高考数学不等式部分知识点梳理

一、不等式的基本概念

1、不等（等）号的定义：

2、不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式.

3、同向不等式与异向不等式.

4、同解不等式与不等式的同解变形.

二、不等式的基本性质

1、（对称性）

2、（传递性）

3、（加法单调性）

4、（同向不等式相加）

5、（异向不等式相减）

6、

7、（乘法单调性）

8、（同向不等式相乘）

9、（异向不等式相除）

10、（倒数关系）

11、（平方法则）

12、（开方法则）

三、几个重要不等式

（1）

（2）（当仅当a=b时取等号）

（3）如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）

极值定理：若则如果P是定值, 那么当x=y时，S的值最小；如果S是定值, 那么当x=y时，P的值最大.利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 

（4）含立方的不等式：

①

②由，可推出；

(,);

③如果a,b,c∈{x|x是正实数}，那么.（当且仅当a=b=c时取“=”号）

（当仅当a=b时取等号）

（7）含绝对值的不等式：①②

四、几个著名不等式

 （1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么 （当仅当a=b时取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b为正数）：

特别地，（当a = b时，

幂平均不等式：

注：例如：.

常用不等式的放缩法：①

②

（2）柯西不等式：若则；当且仅当时取等号。

（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数：若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点有

则称f(x)为凸（或凹）函数.

五、不等式证明的几种常用方法：比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.

六、不等式的解法：

（1）整式不等式的解法（根轴法）。步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.

特例：①一元一次不等式：解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础，必须熟练掌握，灵活应用。

情况分别解之。

②一元二次不等式：或分及情况分别解之，还要注意的三种情况，即或或，最好联系二次函数的图象。

（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

（3）无理不等式：转化为有理不等式求解

（4）.指数不等式：转化为代数不等式

（5）对数不等式：转化为代数不等式

（6）含绝对值不等式

应用分类讨论思想去绝对值；应用数形思想；应用化归思想等价转化

注：常用不等式的解法举例（x为正数）：

①        

②

类似于，③