合一，则可证这个三角形为等腰三角形，这个结论虽不可直接用，但在具体题目中经常会考察，可据此构造等腰三角形来解题。
【例7】如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90 º,BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE。
【课后作业】
1、在△ABC中，
（1）若两个内角分别为50°、80°时，这个三角形是________三角形；
（2）若∠A︰∠B︰∠C＝1︰1︰2，那么这个三角形是________三角形；
（3）若∠B＝∠C，AC＝4 cm，则AB＝________．
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，请你再添加一个条件，就可以确定△ABC是等腰三角形，你添加的条件是________．
3、已知∠BAC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠BEC＝________．
4、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于F，经过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＋CE＝9，则线段DE的长为________
5、如图，在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ）
| A．①②③ | B．①②④ | C．②③④ | D．①③④ |
（第4题） （第5题）
6、如果一个三角形的一内角平分线垂直对边，那么这个三角形一定是（ ）
| A． 等腰三角形 | B． 锐角三角形 | C． 直角三角形 | D． 钝角三角形 |
8、如图，把等腰直角△ABC沿BD折叠，使点A落在边BC上的点E处．下面结论错误的是（ ）
| A． AB＝BE | B． AD＝DC | C． AD＝DE | D． AD＝EC |
| A． ∠1＝∠2 | B． ∠1＋3∠2＝180° |
| C． 2∠1＋∠2＝180° | D． 3∠1－∠2＝180° |
(第7题) (第8题) (第9题) (第10题)
11、如图所示，△ABC中，AB＝AC＝20 cm，M为BC上一点，过M作MN∥AB交AC于N，作MP∥AC交AB于P，求四边形APMN的周长。
12、如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．
（1）求证：AB＝DC；（2）试判断△OEF的形状，并说明理由
13、如图所示，OA平分∠BAC，∠1＝∠2.求证：△ABC是等腰三角形．
14、如图所示，在△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO＝∠DCO；②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD；④OB＝OC．上述四个条件中，由哪两个条件可判定△ABC是等腰三角形？任选一种进行证明
15、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，在AB上截取BD，在AC的延长线上截取CE，且使CE＝BD，连接DE交BC于F，求证：DF＝EF
16、如图，已知D是∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线的交点，DE∥BC，交AB于E，交AC于F．求证：EF＝BE－CF
17、如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证∠ACD=∠B+∠DCE
第十五讲 等腰三角形专题训练
[角度计算中的方程思想]
[例1] 如图，△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB，求∠A的度数。
【例2】如图，CA=CB,DF=DB.AE=AD，求∠A的度数。
【例3】如图△ABC中，AB=AC,点D是BC上的一点,∠BAD=30°，点E是AC上的一点,AE=AD,求∠EDC的度数。
【例4】如图△ABC中,AB=BC，M，N为B,C边上两点，且∠BAM=∠CAN, MN=AN，求∠MAC的度数。
[“三线合一”性质的应用]
【例5】如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
【例6】已知：如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE．
求证：AC-AB=2BE．
【例7】如图：△ABC中，∠B=2∠C，AD是BC边上的高．求证：AB+BD=DC．
【课后作业】
1、如图，在△ABC中，AB=AC，D是AC上一点，且BD=BC，若∠ABD=24°，求∠A的度数.
