立体几何中平行与垂直的证明2

例2在斜三棱柱A1B1C1—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC  

(1)若D是BC的中点，求证  AD⊥CC1；

(2)过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，

若AM=MA1，求证  截面MBC1⊥侧面BB1C1C；

(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件

例3 已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，A1C1=B1C1=2，D、D1分别是AB、A1B1的中点，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1，异面直线AB1和C1B互相垂直  

(1)求证  AB1⊥C1D1；

(2)求证  AB1⊥面A1CD；

(3)若AB1=3，求直线AC与平面A1CD所成的角  

学生巩固练习 

1  在长方体ABCD—A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是(    )

A          B              C              D  

2  在直二面角α—l—β中，直线aα,直线bβ,a、b与l斜交，则(   )

A  a不和b垂直，但可能a∥b        B  a可能和b垂直，也可能a∥b

C  a不和b垂直，a也不和b平行    D  a不和b平行，但可能a⊥b

3  设X、Y、Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥ZX∥Y”为真命题的是_________(填序号)  

①X、Y、Z是直线  ②X、Y是直线，Z是平面  ③Z是直线，X、Y是平面  ④X、Y、Z是平面

4  设a,b是异面直线，下列命题正确的是_________  

①过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交

②过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直

③过a一定可以作一个平面与b垂直

④过a一定可以作一个平面与b平行

5  如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧

棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点  

(1)求证  CD⊥PD;

(2)求证  EF∥平面PAD;

(3)当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平

面PCD？

6  如图，在正三棱锥A—BCD中，∠BAC=30°，AB=a,

平行于AD、BC的截面EFGH分别交AB、BD、DC、CA

于点E、F、G、H  

(1)判定四边形EFGH的形状，并说明理由  

(2)设P是棱AD上的点，当AP为何值时，平面PBC

⊥平面EFGH，请给出证明   

7  如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的各棱长都相等，D、

E分别是CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF∶FC=1∶3  

(1)若M为AB中点，求证  BB1∥平面EFM；

(2)求证  EF⊥BC；

(3)求二面角A1—B1D—C1的大小   

8  如图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面是菱

形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°,

 (1)证明  C1C⊥BD；

(2)假定CD=2，CC1=，记面C1BD为α,面CBD为β,

求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

(3)当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？

例1在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，

E、F分别是BC、A′D′的中点   

(1)求证  四边形B′EDF是菱形；

(2)求直线A′C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角  

例2如下图，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b,且AA1与AB、AD的夹角都是120°  

求  (1)AC1的长；

(2)直线BD1与AC所成的角的余弦值  

例3如图，为60°的二面角，等腰直角

三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,

且MP与β所成的角等于NP与α所成的角  

 (1)求证  MN分别与α、β所成角相等；

(2)求MN与β所成角  

学生巩固练习 

1  在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(    )

A              B              C              D  

2  设△ABC和△DBC所在两平面互相垂直，且AB=BC=BD=a,∠CBA=∠CBD=120°,则AD与平面BCD所成的角为(    )

A  30°            B  45°            C  60°            D  75°

3 已知∠AOB=90°,过O点引∠AOB所在平面的斜线OC，与OA、OB分别成45°、60°，则以OC为棱的二面角A—OC—B的余弦值等于______  

4  正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________  

5 已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA

⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2

(1)求PC的长；

(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；

(3)求证  二面角B—PC—D为直二面角  

6  设△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=120°，求  

(1)直线AD与平面BCD所成角的大小；

(2)异面直线AD与BC所成的角；

(3)二面角A—BD—C的大小  

7一副三角板拼成一个四边形ABCD，

如图，然后将它沿BC折成直二面角  

(1)求证  平面ABD⊥平面ACD；

(2)求AD与BC所成的角；

(3)求二面角A—BD—C的大小  

例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求  

(1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小  

例2正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离

例3如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平

面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点  

求  (1)Q到BD的距离；

(2)P到平面BQD的距离  

学生巩固练习 

1  正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE=∠MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为(    )

A       B   1      C         D  

2  三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90°,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为(    )

A           B               C  2.6            D  2.4

3  如左图，空间四点A、B、C、D中，每两点所

连线段的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q

在线段CD上，则P与Q的最短距离为_________  

4  如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二

面角E—AB—C的度数为30°，那么EF与平面ABCD

的距离为_________  

5  在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，

CC1=2，如图  

(1)求证  平面A1BC1∥平面ACD1；

(2)求(1)中两个平行平面间的距离；

(3)求点B1到平面A1BC1的距离  

6  已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，点E在棱D1D上，截

面EAC∥D1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45°,AB=a,求  

(1)截面EAC的面积；

(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；

(3)三棱锥B1—EAC的体积   

7  如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正

三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B

于E，A1F⊥CC1于F   

(1)求点A到平面B1BCC1的距离；

(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离

相等  

8  如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB= AD=a,

∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a  

(1)求异面直线AD与PC间的距离；

(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面

PCF的距离为