对数平均不等式

定义：设，则，其中为对数平均数。

几何解释：反比例函数的图像如图所示，轴，轴，，作在点处的切线分别于AP，BQ交于E，F，易得

变形公式： 

3.典例剖析

对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的．

（一） 的应用

例1  （2014年陕西）设函数，，其中是的导函数．

（1）（2）（略）

（3）设，比较与的大小，并加以证明．

（二）  的应用

例2  设数列的通项，其前项的和为，证明：．

（三）  的应用

例3. 设数列的通项，证明：．

（四） 的应用

例4.  （2010年湖北）已知函数的图象在点处的切线方程为．（1）用表示出；（2）（略）

（3）证明：

（五）  的应用

例5. （2014福建预赛）已知。求证：对一切正整数均成立。

强化训练

1. （2012年天津）已知函数的最小值为0，证明：

2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数．

（1）若时, 求的最小值；

（2）设数列的通项，证明：．

指数平均不等式

定义：设，则