2021版新高考数学：高考中的解三角形问题含答案

2021版新高考数学：高考中的解三角形问题含答案

编 辑：__________________

时 间：__________________

(对应学生用书第87页)

[命题解读]　从近五年全国卷高考试题来看，解答题第17题交查解三角形与数列，本专题的热点题型有：一是考查解三角形；二是解三角形与三角恒等变换的交汇问题；三是平面几何图形中的度量问题；四是三角形中的最值(范围)问题．

[典例示范]　(本题满分12分)(20xx·全国卷Ⅰ)在平面四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝2，BD＝5.

(1)求cos ∠ADB①；

(2)若DC＝2，求BC②.

[信息提取]　看到①想到△ADB；想到△ADB中已知哪些量；想到如何应用正、余弦定理解三角形．

看到②想到△DBC；想到用余弦定理求BC.

[规范解答]　(1)在△ABD中，由正弦定理得＝.

由题设知，＝，··············································2分

所以sin ∠ADB＝.······························································3分

由题设知，∠ADB＜90°，所以cos ∠ADB＝＝.·········6分

(2)由题设及(1)知，cos ∠BDC＝sin ∠ADB＝.··························8分

在△BCD中，由余弦定理得

BC2＝BD2＋DC2－2BD·DC·cos ∠BDC

＝25＋8－2×5×2×

＝25. ················································································11分

所以BC＝5. ·······································································12分

[易错防范]　

[规范特训]　(20xx·皖南八校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＋2b＝2c cos A.

(1)求角C；

(2)已知△ABC的面积为，b＝4，求边c的长．

[解]　(1)∵a＋2b＝2c cos A，

∴由正弦定理得sin A＋2sin B＝2sin C cos A，

则sin A＋2sin (A＋C)＝2sin C cos A，化简得sin A＋2sin A cos C＝0.

由0＜A＜π，得sin A＞0，则cos C＝－.

由0＜C＜π，得C＝.

(2)△ABC的面积为ab sin C＝.

又b＝4，sin C＝，∴a＝1.

∴由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝1＋16－2×1×4×(－)＝21，

∴c＝.