上海市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)

一、单选题（共6题；共12分）

1.下列实数中，有理数是（    ）            

A.                              B.                              C.                              D. 

2.下列单项式中，  的同类项是（    ）            

A.                             B.                             C.                             D. 

3.将抛物线  向下平移两个单位，以下说法错误的是（    ）            

A. 开口方向不变                                        B. 对称轴不变

C. y随x的变化情况不变                             D. 与y轴的交点不变

4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（    ）  

A.  /包                    B.  /包                    C.  /包                    D.  /包

5.如图，已知平行四边形ABCD中，  ，E为  中点，求  （    ）  

A.                              B.                              C.                              D. 

6.如图，已知长方形  中，  ，圆B的半径为1，圆A与圆B内切，则点  与圆A的位置关系是（    ）  

A. 点C在圆A外，点D在圆A内                   B. 点C在圆A外，点D在圆A外

C. 点C在圆A上，点D在圆A内                   D. 点C在圆A内，点D在圆A外

二、填空题（共12题；共12分）

7.计算：  ________．    

8.已知  ，那么  ________．    

9.已知  ，则  ________．    

10.不等式  的解集是________．    

11. 的余角是________．    

12.若一元二次方程  无解，则c的取值范围为________．    

13.有数据  ，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为________．    

14.已知函数  经过二、四象限，且函数不经过  ，请写出一个符合条件的函数解析式________．    

15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚________元．  

16.如图，已知  ，则  ________．  

17.六个带  角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积________． 

18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点  ，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为________．  

三、解答题（共7题；共60分）

19.计算：     

20.解方程组：     

21.已知在  中，  ，  ，  为  边上的中线．  

（1）求  的长；    

（2）求  的值．    

22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．  

（1）求三月份共生产了多少部手机?    

（2） 手机速度很快，比  下载速度每秒多  ，下载一部  的电影，  比  要快190秒，求  手机的下载速度．    

23.已知：在圆O内，弦  与弦  交于点  分别是  和  的中点，联结  ．  

（1）求证：  ；    

（2）联结  ，当  时，求证：四边形  为矩形．    

24.已知抛物线  过点  ．  

（1）求抛物线的解析式；    

（2）点A在直线  上且在第一象限内，过A作  轴于B，以  为斜边在其左侧作等腰直角  ．  

①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；

②若C落在抛物线上，求C的坐标．

25.如图，在梯形  中，  是对角线  的中点，联结  并延长交边  或边  于E． 

（1）当点E在边  上时， 

①求证：  ；

②若  ，求  的值；

（2）若  ，求  的长．    

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】 C   

【考点】有理数及其分类    

【解析】【解答】解：A、  ∵  是无理数，故  是无理数 

B、  ∵  是无理数，故  是无理数

C、  为有理数

D、  ∵  是无理数，故  是无理数

故答案为：C

 【分析】先将各项二次根式化为最简二次根式，然后根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.

2.【答案】 B   

【考点】同类项    

【解析】【解答】∵a的指数是3，b的指数是2，与  中a的指数是2，b的指数是3不一致， 

∴  不是  的同类项，不符合题意；

∵a的指数是2，b的指数是3，与  中a的指数是2，b的指数是3一致，

∴  是  的同类项，符合题意；

∵a的指数是2，b的指数是1，与  中a的指数是2，b的指数是3不一致，

∴  不是  的同类项，不符合题意；

∵a的指数是1，b的指数是3，与  中a的指数是2，b的指数是3不一致，

∴  不是  的同类项，不符合题意；

故答案为：B

 【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此逐一判断即可.

3.【答案】 D   

【考点】二次函数图象的几何变换    

【解析】【解答】将抛物线  向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变 

故答案为：D．

 【分析】由于抛物线上下平移后形状不变，开口方向不变、对称轴不变、从而可得增减性不变，但与y轴的交点改变，据此判断即可.

4.【答案】 A   

【考点】条形统计图    

【解析】【解答】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多， 

∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．

故答案为：A．

 【分析】最合适的包装即是顾客购买最多的包装，据此判断即可.

5.【答案】 A   

【考点】平面向量    

【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，E为  中点， 

∴ 

故答案为：A．

 【分析】根据平行四边形的性质及线段的中点，可得  ， 据此判断即可.

6.【答案】 C   

【考点】点与圆的位置关系    

【解析】【解答】 

∵圆A与圆B内切，  ，圆B的半径为1

∴圆A的半径为5

∵  <5

∴点D在圆A内

在Rt△ABC中， 

∴点C在圆A上

故答案为：C

 【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.

二、填空题

7.【答案】    

【考点】同底数幂的除法    

【解析】【解答】∵   , 

故答案为:  ．

 【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可.

