2022届全国高考模拟信息卷 数学(理)试题(一)

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．设复数（是虚数单位），则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

3．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（    ）

A．    B．

C．    D．

5．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从A到B这部分电源能通电的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．一动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是

A．    B．

C．    D．

7．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A．    B．    C．    D．

9．如图，在一个凸四边形内，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12的凸四边形，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为，记其面积为，四边形为对应的瓦里尼翁平行四边形为，记其面积为，…，依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形的面积为（    ）

A．1    B．    C．    D．不确定

10．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（    ）

A．

B．在上存在零点，则a的最小值为

C．在上单调递增

D．在有且仅有一个极大值点

11．对于棱长为的正方体，有如下结论，其中错误的是（    ）

A．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；

B．过点作平面的垂线，垂足为点，则三点共线；

C．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；

D．三棱锥与正方体的体积之比为．

12．锐角的三边分别为，，则的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的图象在点处的切线方程是，则__________.

14．如图，双曲线的左､右焦点分别为，，过作线段与交于点，且为的中点.若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为___________.

15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．

16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则_________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列是公差不为0的等差数列，，．

（1）求的通项公式及的前项和的通项公式；

（2），求数列的通项公式，并判断与的大小．

18．松山区教研室某课题组对“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”这一课题进行专项研究.为此对松山区某中学高二甲､乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲､乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：

（1）试分别估计两个班级的优秀率；

（2）由以上统计数据填写下面列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”有帮助？

（1）求证：对任意的，都有

（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

20．已知椭圆的左焦点F在直线上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

21．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求a的取值范围；

（2）设两个极值点分别为x1，x2，证明：.

选做

22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为(t为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.

(1)求的长；

(2)若点的极坐标为，求中点到的距离.

23．设函数，记的解集为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时，证明：

高考模拟信息卷01（理）

（本卷满分150分，考试时间120分钟。）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，集合，则集合的真子集的个数为（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：C

2．设复数（是虚数单位），则的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：D

3．已知，则（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：A

4．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“< ”和“> ”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若，则下列结论错误的是（    ）

A．    B．

C．    D．

答案：B

5．如图是某个闭合电路的一部分，每个元件出现故障的概率为，则从A到B这部分电源能通电的概率为（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：A

6．一动圆P过定点，且与已知圆相切，则动圆圆心P的轨迹方程是

A．    B．

C．    D．

答案：C

7．若直角坐标平面内A、B两点满足①点A、B都在函数的图像上；②点A、B关于原点对称，则点是函数的一个“姊妹点对”.点对与可看作是同一个“姊妹点对”，已知函数，则的“姊妹点对”有（    ）

A．0个    B．1个    C．2个    D．3个

答案：C

8．运用祖暅原理计算球的体积时，夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面面积相等，由此可证明新几何体与半球体积相等.现将椭圆绕轴旋转一周后得一橄榄状的几何体（如图3），类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（    ）

A．    B．    C．    D．

答案：C

9．如图，在一个凸四边形内，顺次连接四边形各边中点E，F，G，H而成的四边形是一个平行四边形，这样的平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.如图，现有一个面积为12的凸四边形，设其对应的瓦里尼翁平行四边形为，记其面积为，四边形为对应的瓦里尼翁平行四边形为，记其面积为，…，依次类推，则由此得到的第四个瓦里尼翁平行四边形的面积为（    ）

A．1    B．    C．    D．不确定

答案：C

10．已知函数，为奇函数，则下述四个结论中说法正确的是（    ）

A．

B．在上存在零点，则a的最小值为

C．在上单调递增

D．在有且仅有一个极大值点

答案：B

11．对于棱长为的正方体，有如下结论，其中错误的是（    ）

A．以正方体的顶点为顶点的几何体可以是每个面都为直角三角形的四面体；

B．过点作平面的垂线，垂足为点，则三点共线；

C．过正方体中心的截面图形不可能是正六边形；

D．三棱锥与正方体的体积之比为．

答案：C

12．锐角的三边分别为，，则的取值范围是（    ）

A．    B．

C．    D．

答案：D

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．函数的图象在点处的切线方程是，则__________.