2、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠ABD=_______
3、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE．则∠EDC的度数为________
4、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，又BD=BC，BD交AC于E，且∠1=∠2，求∠3的度数。
5、如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD，过D点作DM⊥BE，垂足是M 。求证：BM=EM．
6、已知：如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，点E，F分别在AB、AC上，BD=CF，CD=BE，G为EF的中点．求证：DG⊥EF．
6、如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD．
求证：AB=AD
7、如图，△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，F为CA的延长线上一点，过点F 作FG⊥BC于G点，并交AB于E点，试说明下列结论成立的理由：
（1）AD∥FG；
（2）△AEF是等腰三角形．
8、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．
9、如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°
（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）求证：S四边形AEDF=S△BDE+S△CDF；
10、如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD=∠BCE=90°，AE交CD于点F，BD分别交CE、AE于点G、H．试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由．
11、如图,BD平分∠ABC交AC于D,点E为CD上一点，且AD=DE,EF∥BC交BD于F，求证AB=EF
12、如图1，已知A(0,4),B(4,0),点C为Y轴上一点，AD⊥BC于D，且∠DAC=∠OAB
（1）求的值
（2）连OD，求证∠ODB=45度
（3）如图2，点E为AB的中点，M、N分别为OA，OB上的动点，且ME⊥NE，作MP⊥AB于P，NQ⊥AB于Q，问：MP+NQ的值是否发生变化？请说明理由。
第十六讲 章末检测
一、填空（3分×10=30分）
1、如果△ABC≌△DEF，△DEF周长是32cm，DE=9cm,EF=13cm.∠E=∠B，则AC=________。
2、如图，某人把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在你要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，则应带哪块玻璃去__________（填上玻璃序号）。
3、已知△ABC中，∠BAC=60°，将△ABC绕着点A顺时针旋转40°，如图所示，则△BAC′的度数为______。
4、如图，点D、E、F、B在同一直线上，AB∥CD、AE∥CF，且AE=CF，若BD=10，BF=2，则EF=____________。
5、△ABC中，AC=4，中线AD=6，则AB边的取值范围是______________。
6、已知如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E、BE、CD相交于O点，∠1=∠2，图中全等的三角形共有________对。
7、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10cm,BD=6cm,则点D到AB的距离为_________。
8、如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN。其中正确的结论是________（填序号）。
9、如图，已知铁路上A、B两站（视为线上两点）相距45km，C、D为铁路同旁的两个村庄（视为两点），DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，DA=25km，CB=20km，现在要在铁路AB上建一个收购站E，使C、D两村庄到E站的距离相等，则E站应建在距A站_______km处。
10、如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，
交BD于D，DE⊥AB于E，且AB=10，则△DEB周长为_______。
二、选择题（3分×10=30分）
11、如图△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应点，
若AB=6cm，BD=5cm,AD=4cm,则BC长为（ ）
A、4cm B、5cm C、6cm D、无法确定
12、如图△ABE≌△ACD，AB=AC，BE=CD，∠B=50°，
∠AEC=120°，则∠DAC的度数等于（ ）
A、120° B、70° C、60° D、50°
13、在△ABC和△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，AB=A′B′，
在下面判断中错误的是（ ）
A、若添加条件AC=A′C′，则△ABC≌△A′B′C′
B、若添加条件BC=B′C′，则△ABC≌△A′B′C′
C、若添加条件∠B=∠B′，则△ABC≌△A′B′C′
D、若添加条件∠C=∠C′，则△ABC≌△A′B′C′
14、工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法是：如图在∠AOB的边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，得到∠AOB的平分线OP，做法中用到三角形全等的判定方法是（ ）
A、SSS B、SAS C、ASA D、HL
15、下列命题错误的是（ ）
A、全等三角形的对应线段相等 B、全等三角形的面积相等
C、一个锐角和相邻的直角边对应相等的两个直角三角形全等
D、两角对应相等的两个三角形全等
16、不能确定两三角形全等的条件是（ ）
A、三条边对应相等 B、两条边及其夹角对应相等
C、两角和一条边对应相等 D、两条边和一条边所对应的角对应相等
17、在△ABC和△A′B′C′中，①AB=A′B′；②BC=B′C′；③AC=A′C′；④∠A=∠A′；⑤∠B=∠B′；⑥∠C=∠C′，则下列哪组条件不能保证△ABC≌△A′B′C′（ ）
A、①②③ B、①②⑤ C、①⑤⑥ D、①②④
18、如图△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，D为AB中点过点D作DE⊥AB交AC于点E，下列结论：①CE=DE；②AE=BC；③∠B=2∠A；④∠A=30°中正确个数为（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
19、如图△ABC中，AB的垂直平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于E则下列结论：①△ADE≌△BDF：②AE=CE+CB；③∠ADB=∠ACB；④∠DCF+∠ABD=90°，其中一定成立的是（ ）
| ．①②③ | B．①②④ | C．②③④ | D．①②③④ |
20、如图，已知△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，RS⊥AC于S，则三个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP（ ）
A、全部正确 B、仅①和②正确 C、仅①正确 D、仅①和③正确
21、如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．求证：①AM平分∠DAB，②AD=AB+CD．
22、如图，△ABC中，点E是AB，BC的垂直平分线的交点，AE的延长线交BC于点D，AB=AD，AE=BD．
①求证：AB=BC；
②求∠DAC的度数．
23、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，作∠ABC的平分线交AC、CD于点E、F．
（1）求证：CE=CF；
（2）如图2，过点F作FG∥AB交AC于点G，若AC=10，EG=4，求CE的长度．
24、如图，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）
（1）求B点坐标；
（2）若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°，连OD，求∠AOD的度数；
（3）过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，的值是否为定值？说明理由．
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