2020-2021学年山东省青岛市中考数学一模试卷及答案解析

一、选择题：本题满分24分，共8道小题，每小题3分．下列每小题给出标号为A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。

1．|﹣2|的相反数为（　　）

A．﹣2    B．2    C．    D．

2．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（　　）

A．    B．    C．    D．

3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

4．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新的学科，这就是纳米技术．已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示这个数为（　　）

A．5.2×10﹣7米    B．0.52×10﹣7米    C．5.2×10﹣8米    D．52×10﹣8米

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，BC=5cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

A．相离    B．相交    C．相切    D．相切或相交

6．边长为的菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，将该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点C′的坐标为（　　）

A．（2，4）    B．（2，5）    C．（5，2）    D．（6，2）

7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）的图象上的两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则函数y=kx2﹣k与y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．    B．    

C．    D．

8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①∠BOC=90°+；②EF=BE+CF；③设OD=m，AE：AF=n，则S△AEF=；④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是 （　　）

A．②③    B．②③④    C．③④    D．①②③

二、填空题：本题满分18分，共6道小题，每小题3分．

9．计算： =　　　　　　．

10．某工厂元月份生产机器100台，计划第一季度一共生产3台，设二、三月份的生产平均增长率为x，则根据题意列出的方程是　　　　　　．

11．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE翻折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知AD=20cm，AB=16cm，那么折痕AE的长为　　　　　　．

12．如图，扇形AOB的圆心角为60°，四边形OCDE是边长为1的菱形，点C、E、D分别在OA、OB和弧AB上，若过B作BF∥ED交CD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为　　　　　　．

13．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为　　　　　　．

14．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有　　　　　　个．

三、作图题：4分．

15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

某校数学小组进行实践活动﹣﹣测量校园内旗杆的高度时，要自己动手制作一个半圆形的侧倾器，现有一块三角形木板，如图△ABC（BC＞AB＞AC），制作时要求半圆的直径在△ABC的最长边上，并且用所给的木板制作一个最大的侧倾器，请你在所给的图形作出符合要求的半圆形侧倾器的示意图．

四、解答题：本题满分74分，共9道小题．

16．（1）解不等式组：﹣2

（2）化简：．

17．某校学生会准备调查初三同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间．

（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；丙同学说：“我到初三每个班去随机调查一定数量的同学”．请你指出哪位同学的调查方式最为合理；

（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图，请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中涂出一块表示“基本不参加”的部分．

（3）若该校初三共有240名同学，请你估计该年级每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数．

（注：图2中相邻两虚线形成的圆心角为30°．）

18．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．

（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；

（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．

19．如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）

20．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高OC为6m，跨度AB为20m．

（1）按如图所示的直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；

（2）拱桥内设双向行车道（正中间是一条宽为2m的隔离带）；其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

21．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠ABD交AD于点E，DF平分∠BDC交BC于点F．

（1）求证：△AEB≌△CFD；

（2）若BD=BA，试判断四边形DEBF的形状，并加以证明．

22．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

证明：分别过点A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC，由AD∥BC，可得AF=DE．

又因为S△ABC=，S△BCD=

所以S△ABC=S△BCD

由此我们可以得到以下的结论：像图1这样，　　　　　　．

（2）结论应用：如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段）．如三角形的一条中线就是三角形的一条面积等分线段；平行四边形的一条对角线就是平行四边形的一条面积等分线段．

小明通过研究，发现过四边形的某一顶点的直线可以将该四边形平分为面积相等的两部分．

他画出了如下示意图（如图2），得到了符合要求的直线AF．

小明的作图步骤如下：

第一步：连结AC；

第二步：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E；

第三步：取ED中点F，作直线AF；

则直线AF即为所求．

请你帮小明写出该作法的验证过程：

（3）类比发现：请参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）．请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线对应的函数表达式．

（4）提出问题：

结合下面所给的情景，请自主创设一个问题并给以解释：

如图4，C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧构造等边三角形△ACD和等边三角形△CBE，若△CBE的面积是1cm2．