8.【答案】    

【考点】代数式求值    

【解析】【解答】解：∵  ， 

∴  ，

故答案为：  ．

 【分析】将x=代入，求出函数值即可.

9.【答案】 5   

【考点】无理方程    

【解析】【解答】解：  ， 

两边同平方，得  ，

解得：x=5，

经检验，x=5是方程的解，

∴x=5，

故答案是：5．

 【分析】将方程两边同平方，化为一元一次方程，求解并检验即可.

10.【答案】    

【考点】解一元一次不等式    

【解析】【解答】  

故答案为：  ．

 【分析】利用移项、系数化为1即可求出解集.

11.【答案】    

【考点】余角、补角及其性质    

【解析】【解答】  的余角是90°-  =  

故答案为：  ．

 【分析】互余的两个角的和等于90°，据此解答即可.

12.【答案】    

【考点】一元二次方程根的判别式及应用    

【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程  无解， 

∵  ，  ，  ，

∴  ，

解得  ，

∴  的取值范围是  ．

故答案为：  ．

 【分析】由关于x的一元二次方程  无解，可得△＜0，据此解答即可.

13.【答案】    

【考点】概率公式    

【解析】【解答】根据概率公式，得偶数的概率为  ， 

故答案为：  ．

 【分析】直接利用概率公式计算即可.

14.【答案】  （  且  即可）   

【考点】正比例函数的图象和性质    

【解析】【解答】解：∵正比例函数  经过二、四象限， 

∴k<0，

当  经过  时，k=-1，

由题意函数不经过  ，说明k≠-1，

故可以写的函数解析式为：  (本题答案不唯一，只要  且  即可)．

 【分析】正比例函数经过二、四象限，可得k<0， 又不经过   ，可得k≠-1，据此求解即可（答案不唯一）.

15.【答案】    

【考点】一次函数的实际应用    

【解析】【解答】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为  ，将（5，4k），（10，k）代入关系式： 

   ，解得 

 ∴ 

令  ，则 

 ∴利润= 

 【分析】利用待定系数法求出卖出的苹果数量与售价之间的关系式，再求出当售价为8元/千克时卖出的苹果数量，最后利用利润=（售价-进价）×销售量，计算即得.

16.【答案】    

【考点】相似三角形的判定与性质    

【解析】【解答】解：作AE⊥BC，CF⊥BD 

∵ 

∴△ABD和△BCD等高，高均为AE

 ∴ 

∵AD∥BC

∴△AOD∽△COB

∴ 

∵△BOC和△DOC等高，高均为CF

∴ 

∴  

故答案为： 

 【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得  ， 利用平行线可证△AOD∽△COB 

可得   ， 从而求出  ， 继而得出结论.

17.【答案】  ．   

【考点】正多边形的性质    

【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE， 

在正六边形ABCDEF中，

∵直角三角板的最短边为1，

∴正六边形ABCDEF为1，

∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，

∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，

∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，

∴BG=DI= FH=  ，

∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH =  ，

∴AC =AE = CE =  ，

∴由勾股定理得：AI=  ，

∴S=  ，

故答案为：  ．

 【分析】如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，利用正六边形的性质可得△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，从而求出∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，继而得出BG=DI= FH=   ， AC =AE = CE =  ，AI=  ，由中间正六边形的面积=3△ABC的面积+△ACE的面积，利用三角形的面积公式计算即可.

18.【答案】    

【考点】旋转的性质，四边形-动点问题    

【解析】【解答】解：如图1，设  的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，  ． 

∴点O与正方形  边上的所有点的连线中，

 最小，等于1，  最大，等于  ．

∵  ，

∴点P与正方形  边上的所有点的连线中，

如图2所示，当点E落在  上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；

如图3所示，当点A落在  上时，最小值  ．

∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是  ．

故答案为： 

 【分析】由旋转及正方形的性质可得，当点E落在  上时，最大值为PE的长，当点A落在  上时，最小值为PA的长，据此分别求出最大值与最小值，即得结论.

三、解答题

19.【答案】 解：  ， 

=  ，

=  ，

=2．

【考点】实数的运算    

【解析】【分析】利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可.

20.【答案】 解：由题意：  ，  

由方程(1)得到：  ，再代入方程(2)中：

得到：  ，

进一步整理为：  或  ，

解得  ，  ，

再回代方程(1)中，解得对应的  ，  ，

故方程组的解为：  和  ．

【考点】解二元一次方程组    

【解析】【分析】利用代入消元法解方程组即可.

