高中数学 椭圆及双曲线(部分)练习题

椭圆及双曲线（部分）练习题

一、选择题：

１.椭圆116

252

2=+y x 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为３,则P 到另一焦点距离为 ( )

A ．２

B ．３

C ．５

D ．７

2.椭圆2255x ky -=的一个焦点是(0,2)，那么k 等于 （ ）

A. 1-

B. 1

C.

5 D. 3.P 是双曲线136

2

2=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，则2PF 的值为 （ ） A.33 B.33或1 C.1 D.25或9

５.若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直,则离心率等于 ( )

A.

12

B.

2

C.

D. 2

6.双曲线22

2

2

1124x y m m

-=+-的焦距是 （ ）

A.6

B.4

C.8

６．椭圆两焦点为 1(4,0)F -，2(4,0)F ，P 在椭圆上，若 △12PF F 的面积的最大值为12，则椭圆方程为 ( )

A.

221169

x y += B . 221259x y += C . 2212516x y += D . 22

1254x y += ７．椭圆的两个焦点是F 1(－1, 0), F 2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等

差中项，则该椭圆方程是. ( )

A. 16x 2＋9y 2＝1

B. 16x 2＋12y 2＝1

C. 4x 2＋3y 2＝1

D. 3x 2

＋4

y 2＝1

８.椭圆的两个焦点和中心，将两准线间的距离四等分，则它的焦点与短轴端点连线的夹角为 ( )

A.45

B.60

C.90

D.120

９．椭圆22

1259

x y +=上的点M 到焦点F 1的距离是2，N 是MF 1的中点，则|ON |为 （ ） A. 4 B . 2 C. 8 D . 2

3

10．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23

＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的

另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( ) A .2 3 B.6 C.4 3 D.12

11.若椭圆

122=+n y m x )0(>>n m 和双曲线12

2=-t

y s x )0,(>t s 有相同的焦点1F 和2F ，而P 是这两条曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值是． ( )

A ．s m -

B ．

)(2

1

s m - C ．22s m - D ．s m - 12.如图，把椭圆22

12516

x y +=的长轴AB 分成8等份，

过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于

1234567, , , , , , P P P P P P P 七个点，F 是椭圆的一个

焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= （ ）

A.40

B.30

C.32

D.35 二、填空题：

13．方程221||12

x y m +=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是_________.

14．过点(2,

3)-且与椭圆229436x y +=有共同的焦点的椭圆的标准方程为____________________________.

15．设(5,0)M -,(5,0)N ,△MNP 的周长是36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程为____________________________.

16．如图：从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭

圆的左焦点1F ，且它的长轴端点

A 及短轴的端点

B 的连线AB uu u r ∥OM uuu r

，则该椭圆的离心率等于____________.

选择题答案

三、解答题：

17.已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率3

2

=e ，短轴长为58，求椭圆的方程.

18.已知点(A 和圆1O ：(

)

163

2

2

=+

+y x ，点M 在圆1O 上运动，点P 在半径

M O 1上，且PA PM =，求动点P 的轨迹方程.

19．已知A 、

B 为椭圆22a x +2

2

925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2

|=58a ，AB 中点到直线54x a =-的距离为2

3

，求该椭圆方程．

20．根据条件，分别求出椭圆的方程： （1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为

12

， 长轴长为8；

（2）中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上， 短轴的一个顶点B 与两个焦点12,F F 组成的三角 形的周长为4+，且1223

F BF π∠=.

21．已知12,F F 为椭圆

22

2

1(010)100x y b b +=<<的左、右焦点,P 是椭圆上一点. （1）求12||||PF PF ⋅的最大值；

（2）若1260F PF ∠=且12F PF ∆，求b 的值.

22.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率e =，过点()0,A b -和(),0B a 的

直线与原点的距离为

. (1)求椭圆的方程；(2)已知定点()1,0E -，若直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点，问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.

参

一、D 记分BC BCCAC DD

二、13．(1,3)(3,1)m ∈-- 14. 2211510y x += 15. 221(0)169144x y y +=≠ 16.

2 三、17. 22

114480x y += 或

1144802

2

=+y x 18. 利用定义法 ∴ 14

2

2

=+y x 19．(12分) [解析]：设)y ,A(x 11，)y ,B(x 22，,5

4

=

e 由焦半径公式有 21ex a ex a -+- =a 58，∴21x x + =a 2

1，

即AB 中点横坐标为a 41，又直线方程为a x 45-=，∴2

3

4541=+a a ，即a =1，∴椭圆

方程为x 2+9

25y 2

=1．

20. （1）

2211612x y +=或22

11612

y x += （2）设长轴为2a ，焦距为2c ，则在2F OB ∆中，由23F OB π

∠=

得：2

c a =

，所以

21F BF ∆的周长

为22243a c a c +==

，

22,1a c b ∴=∴=故得：22

141

x y +=.

21. （1）2

1212||||||||1002PF PF PF PF +⎛⎫

≤= ⎪⎝⎭

（当且仅当12||||PF PF =时取等号）

， ()12max |||100PF PF ∴⋅=

（2

）

12121||||sin 6023

F PF S PF PF ∆=

⋅=12256||||3PF PF ∴⋅= ①

又2221212222

1212||||2||||4||||42||||cos60PF PF PF PF a PF PF c PF PF ⎧++⋅=⎨+-=⋅⎩2123||||4004PF PF c ⇒⋅=- ② 由①②得68c b =∴=

)

()

()

()()()

()()

2

2

22

22

22

122

1122

122

3

1

1

3

2

2

131290

330

12361301

12

13

,,,,

9

13

AB bx ay ab

c

a

a b

x

y

y kx

k x kx

x y

k k

k

x x

k

C x y

D x y

x x

k

--=

⎧

=

⎪

⎪

==

⎨

=

∴+=

=+

⎧

+++=

⎨

+-=

⎩

∴∆=-+>

⎧

+=-

⎪⎪+

⎨

⎪=

+

⎩

1直线方程为

依题意可得：

解得：

椭圆的方程为

假设存在这样的值.

由得

设则()

()()()

()

()()

()()()()

()()

()

2

12121212

12

12

1212

2

1212

2

2224

1

11

110

121503 y y kx kx k x x k x x

CE DE y y

x x

y y x x

k x x k x x

k

k

k

⎪

+++++

⊥

=-

++

+++

∴+++++=

而＝＝

要使以CD为直径的圆过点E－1，0，当且仅当时则

即＝

7

将2代入3整理得＝

6

7

经验证＝使得1成立

6

7

综上可知，存在＝使得以CD为直径的圆过点E

6