【问题】　　　　　　．

24．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t≤2.5）．

（1）当t为何值时，PE∥CD；

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求出y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△ABC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积是否发生变化？说明理由．

山东省青岛市中考数学一模试卷

参与试题解析

一、选择题：本题满分24分，共8道小题，每小题3分．下列每小题给出标号为A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的，每小题选对得分，不选、选错或选出的标号超过一个的不得分。

1．|﹣2|的相反数为（　　）

A．﹣2    B．2    C．    D．

【考点】相反数；绝对值．

【分析】利用相反数，绝对值的概念及性质进行解题即可．

【解答】解：∵|﹣2|=2，

∴|﹣2|的相反数为：﹣2．

故选A．

【点评】此题主要考查了相反数，绝对值的概念及性质．相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；求出|﹣2|=2，再利用相反数定义是解决问题的关键．

2．如图是由几个小立方块所搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小立方块的个数，则这个几何体的左视图为（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】由三视图判断几何体；简单组合体的三视图．

【分析】由已知条件可知，左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，2．据此可作出判断．

【解答】解：从左面看可得到从左到右分别是3，2个正方形．

故选A．

【点评】本题考查几何体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．

3．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】中心对称图形；轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．

故选D．

【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新的学科，这就是纳米技术．已知52个纳米的长度为0.000000052米，用科学记数法表示这个数为（　　）

A．5.2×10﹣7米    B．0.52×10﹣7米    C．5.2×10﹣8米    D．52×10﹣8米

【考点】科学记数法—表示较小的数．

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【解答】解：0.000000052米=5.2×10﹣8米．

故选：C．

【点评】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，BC=5cm，以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是（　　）

A．相离    B．相交    C．相切    D．相切或相交

【考点】直线与圆的位置关系．

【分析】利用锐角三角函数关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用三角形面积求出DC的长，进而利用直线与圆的位置关系得出答案．

【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，

∵∠C=90°，sinB=，

∴设AC=3xcm，AB=5xcm，

故在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

即（3x）2+52=（5x）2，

解得：x=，

则AC=cm，AB=cm，

故S△ACB=AC×BC=DC×AB，

即××5=×DC×，

解得：DC=3，

故以点C为圆心，以3cm的长为半径作圆，则⊙C与AB的位置关系是相切．

故选：C．

【点评】此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系、三角形面积求法等知识，得出Rt△ABC斜边上的高是解题关键．

6．边长为的菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，将该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位，则两次变换后点C对应点C′的坐标为（　　）

A．（2，4）    B．（2，5）    C．（5，2）    D．（6，2）

【考点】坐标与图形变化-旋转；菱形的性质；坐标与图形变化-平移．

【分析】根据勾股定理列式求出点B的纵坐标，从而得到菱形的中心，再根据旋转的性质以及平移变换求出点C′的坐标即可．

【解答】解：∵菱形的边长为，

∴点B的纵坐标为=2，

∴菱形的中心的坐标为（0，2），

∴该菱形绕其对角线的交点顺时针旋转90°后，再向右平移3个单位的点C的对应点C′的坐标为（5，2）．

故选C．

【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，坐标与图形变化﹣平移，以及菱形的性质，根据勾股定理求出点B的纵坐标然后确定出菱形的中心的坐标是解题的关键，作出图形更形象直观．

7．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y=（k≠0）的图象上的两点，且当x1＜x2＜0时，y1＜y2，则函数y=kx2﹣k与y=（k≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）

A．    B．    C．    D．

【考点】二次函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据k＞0，k＜0，结合两个函数的图象及其性质分类讨论．

【解答】解：分两种情况讨论：

①当k＞0时，反比例函数y=，在一、三象限，而二次函数y=kx2﹣k开口向上，与y轴交点在原点下方，都不符；

②当k＜0时，反比例函数y=，在二、四象限，而二次函数y=kx2+k开口向下，与y轴交点在原点上方，A符合．

分析可得：它们在同一直角坐标系中的图象大致是A．

故选A．

【点评】本题主要考查二次函数、反比例函数的图象以及图象的特点．

8．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①∠BOC=90°+；②EF=BE+CF；③设OD=m，AE：AF=n，则S△AEF=；④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是 （　　）

