截长补短法练习

截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。通常来证明几条线段的数量关系。

截长补短法有多种方法。

截长法：

（1）过某一点作长边的垂线

（2）在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。……

补短法

（1）延长短边。

（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。……

例：

在正方形ABCD中，DE=DF，DGCE，交CA于G，GHAF，交AD于P，交CE延长线于H，请问三条粗线DG，GH，CH的数量关系

方法一（好想不好证）

方法二（好证不好想）

例题不详解。

（第2页题目答案见第3、4页）

（1）正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAF=45。

求证：EF=DE+BF

（1）变形a

正方形ABCD中，点E在CD延长线上，点F在BC延长线上，EAF=45。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形b

正方形ABCD中，点E在DC延长线上，点F在CB延长线上，EAF=45。

请问现在EF、DE、BF又有什么数量关系？

（1）变形c

正三角形ABC中，E在AB上，F在AC上EDF=45。DB=DC，BDC=120。请问现在EF、BE、CF又有什么数量关系？

（1）变形d

正方形ABCD中，点E在CD上，点F在BC上，EAD=15，FAB=30。AD=

求AEF的面积

（1）解：（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90

AD=AB

又DG=BF

所以ADGABF（SAS）

GAD=FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90=DAF+FAB

=DAF+GAD=GAF

所以GAE=GAF-EAF

=90-45=45

GAE=FAE=45

又AG=AF

AE=AE

所以EAGEAF（SAS）

EF=GE=GD+DE=BF+DE

变形a解：（简单思路）

EF= BF-DE

在BC上截取BG，使得BG=DF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADE=ABG=90

AD=AB

又DE=BG

所以ADEABG（SAS）

EAD=GAB

AE=AG

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90=DAG+GAB

=DAG+EAD=GAE

所以GAF=GAE-EAF

=90-45=45

GAF=EAF=45

又AG=AE

AF=AF

所以EAFGAF（SAS）

EF=GF=BF-BG=BF-DE

变形b解：（简单思路）

EF=DE-BF

在DC上截取DG，使得DG=BF，连接AG。

由四边形ABCD是正方形得

ADG=ABF=90

AD=AB

又DG=BF

所以ADGABF（SAS）

GAD=FAB

AG=AF

由四边形ABCD是正方形得

DAB=90=DAG+GAB

=BAF+GAB=GAF

所以GAE=GAF-EAF

=90-45=45

GAE=FAE=45

又AG=AF

AE=AE

所以EAGEAF（SAS）

EF=EG=ED-GD=DE-BF

变形c解：（简单思路）

EF=BE+FC

延长AC到点G，使得CG=BE，连接DG。

由ABC是正三角形得

ABC=ACB=60

又DB=DC，BDC=120

所以DBC=DCB=30

DBE=ABC+DBC=60+30=90

ACD=ACB+DCB=60+30=90

所以GCD=180-ACD=90

DBE=DCG=90

又DB=DC，BE=CG

所以DBEDCG（SAS）

EDB=GDC

DE=DG

又DBC=120=EDB+EDC

=GDC+EDC=EDG

所以GDF=EDG-EDF

=120-60=60

GDF=EDF=60

又DG=DE

DF=DF

所以GDFEDF（SAS）

EF=GF=CG+FC=BE+FC

变形d解：（简单思路）

延长CD到点G，使得DG=BF，连接AG。

过E作EHAG.前面如（1）所证，

ADGABF，EAGEAF

GAD=FAB=30，SEAG=SEAF

在RtADG中，GAD=30，AD=

AGD=60，AG=2

设EH=x

在RtEGH中和RtEHA中

AGD=60，HAE=45

HG=x，AH=x

AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3-

SEAF=SEAG=EHAG2=3-.

（第5页题目答案见第6页）

（2）

正方形ABCD中，对角线AC与BD交于O，点E在BD上，AE平分DAC。

求证：AC/2=AD-EO

（2）加强版

正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，NE平分DNM。

请问MN、AD、EF有什么数量关系？

（2）解：（简单思路）

过E作EGAD于G

因为四边形ABCD是正方形

ADC=90，BD平分ADC，ACBD

所以ADB=ADC/2=45

因为AE平分DAC，EOAC，EGAD

所以EAO=EAG，

DGE=AOE=AGE=90又AE=AE，

所以AEOAEG（AAS）

所以AG=AO，EO=EG

又ADB=45，DGE=90

所以DGE为等腰直角三角形

DG=EG=EO

AD-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2

（2）加强版解：（简单思路）

MN/2=AD-EF

过E作EGAD于G，作EQAB于Q，

过B做BPMN于P

按照（2）的解法，可求证，

GNEFNE（AAS）

DGE为等腰直角三角形

AG=AD-DG=AD-EF，

因为四边形ABCD为正方形，

ABC=GAQ=BCM=90

BD平分ABC，BC=BA

ABD=ABC/2=45，又EQB=90

EQB为等腰Rt三角形，BEQ=45

因为GAQ=EGA=EQA=90

所以四边形AGEQ为矩形，

EQ=AG=AD-EF，EQ//AG

QEN=ENG

又ENG=ENF，所以QEN=ENF

由BC=BA，BCM=BAN=90，CM=AN，

所以BCMBAN（SAS）

BM=BN，CBM=ABN

ABC=90=ABM+CBM

=ABM+ABN=MBN，又BM=BN

所以MBN为等腰Rt三角形，

又BP斜边MN于P，

所以NPB为等腰Rt三角形。

BP=MN/2，PNB=45。

BNE=ENF+PNB

BEN=QEN+QEB

又QEN=ENF，PNB=QEB=45

所以BNE=BEN

BN=BE，

又PNB=QEB=45=NBP=EBQ

所以BEQBNP（SAS）

EQ=BP

因为EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2

所以AD-EF=MN/2。