21.【答案】 （1）∵  ，    

∴  

∴AB=10

∴  =  ；

（2）过点F作FG⊥BD， 

∵  为  边上的中线．

∴F是AD中点

∵FG⊥BD，  

∴  

∴FG是△ACD的中位线

∴FG=  3

CG=  

∴在Rt△BFG中，  =  ．

【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义    

【解析】【分析】（1） 利用 可求出AB的长，再利用勾股定理求出AC的长即可；

 （2）过点F作FG⊥BD，由AC⊥BD可得FG∥AC，可得FG是△ACD的中位线，从而可得FG=  3， CG=  ，在Rt△BFG中，由 = 即可得出结论. 

22.【答案】 （1）3月份的百分比=    

三月份共生产的手机数=  （万部）

答：三月份共生产了36万部手机．

（2）设  手机的下载速度为x  /秒，则  下载速度为    /秒，  

由题意可知：   

解得：  

检验：当  时，  

∴  是原分式方程的解．

答：  手机的下载速度为100  /秒．

【考点】分式方程的实际应用，扇形统计图    

【解析】【分析】（1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论；

 （2） 设手机的下载速度为x  /秒，则下载速度为   /秒，根据“ 下载一部 的电影，  比  要快190秒”列出方程，求解并检验即可. 

23.【答案】 （1）证明：连结  ，  

∵M、N分别是  和  的中点，

∴OM，ON为弦心距，

∴OM⊥BC，ON⊥AD，

 ，

在  中，  ， 

 ，

在Rt△OMG和Rt△ONG中，

 ，

 ，

∴  ，

 ;

（2）设OG交MN于E， 

 ，

∴  ，

∴  ，即  ，

 ，

在△CMN和△ANM中

 ，

 ，

 ，

∵CN∥OG，

 ，

 ，

 ，

∴AM∥CN，

 是平行四边形，

 ，

∴四边形ACNM是矩形．

【考点】矩形的判定，圆的综合题    

【解析】【分析】（1）连结  ， 证明 ，可得MG=NG， ∠MGO=∠NGO，

  ， 

24.【答案】 （1）将  两点分别代入  ，得        

解得  ．

所以抛物线的解析式是  ．

（2）①如图2，抛物线的对称轴是y轴，当点A与点  重合时，  ，  

作  于H．

∵  是等腰直角三角形，

∴  和  也是等腰直角三角形，

∴  ，

∴点C到抛物线的对称轴的距离等于1．

②如图3，设直线PQ的解析式为y=kx+b，由  ，得  

解得  

∴直线  的解析式为  ，

设  ，

∴  ，

所以  ．

所以  ．

将点  代入  ，

得  ．

整理，得  ．

因式分解，得  ．

解得  ，或  （与点B重合，舍去）．

当  时，  ．

所以点C的坐标是  ．

【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题    

【解析】【分析】（1）将P、Q两点坐标代入抛物线解析式中，求出a、c的值即可；

 （2）① 作  于H．抛物线的对称轴是y轴，当点A与点  重合时，   ， 可得出 和  也是等腰直角三角形，从而得出  ， 继而得出点C到抛物线的对称轴的距离等于1；

 ②先求出直线  的解析式为   ， 设 ，可求出点  ，将点C坐标代入中，可求出m值，即得点C坐标. 

25.【答案】 （1）①由  ，得  ． 

由  ，得  ．

因为  是  斜边上的中线，所以  ．所以  ．

所以  ．

所以  ．

②若  ，那么在  中，由  ．可得  ．

作  于H．设  ，那么  ．

在  中，  ，所以  ．

所以  ．

所以  ．

（2）①如图5，当点E在  上时，由  是  的中点，可得  ， 

所以四边形  是平行四边形．

又因为  ，所以四边形  是矩形，

设  ，已知  ，所以  ．

已知  ，所以  ．

在  和  中，根据  ，列方程  ．

解得  ，或  （ 舍去负值）．

②如图6，当点E在  上时，设  ，已知  ，所以  ．

设  ，已知  ，那么  ．

一方面，由  ，得  ，所以  ，所以  ，

另一方面，由  是公共角，得  ．

所以  ，所以  ．

等量代换，得  ．由  ，得  ．

将  代入  ，整理，得  ．

解得  ，或  （舍去负值）．

【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合，四边形-动点问题    

【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠1=∠3，利用直角三角形的性质得出∠3=∠4，即得∠1=∠2=∠3=∠4，根据两角分别相等可证△DAC∽△OBC；

 ② 在  中，得出  ， 作于H．设   ， 那么   ， 从而求出CH=m，继而得出BC=BH+CH=3m，据此即可求出结论；

 （2）分两种情况：① 当点E在  上时，证明四边形  是矩形，设   ，  在  和  中，根据  建立方程，求出x值即可；② 当点E在  上时，设  ， 设   ， 由   ， 得   ， 据此可得   ， 证明  ， 可得  ， 据此可得   ， 从而得出方程，求出x值即可.