A．②③    B．②③④    C．③④    D．①②③

【考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．

【分析】由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的性质与内角和定理，即可求得①正确；由EF∥BC，与角平分线的性质，即可证得△OBE与△OCF是等腰三角形，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可证得②正确；利用角平分线的性质与三角形的面积的求解方法，即可证得③正确．

【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，

∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，

∴∠OBC+∠OCB=90°﹣∠A，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=90°+∠A，故①正确；

∵EF∥BC，

∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，

∵∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，

∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠OCF，

∴BE=EO，FC=OF，

∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故②正确；

连接AO，过点O作OM⊥CC于M，过点O作ON⊥AB于N，

∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，

∴OD=OM=ON=m，

∴S△AEF=S△AOE+S△AOF=AE•ON+AF•OD=OD•（AE+AF）=mn，故③正确．

∵无法确定E，F是中点，故④错误．

故答案为：①②③．

【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，角平分线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．

二、填空题：本题满分18分，共6道小题，每小题3分．

9．计算： =　2　．

【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．

【分析】直接利用二次根式的性质化简，进而结合零指数幂的性质求出答案．

【解答】解：

=3×﹣1

=3﹣1

=2．

故答案为：2．

【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算以及零指数幂的性质，正确化简二次根式是解题关键．

10．某工厂元月份生产机器100台，计划第一季度一共生产3台，设二、三月份的生产平均增长率为x，则根据题意列出的方程是　100（1+x）+100（1+x）2=3　．

【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．

【专题】增长率问题．

【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份的生产平均增长率为x，那么首先可以用x表示二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，然后可得出的方程为100（1+x）+100（1+x）2=3．

【解答】解：依题意得二、三月份共生产的机器100（1+x）+100（1+x）2，

则方程为100（1+x）+100（1+x）2=3．

故答案为：100（1+x）+100（1+x）2=3．

【点评】此题考查一元二次方程的应用，要注意增长率问题的规律，然后正确找到数量关系根据题意列出方程．

11．如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE翻折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知AD=20cm，AB=16cm，那么折痕AE的长为　10　．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】先在RT△ABF中利用勾股定理求出线段BF，设DE=EF=x，在RTEFC中利用勾股定理求出X，最后在RT△ADE中求出AE即可．

【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=CD=16，AD=BC=20，∠B=∠D=90°，

∵△AEF是由△ADE翻折，

∴AD=AF=20，DE=EF，设DE=EF=x，

在RT△ABF中，∵AB=16．，AF=20，

∴BF===12，

∴FC=BC﹣BF=20﹣12=8，

在RT△EFC中，∵EF=x，EC=16﹣x，FC=8，

∴x2=（16﹣x）2+82，

∴X=10，

 在RT△ADE中，∵AD=20，DE=10，

∴AE===10．

故答案为10．

【点评】本题考查矩形的性质、翻折不变性、勾股定理等知识，解题的关键是在三个直角三角形中利用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．

12．如图，扇形AOB的圆心角为60°，四边形OCDE是边长为1的菱形，点C、E、D分别在OA、OB和弧AB上，若过B作BF∥ED交CD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积为　　．

【考点】扇形面积的计算．

【分析】连接OD、CE，两线交于M，求出OD和CE长，从图中可看出阴影部分的面积=扇形面积﹣菱形的面积．然后依面积公式计算即可．

【解答】解：

连接OD、CE，两线交于M，

∵四边形OCDE是菱形，

∴OC=1，CE⊥OD，OD=2OM，CE=2CM，∠COM=∠AOB==30°，

∴CM=OC==，OM=，

∴OD=2OM=，EC=2CM=1，

∵BF∥ED，BE∥DF，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DF=BE，BF=DE，

在△DFB和△BED中

∴△DFB≌△BED，

∴S△DFB=S△DBE，

∴图中阴影部分的面积S=S扇形AOB﹣S菱形OCED=﹣×1×=，

故答案为：．

【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，扇形的面积的应用，利用割补法把不规则图形转化成规则图形求解的能力，再把阴影部分的面积转化为扇形的面积和菱形的面积求解．

