江苏省泰州市2011届高三第一学期期末数学试题(word版)

一．填空题：(本大题共14小题，每小题5分，共70分)

1．双曲线的离心率是    ▲    ．

2．命题“”的否定是    ▲    ．

3．设是虚数单位，若是实数，则实数    ▲    ．

4．已知集合，若,则    ▲    ．

5．某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老

年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法

从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为    ▲    ．

6．设,则在区间上随机取一个数，

使的概率为    ▲    ．

7．设函数，若曲线在点处的切线

方程为，则    ▲    ． 

8．右图是一个算法的流程图，则输出的值是    ▲    ．

9．设是两条直线，是两个平面，则下列4组条件中所有

能推得的条件是    ▲    ．（填序号）

①；②；

③；④．

10．数列为正项等比数列，若，且，则此数列的前4项和    ▲  

11．过直线：上一点作圆：的切线，若关于直线对称，则点到圆心的距离为    ▲    ．

12．已知正实数满足，则的最小值为    ▲    ．

13．已知函数，若，且，则的取值范围是    ▲  

14．已知是锐角△的外接圆的圆心，且,若

则    ▲    ．（用表示）

二．解答题：（本大题共6小题，共90分）

15．（本小题满分14分）

已知四面体中，,平面平面,分别

为棱和的中点．

⑴求证：平面；

⑵求证：；

⑶若△内的点满足平面，设

点构成集合,试描述点集的位置．（不必说明理由）

16．（本小题满分14分）

已知，，，

⑴若，记，求的值；

⑵若，，且，求证：．

17．（本小题满分14分）

某地区的农产品第天的销售价格（元/百斤），一农户在第天农产品的销售量（百斤）．

⑴求该农户在第7天销售农产品的收入；

⑵问这20天中该农户在哪一天的销售收入最大？

18．（本小题满分16分）

如图，在直角坐标系中，三点在轴上，原点和点分别是线段和的中点，已知（为常数），平面上点满足．

⑴求点的轨迹的方程；

⑵若点在曲线上，求证：点一定在某圆上；

⑶过点作直线，与圆相交于两点，若点恰好

是线段的中点，试求直线的方程．

19．（本小题满分16分）

已知在直角坐标系中，，其中数列都是递增数列．

⑴若，判断直线与是否平行；

⑵若数列都是正项等差数列，设四边形的面积为，

求证：也是等差数列；

⑶若，记直线的斜率为，数列前依次递减，求满足条件的数列的个数．

20．（本小题满分16分）

已知常数，函数

⑴求的单调递增区间；

⑵若，求在区间上的最小值；

⑶是否存在常数，使对于任意时，

恒成立，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

泰州市2010～2011学年度第一学期期末联考

高三数学试题参

一、填空题

1.；2.；3.；4.；5.；6.；7. 1；8.；9. ②③④；10.；11.；12.；13.；14..

二、解答题

15. ⑴∵在中，，为的中点，∴.…………………………（1分）

又∵平面平面，平面，

平面平面，∴平面.…………………………………（5分）

⑵∵，为的中点，

∴.…………………………（6分）

由⑴，又，，平面，∴平面.…………（9分）

又平面，∴，即. …………………………（10分）

⑶取、的中点、，所有的点构成的集合即为的中位线.………………………………………………………………………………（14分）

16. ⑴∵，∴. ……………………………………（3分）

∴  ……………………………………（5分）

.   …………………………………………………………………………（7分）

⑵∵，∥，∴.

………………………………………………（9分）

又∵， ，∴………………………（12分）

.  ……………………………………………………（14分）

17. ⑴由已知第7天的销售价格，销售量. ∴第7天的销售收入(元) .  ……………………………………………………（3分）

⑵设第天的销售收入为，则.…（6分）

当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值.………………………………（9分）

当时，.（当且仅当时取等号）∴当时取最大值. …………………………（12分）

由于，∴第2天该农户的销售收入最大. …………………………（13分）

答：⑴第7天的销售收入2009元；⑵第2天该农户的销售收入最大. …………（14分）

18. ⑴由题意可得点的轨迹是以为焦点的椭圆. ……………………（2分）

且半焦距长，长半轴长，则的方程为.………（5分）

⑵若点在曲线上，则.设，，则，. …………………………………………………………………………（7分）

代入，得，所以点一定在某一圆上. 

                                            ………………………………（10分）

 ⑶由题意. ………………………………………………………………（11分）

设，则.┈┈┈①

因为点恰好是线段的中点，所以. 代入的方程得.┈┈┈②

联立①②，解得，.…………………………………………………（15分）

故直线有且只有一条，方程为. ……………………………………………（16分）

（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）

19. ⑴由题意、、、.

∴，. …………………………………（2分）

，∴与不平行.  ……………………………………（4分）

⑵、为等差数列，设它们的公差分别为和，则，

由题意.……………………………（6分）

∴

      ，…………………………………………（8分）

∴，∴是与无关的常数，

∴数列是等差数列. ……………………………………………………………（10分）

⑶、，∴ .

又数列前项依次递减，

∴对成立，即对成立.………………（12分）

又数列是递增数列，∴，只要时，即即可.

又，联立不等式，作出可行域（如右图所示），易得或.…………（14分）

当时，，即，有解；

当时，，即，有解.∴数列共有个. …（16分）

另解：也可直接由得.又，则或.下同

20. ⑴当时，为增函数. …………………………………（1分）

当时， =.令，得.…………（3分）

∴的增区间为，和.……………………………（4分）

⑵由右图可知，

①当时，，在区间上递减，在上递增，最小值为；………（6分）                            

②当时，在区间为增函数，最小值为；……………………………（8分）

③当时，在区间为增函数，最小值为； ……………………………（9分）

综上，最小值.  ………………………………（10分）

⑶由，

可得，      ………………………………（12分）

即或成立，所以为极小值点，或为极大值点.又时没有极大值，所以为极小值点，即……………（16分）                             

（若只给出，不说明理由，得1分）