椭圆中的焦点三角形

定义：椭圆上一点和两个焦点构成的三角形,称之为椭圆焦点三角形。 其中，我们把椭圆的两个焦点和其短轴的一个端点构成的等腰三角形称为椭圆的一个特征焦点三角形

考点1    有关周长和距离问题：

例1.（08浙江）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，若，则

变式（06年四川）如图把椭圆的长轴分成8等分，过每个点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点。是椭圆的一个焦点，则

变式2 已知是椭圆的左，右焦点，点在椭圆上运动，则的最大值是

考点2    有关角的问题：

例2（2000全国）椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为钝角时，点横坐标的取值范围是

变式：椭圆的焦点为，点为其上的动点，当为直角时，点横坐标的取值范围是

性质一：当点P从右至左运动时，由锐角变成直角，又变成钝角，过了轴之后，对称地由钝角变成直角再变成锐角，并且发现当点与短轴端点重合时，达到最大

变式: (2004湖南卷)是椭圆：的焦点，在上满足的点的个数

考点3   有关离心率的问题：

例3已知椭圆，的两焦点分别为，若椭圆上存在一点，使得，求椭圆离心率的取值范围

性质二：已知椭圆方程为，的两焦点分别为，设焦点三角形中，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）

变式（09江西）已知是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围

考点4   有关面积的问题：（）（为焦点三角形顶角）

例4是椭圆上的点，是椭圆的焦点，若，则的面积等于

变式：是椭圆上的点，是椭圆的焦点，若，则的面积等于

变式：（04湖北）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，若是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为（    ）

              3                            或

性质4过椭圆焦点的所有弦中通径（垂直于焦矩的弦），最短，通径为

（2007天津）设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）设为椭圆上的两个动点，，过原点作直线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力．满分14分．

（Ⅰ）证法一：由题设及，，不妨设点，其中．由于点在椭圆上，有，即．

解得，从而得到．

直线的方程为，整理得．

由题设，原点到直线的距离为，即，

将代入上式并化简得，即．

证法二：同证法一，得到点的坐标为．

过点作，垂足为，易知，故．

由椭圆定义得，又，

所以，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：设点的坐标为．

当时，由知，直线的斜率为，所以直线的方程为，或，其中，．

点的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，

整理得，

于是，．

由①式得

．

由知．将③式和④式代入得，

．

将代入上式，整理得．

当时，直线的方程为，的坐标满足方程组

所以，．

由知，即，

解得．

这时，点的坐标仍满足．

综上，点的轨迹方程为　．

解法二：设点的坐标为，直线的方程为，由，垂足为，可知直线的方程为．

记（显然），点的坐标满足方程组

由①式得．　　　　　　③

由②式得．　　　④

将③式代入④式得．

整理得，

于是．　　　⑤

由①式得．　　　⑥