13．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为　　．

【考点】轴对称-最短路线问题；菱形的性质．

【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时PK+QK的最小值，然后求解即可．

【解答】解：如图，∵AB=2，∠A=120°，

∴点P′到CD的距离为2×=，

∴PK+QK的最小值为．

故答案为：．

【点评】本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．

14．如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有　8n﹣4　个．

【考点】规律型：图形的变化类．

【专题】压轴题；规律型．

【分析】几何体中只有两个面涂色的小立方体的个数为各面的棱角处，下表面除外．

【解答】解：观察图形可知：图①中，两面涂色的小立方体共有4个；

图②中，两面涂色的小立方体共有12个；

图③中，两面涂色的小立方体共有20个．4，12，20都是4的倍数，可分别写成4×1，4×3，4×5的形式，

因此，第n个图中两面涂色的小立方体共有4（2n﹣1）=8n﹣4（个）． 

故答案为：8n﹣4．

【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．

三、作图题：4分．

15．用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

某校数学小组进行实践活动﹣﹣测量校园内旗杆的高度时，要自己动手制作一个半圆形的侧倾器，现有一块三角形木板，如图△ABC（BC＞AB＞AC），制作时要求半圆的直径在△ABC的最长边上，并且用所给的木板制作一个最大的侧倾器，请你在所给的图形作出符合要求的半圆形侧倾器的示意图．

【考点】作图—应用与设计作图．

【分析】根据题意圆心在BC边上，和AB、AC都相切的圆就是所求的圆．

【解答】解：作∠BAC的平分线交BC于点O，作OM⊥AC垂足为M，

以点O为圆心OM为半径作半圆即可．

【点评】本题考查作图设计、圆的有关知识、角平分线的性质等知识，解题的关键是确定圆心和半径．

四、解答题：本题满分74分，共9道小题．

16．（1）解不等式组：﹣2

（2）化简：．

【考点】分式的混合运算；解一元一次不等式组．

【分析】（1）求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可；

（2）首先把括号里的式子进行通分，然后进行因式分解，再约分化简即可求解．

【解答】解：（1）原不等式组化为，

解不等式①得：x＜6，

解不等式②得：x≥﹣4，

故不等式组的解集是﹣4≤x＜6；

（2）

=•

=•

=．

【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一元一次不等式组的应用，解题的关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．同时考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．

17．某校学生会准备调查初三同学每天（除课间操外）的课外锻炼时间．

（1）确定调查方式时，甲同学说：“我到（1）班去调查全体同学”；乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；丙同学说：“我到初三每个班去随机调查一定数量的同学”．请你指出哪位同学的调查方式最为合理；

（2）他们采用了最为合理的调查方法收集数据，并绘制出如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图，请将条形统计图补充完整，并在扇形统计图中涂出一块表示“基本不参加”的部分．

（3）若该校初三共有240名同学，请你估计该年级每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数．

（注：图2中相邻两虚线形成的圆心角为30°．）

【考点】条形统计图；全面调查与抽样调查；用样本估计总体；扇形统计图．

【专题】数形结合．

【分析】（1）利用调查要用代表性可判断丙同学的调查方式最为合理；

（2）先利用“锻炼时间约为40分钟及以上”的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，再计算出“锻炼时间约为10分钟”的人数和“基本不参加锻炼”的部分在扇形中所对应的圆心角，然后补全条形统计图，并在扇形统计图中涂出表示“基本不参加”的部分；

（3）用240乘以“锻炼时间不大于20分钟”所占的百分比即可估计出该年级每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数．