答案：-2

14．如图，双曲线的左､右焦点分别为，，过作线段与交于点，且为的中点.若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为___________.

答案：

15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设向量,则最小值为___________．

答案：

16．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德•黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：，若函数是定义在R上的奇函数，且对任意x都有，当时，，则_________.

答案：

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知数列是公差不为0的等差数列，，．

（1）求的通项公式及的前项和的通项公式；

（2），求数列的通项公式，并判断与的大小．

解：（1）设，公差为，则，解得，

所以，．

（2），

从而 ，

故．

18．松山区教研室某课题组对“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”这一课题进行专项研究.为此对松山区某中学高二甲､乙两个同类班级进行“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”的试验，其中甲班为试验班(加强语文阅读理解训练)，乙班为对比班(常规教学，无额外训练)，在试验前的测试中，甲､乙两班学生在数学应用题上的得分率基本一致，试验结束后，统计几次数学应用题测试的平均成绩(均取整数)如表所示：

（1）试分别估计两个班级的优秀率；

（2）由以上统计数据填写下面列联表，并问是否有75%的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率作用”有帮助？

甲班优秀人数为人，优秀率为：；

乙班优秀人数为人，优秀率为：.

（2）由以上统计数据填写下面列联表，

故没有的把握认为“加强‘语文阅读理解’训练对提高‘数学应用题’得分率”有帮助.

19．如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且

（1）求证：对任意的，都有

（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值

解：（1）证法：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

， 

即；

（2）由（1）得.

设平面ACE的法向量为，则由得

，即，

取，得·

易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与.. 

，即.

由于，解得，即为所求.

20．已知椭圆的左焦点F在直线上，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于A、C两点，线段的中点为M，射线与椭圆交于点P，点O为的重心，探求面积S是否为定值，若是，则求出这个值；若不是，则求S的取值范围.

解：（1）∵直线与x轴的交点为，∴，∴，

∴解得，，∴椭圆的方程为.

（2）若直线的斜率不存在，则在轴上，此时，因为点O为的重心，所以，将代入椭圆方程，可得，即，所以；

若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程，

整理得

设，，

则，，.

由题意点O为的重心，设，则，，

所以，，

代入椭圆，得，

设坐标原点O到直线的距离为d，则

则的面积

.

综上可得，面积S为定值.

21．已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求a的取值范围；

（2）设两个极值点分别为x1，x2，证明：.

解：（1）由题意得的定义域是，

，

则，令，得，

问题转化为方程在上有2个异根，

令，问题转化为函数有2个不同的零点，

而，

∵，当时，，当时，，

故在单调递增，在单调递减，

故的极大值为，

又∵当x→0时，，当x→+∞时，，

于是只需的极大值大于零，即，故，

即a的取值范围是；

（2）证明：由（1）可知x1，x2分别是方程的两个根，

即，，

设，作差得，即，

原不等式等价于，

，

令，则，，

设，则，

∴函数在上单调递增，

∴，即不等式成立，

故所证不等式成立.

选做

22．在直角坐标系中，已知直线的参数方程为(t为参数).以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.

(1)求的长；

(2)若点的极坐标为，求中点到的距离.

解：（1）曲线的直角坐标方程为，

将代入曲线，得：，

设点、点所对应的参数分别为，则，

；

（2）点对应的直角坐标为在直线上，中点对应的参数为，

所以点坐标为，点到点的距离为．

23．设函数，记的解集为.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）当时，证明：

解：（Ⅰ）由已知，得，当时，由，解得，此时；当时，由，解得，显然不成立，故的解集为

（Ⅱ）当时，，于是，∵函数在上是增函数，∴，故.