定积分典型习题

第一节   定积分的概念

思考题：

    1. 如何表述定积分的几何意义？根据定积分的几何意义推出下列积分的值：

   （1）,   （2）,   （3）,   （4）.

    解：若在几何上表示由曲线，直线及轴所围成平面图形的面积. 若时，在几何上表示由曲线，直线及轴所围平面图形面积的负值.

   （1）由下图（1）所示，.

（2）由上图（2）所示，.

（3）由上图（3）所示，.

（4）由上图（4）所示，.

2. 若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？

（1）,     （2）.

答：由定积分的比较性质知（1）式成立，而不定积分的结果表示一族函数，与不能比较大小，故（2）式不成立.

3.个数的算术平均值与连续函数在闭区间上的平均值有何区别与联系？

答：二者均反映了多个数的平均值大小，后者是前者的推广，但个数的算术平均值是有限个数的平均值，而连续函数在闭区间上的平均值反映的是无限个数的平均值，前者计算公式是,后者计算公式是.

习作题：

1. 用定积分的定义计算定积分,其中为一定常数.

解：任取分点,把分成个小区间，小区间长度记为=-,在每个小区间上任取一点作乘积的和式：

,

记, 则.

2. 利用定积分的估值公式，估计定积分的值.

解：先求在上的最值，由

     ,  得或.

比较的大小，知

， 

由定积分的估值公式，得,

即     .

3. 求函数在闭区间[-1，1]上的平均值.

解：平均值.

4. 利用定积分的定义证明.

证明：令,则，任取分点…,把分成个小区间，并记小区间长度为，在每个小区间上任取一点，作乘积的和式,记,  则.

第二节微积分基本公式

思考题：

1.?

答：因为是以为自变量的函数，故=0.

2. 

   答：因为是常数，故.

3.？

   答：因为的结果中不含，故0.

4.？

    答：由变上限定积分求导公式，知.

5.？

    答： .

6. 若，则=？

    答： =.

7. 当为积分区间上的分段函数时，问如何计算定积分？试举例说明.

答：分段函数的定积分应采用定积分关于积分区间的分割性质，将分解为部分区间上的定积分来计算.例如：若则

=+==.

8. 对于定积分，凑微分法还能用吗？为什么？

答：能用.因为定积分是通过被积函数的原函数来计算，而凑微分法所得原函数不须作变量置换.

习作题：

1. 计算下列定积分

（1）,   （2）,  （3）.

解：（1）=+

                   ===1.

（2）=+

                 ==4+.

（3）=+

                 ==2+2=4.

2. 求极限.

解：此极限是“”型未定型，由洛必达法则，得

      ==

3. 计算下列各题：

（1），     （2），   （3）,  （4）,

（5）,      （6）,    （7）,

（8）, （9）,    （10）,

（11）,    （12）,    （13）.

解：（1）=.

（2）=.

（3）.

（4）=.

（5）.

（6）.

（7）===.

（8）== =.

 (9) ==.

(10) ===.

（11）===.

（12）==.

（13）===.

第三节定积分的积分方法

思考题：

1. 下面的计算是否正确，请对所给积分写出正确结果：

（1）=

                        =

                        =.

（2）

=

==2

=2.

答：（1）不正确，应该为：

=.

（2）不正确，应该为：

            =2.

2. 定积分与不定积分的换元法有何区别与联系？

答：定积分与不定积分的换元法的区别在于：不定积分换元积分后要作变量回代，定积分在换元时要同时变换积分限，而不用作变量回代. 联系在于：二者均要求置换的变元单调可导，且选择变元的规律相同.

3. 利用定积分的几何意义，解释奇偶函数在对称区间上的积分所具有的规律.

答：如图, 设在上满足≥0，则表示由曲线，直线，及轴所围图形的面积，不妨记为，则当为偶函数时， (如下图(1)所示)，当为奇函数时， (如下图(2)所示).

（1）（2）

习作题:

1. 计算下列定积分:

(1),        (2).

解：（1）令=,    则,

当= 0 时， = 0 ;   当= 4 时， 于是

=.

（2）==.

2. 计算下列定积分：

（1）,              （2）,

（3）,               （4）.

解：（1）==

=.

(2) =

                  .

(3) =

                  =0=

=

移项合并得.

（4）

=.

第四节   广义积分

思考题:

1. 下列解法是否正确？为什么？

.

答：不正确.因为在[，]上存在无穷间断点，不能直接应用公式计算，事实上，

=+=+

=+

=+不存在,

故发散.

2. 指出下面广义积分的计算错误:

.

答：本题计算错误在于，因为，而，故不存在，从而发散.

习作题：

1. 研究广义积分的敛散性.

解： =,

    发散.

2. 计算广义积分.

解： =+

=.

3. 计算广义积分.

解： =.

4. 计算广义积分.

解： =.