【解答】解：（1）丙同学的调查方式最为合理；

（2）调查的总人数为5÷=60（人），所以锻炼时间约为10分钟的人数为60﹣10﹣9﹣5=36（人），

“基本不参加锻炼”的部分在扇形中所对应的圆心角为×360°=60°，

如图，

（3）240×=220，

所以估计该年级每天（除课间操外）课外锻炼时间不大于20分钟的人数为220人．

【点评】本题考查了条形统计图：条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．也考查了扇形统计图．

18．甲、乙两人在玩转盘游戏时，把两个可以自由转动的转盘A、B分成4等份、3等份的扇形区域，并在每一小区域内标上数字（如图所示），指针的位置固定．游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，若指针所指两个区域的数字之和为3的倍数，甲胜；若指针所指两个区域的数字之和为4的倍数时，乙胜．如果指针落在分割线上，则需要重新转动转盘．

（1）试用列表或画树形图的方法，求甲获胜的概率；

（2）请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗？试说明理由．

【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．

【分析】（1）根据题意列出图表，得出数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，再根据概率公式求出甲获胜的概率；

（2）根据图表（1）得出）“和是4的倍数”的结果有3种，根据概率公式求出乙的概率，再与甲的概率进行比较，得出游戏是否公平．

【解答】解：（1）列表如下：

∵数字之和共有12种结果，其中“和是3的倍数”的结果有4种，

∴P（甲）==；

（2）∵“和是4的倍数”的结果有3种，

∴P（乙）==；

∵，即P（甲）≠P（乙），

∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．

【点评】此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

19．如图，某拦河坝横截面原设计方案为梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，为了提高拦河坝的安全性，现将坝顶宽度水平缩短10m，坝底宽度水平增加4m，使∠EFC=45°，请你计算这个拦河大坝的高度．（参考数据：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．

【分析】过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，设拦河大坝的高度为xm，在Rt△ABM和Rt△EFN中分别求出BM和FN的长度，然后根据已知AE=10m，BF=4m，EN﹣AE=BF+BM，列方程求出x的值即可．

【解答】解：过点A作AM⊥CF于点M，过点E作EN垂直CF于点N，

设拦河大坝的高度为xm，

在Rt△ABM和Rt△EFN中，

∵∠ABM=72°，∠EFC=45°，

∴BM===，FN=x，

∵AE=10m，BF=4m，FN﹣AE=BF+BM，

∴x﹣10=4+，

解得：x=24，

答：拦河大坝的高度为24m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据坡度和坡角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数求解，难度一般．

20．如图，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高OC为6m，跨度AB为20m．

（1）按如图所示的直角坐标系，求出抛物线的函数表达式；

（2）拱桥内设双向行车道（正中间是一条宽为2m的隔离带）；其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

【考点】二次函数的应用．

【分析】（1）根据题意可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解；

（2）把x=7代入（1）的函数表达式，求出y的值与汽车高度比较即可判断．

【解答】解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（﹣10，0），（10，0），（0，6），

设抛物线的解析式为y=ax2+c，

将B，C的坐标代入y=ax2+c，

得，

解得：．

所以抛物线的表达式y=﹣x2+6．

（2）根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2=7，

当x=7时，y=﹣×49+6=3.06＞3，

故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．

【点评】本题主要考查二次函数在实际问题中的应用能力，根据题意待定系数法求函数关系式是基础，知道将汽车最右端位置的高度与抛物线对应高度比较是关键．

21．如图，在▱ABCD中，连接对角线BD，BE平分∠ABD交AD于点E，DF平分∠BDC交BC于点F．

（1）求证：△AEB≌△CFD；

（2）若BD=BA，试判断四边形DEBF的形状，并加以证明．

【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．

【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，得出∠ABD=∠BDC，由角平分线的定义证出∠DBE=∠FDB，由ASA证明△AEB≌△CFD即可；

（2）先证明四边形DEBF是平行四边形，再根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知BE⊥AD，然后由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得四边形DEBF是矩形即可．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD∥BA，∠A=∠C，AB=CD，

∴∠ABD=∠BDC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BE平分∠ABD，DF平分∠BDC，

∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠CDF=∠BDF=∠BDC，

∴∠DBE=∠FDB=∠DBE=∠BDF（等量代换），

在△AEB和△CFD中，，

∴△AEB≌△CFD（ASA）；

（2）解：四边形DEBF是矩形；理由如下：

由（1）知：∠DBE=∠BDF，

∴BE∥DF，

∵DE∥BF，

∴四边形EBFD是平行四边形．

∵BD=BA，BE是∠ABD的平分线，

∴BE⊥AD，

∴∠DEB=90°，

∴四边形DEBF是矩形（有一内角为直角的平行四边形是矩形）．

【点评】本题考查矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质；熟练掌握平行四边形的性质，运用等腰三角形的三线合一性质得出BE⊥AD是解决问题（2）的突破口．

22．山地自行车越来越受到中学生的喜爱，各种品牌相继投放市场，某车行经营的A型车去年销售总额为5万元，今年每辆销售价比去年降低400元，若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少20%．

（1）今年A型车每辆售价多少元？（用列方程的方法解答）

（2）该车行计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，应如何进货才能使这批车获利最多？

A，B两种型号车的进货和销售价格如下表：

【专题】销售问题．

【分析】（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由条件表示出y与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出y的最大值．

【解答】解：（1）设今年A型车每辆售价x元，则去年售价每辆为（x+400）元，由题意，得

，

解得：x=1600．

经检验，x=1600是原方程的根．

答：今年A型车每辆售价1600元；

（2）设今年新进A型车a辆，则B型车（60﹣a）辆，获利y元，由题意，得

y=（1600﹣1100）a+（2000﹣1400）（60﹣a），

y=﹣100a+36000．

∵B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍，

∴60﹣a≤2a，

∴a≥20．

∵y=﹣100a+36000．

∴k=﹣100＜0，

∴y随a的增大而减小．

∴a=20时，y最大=34000元．

∴B型车的数量为：60﹣20=40辆．

∴当新进A型车20辆，B型车40辆时，这批车获利最大．

【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．

23．（1）自主阅读：如图1，AD∥BC，连接AB、AC、BD、CD，则S△ABC=S△BCD．

证明：分别过点A和D，作AF⊥BC，DE⊥BC，由AD∥BC，可得AF=DE．

又因为S△ABC=，S△BCD=

所以S△ABC=S△BCD

由此我们可以得到以下的结论：像图1这样，　同底等高的三角形面积相等　．

（2）结论应用：如果一条直线（线段）把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线（线段）称为这个平面图形的一条面积等分线（段）．如三角形的一条中线就是三角形的一条面积等分线段；平行四边形的一条对角线就是平行四边形的一条面积等分线段．

小明通过研究，发现过四边形的某一顶点的直线可以将该四边形平分为面积相等的两部分．

他画出了如下示意图（如图2），得到了符合要求的直线AF．

小明的作图步骤如下：

第一步：连结AC；

第二步：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E；

第三步：取ED中点F，作直线AF；

则直线AF即为所求．

请你帮小明写出该作法的验证过程：

（3）类比发现：请参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，五边形ABOCD，各顶点坐标为：A（3，4），B（0，2），O（0，0），C（4，0），D（4，2）．请你构造一条经过顶点A的直线，将五边形ABOCD分为面积相等的两部分，并求出该直线对应的函数表达式．

（4）提出问题：

结合下面所给的情景，请自主创设一个问题并给以解释：

如图4，C是线段AB上任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧构造等边三角形△ACD和等边三角形△CBE，若△CBE的面积是1cm2．

【问题】　求△EBD的面积　．

【考点】一次函数综合题．

【分析】（1）结论：同底等高的三角形面积相等．

（2）由BE∥AC得S△ABC=S△ACE，所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ACE+S△ACD=S△AED，接下来只要证明即可．

