数值计算方法期末试题及答案

   1. 误差根据来源可以分为四类，分别是（  A ）

A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差；

B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差；

C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差；

D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。

   2. 若，则其六阶差商（ C ）

A.  0；      B.  1；      C.  2；        D. 3 。

   3. 数值求积公式中的Simpson公式的代数精度为 （  D  ）

A.  0；      B.  1；      C.  2；        D. 3 。

   4. 若线性方程组Ax = b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 （   B   ）

A. 都发散；

B. 都收敛

C. Jacobi迭代法收敛，Gauss-Seidel迭代法发散；

D. Jacobi迭代法发散，Gauss-Seidel迭代法收敛。

   5. 对于试验方程，Euler方法的绝对稳定区间为（  C  ）

A.；              B.  ；

C.；             D.  ；

二、填空题（每空3分，共18分）

   1. 已知，则 ，   16   ， 

 2. 已知，则 f (x)的线性插值多项式为,且用线性插值可得f (7)=    2.6      。

3. 要使的近似值的相对误差界小于0.1%，应至少取   4    位有效数字。

三、利用下面数据表， 

   1. 用复化梯形公式计算积分的近似值；

     解：1.用复化梯形公式计算  取         1分                                   

2. 用复化Simpson公式计算积分的近似值。

(要求计算结果保留到小数点后六位).                   （14分）

   解：用复化辛甫生公式计算  取        8分 

4、已知矩阵，求矩阵A的Doolittle分解。     （10分）

     解：用紧凑格式法

          2分

     5分

            8分

               10分

5、用Newton迭代法求解方程在2.0附近的实根（计算结果保留到小数点后第四位）。                                    （12分）

     解：  ， 

            6分

                      8分

  ，            11分

  故，方程的近似根为1.74                            12分

六、对下面线性方程组                                     （12分）

   1.判别用雅可比迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

2.判别用高斯-塞德尔迭代法是否收敛，若收敛则写出其迭代格式；

解 1. 雅可比法:

   是对角元素为正的实对称阵,下面判别是否同时正定:

正定                                            5分

不正定.即不同时正定                8分

                       故,Jacobi法发散.                                         9分

2. 高斯-塞德尔法:由1知,是实对称正定矩阵,所以Gauss-Seidel法收敛.      10分

其迭代格式为              12分

七、已知初值问题：，取步长h =0.1，

1. 用（显式的）Euler方法求解上述初值问题的数值解；

2. 用改进的Euler方法求上述初值问题的数值解。         （14分）

解：1 .建立具体的Euler公式:

        3分

已知，则有：

                 5分

              7分

  解：2.建立具体的改进的Euler公式:

              10分

已知则有：

            12分

               14分