（3）根据同底等高的三角形面积相等，可以提问求△EBD的面积．

【解答】解：（1）同底等高的三角形面积相等，

故答案为同底等高的三角形面积相等．

（2）如图2中，连接AE，

∵BE∥AC，

∴S△ABC=S△ACE，

∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ACE+S△ACD=S△AED，

∵EF=FD，

∴S△AEF=S△AFD，

∴．

∴直线AF平分四边形ABCD的面积

（3）如图3中，连接AO、AC，作BE∥AO交x轴于E，DF∥AC交x轴于F，EF的中点为M，则直线AM平分五边形ABCOD的面积，

∵直线AO的解析式为y=，

∴直线BE解析式为y=x+2，

∴点E坐标（﹣，0），

∵直线AC的解析式为y=﹣4x+16，

∴直线DF的解析式为y=﹣4x+18，

∴点F坐标为（，0）

∴EF的中点M坐标为（，0），

∴直线AM的解析式为：y=x﹣4．

（4）问题：求△EBD的面积．

故答案为求△EBD的面积．

如图4中，∵△ADC，△EBC都是等边三角形，

∴∠DCA=∠EBC=60°，

∴CD∥EB，

∴S△EBD=S△EBC=1．

【点评】本题考查一次函数的有关知识、等积问题，把多边形转化为三角形是解决问题的关键，记住三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形．

24．如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm．点P由C出发沿CA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由AB出发沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s，交AC于Q，连接PE、PF．若设运动时间为t（s）（0＜t≤2.5）．

（1）当t为何值时，PE∥CD；

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求出y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ=S△ABC？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；

（4）在上述运动过程中，五边形ABFPE的面积是否发生变化？说明理由．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据题意推出AP的长度，然后推出△APE∽△ACD，根据对应边成比例，即可推出t的值，推出点P、E分别为AC、AD的中点，即可推出EF的长度；

（2）作PG⊥EF于G，就可以而出EG=3，由AB∥EF就可以得出=，就可以表示出EQ，近而表示出GQ和PQ，在Rt△PGQ中由勾股定理就可以表示出PG，根据三角形的面积公式就可以求出y与t的关系式．

（3）如图2，过C作CG⊥AB于G，由勾股定理得到CG=4，根据S△PEQ=S△ABC，列方程即可得到结论；

（4）由（2）的全等三角形知：△AEP、△EPC的面积相等，因此五边形的面积可转化为△ABC的面积，所以五边形的面积是个定值；

【解答】解：（1）∵AE=BF=CP=t，

∴AP=5﹣t，

在▱ABCD中，AD=BC=AC=5，AB=EF=CD=6，

∵PE∥CD，

∴△APE∽△ACD，

∴=，

∴t=2.5，

∴当t=2.5时，PE∥CD；

（2）如图1，作PG⊥EF于G，

∴EG=EF．

∵AE∥BF，AB∥EF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴AB=EF．

∵AB∥EF，AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴=，

∴=，

∴EQ=t，

∴GQ=3﹣t．

∵CP=AQ=t，

∴PQ=5﹣2t，

在Rt△PGQ中，由勾股定理，得

PG=

=4﹣t．

∵S△PQE=EQ•PG，

∴y=×t×（4﹣t），

=﹣t2+t（0＜t＜2.5）．

∴y与t之间的函数关系式为：y=﹣t2+t（0＜t＜2.5）；

（3）如图2，过C作CG⊥AB于G，

在▱ABCD中，AB=6cm，AD=AC=5cm，

∴BC=AD=AC=5，

∴BG=AB=3，

∴CG=4，

∵S△PEQ=S△ABC，

∴﹣t2+t=×，

∴t=2，或t=，

∴当t=2或时，S△PEQ=S△ABC；

（4）是定值，为12．

理由：由（2）的全等三角形知：S△AEP=S△PCF，即S五边形BFPEA=S△ABC；

过C作CG⊥AB于G，

等腰△ACB中，AG=BG=3，AC=BC=5，则CG=4；

∴S五边形BFPEA=S△ABC=×6×4=12．

【点评】本题考查了平行四边形的性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，平行线分线段成比例定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用相似表示出EQ的值和运用勾股定理表示PG的值是解答本题的难点和关键．