2016年中考数学第二轮专题复习专题六

（方程思想、函数思想、数形结合思想）

一、中考专题诠释

数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．

二、解题策略和解法精讲

数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲

考点四：方程思想

从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例4  （2013•温州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC=CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．

（1）求证：∠B=∠D；

（2）若AB=4，BC-AC=2，求CE的长．

思路分析：（1）由AB为⊙O的直径，易证得AC⊥BD，又由DC=CB，根据线段垂直平分线的性质，可证得AD=AB，即可得：∠B=∠D；

（2）首先设BC=x，则AC=x-2，由在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，可得方程：（x-2）2+x2=42，解此方程即可求得CB的长，继而求得CE的长．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵DC=CB，

∴AD=AB，

∴∠B=∠D；

（2）解：设BC=x，则AC=x-2，

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，

∴（x-2）2+x2=42，

解得：x1=1+，x2=1-（舍去），

∵∠B=∠E，∠B=∠D，

∴∠D=∠E，

∴CD=CE，

∵CD=CB，

∴CE=CB=1+．

点评：此题考查了圆周角定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

对应训练

4．（2013•娄底）2013年3月，某煤矿发生瓦斯爆炸，该地救援队立即赶赴现场进行救援，救援队利用生命探测仪在地面A、B两个探测点探测到C处有生命迹象．已知A、B两点相距4米，探测线与地面的夹角分别是30°和45°，试确定生命所在点C的深度．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41， ≈1.73）

4．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，

设CD=x，

在Rt△ACD中，∠CAD=30°，

则AD=CD=x，

在Rt△BCD中，∠CBD=45°，

则BD=CD=x，

由题意得，x-x=4，

解得：x==2（+1）≈5.5．

答：生命所在点C的深度为5.5米．

考点五：函数思想

函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。  

所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质。

例5   （2013•凉山州）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）．

（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n（单位：吨）与运输时间t（单位：天）之间有怎样的函数关系式？

（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数．

思路分析：（1）根据每天运量×天数=总运量即可列出函数关系式；

（2）根据“实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务”列出方程求解即可．

解：（1）∵每天运量×天数=总运量

∴nt=4000

∴n=；

（2）设原计划x天完成，根据题意得：

 (1-20%)=。

解得：x=4

经检验：x=4是原方程的根，

答：原计划4天完成．

点评：本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．

对应训练

5．（2013•济南）某地计划用120-180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3．

（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式，并给出自变量x的取值范围；

（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？

2．解：（1）由题意得，y=，

把y=120代入y=，得x=3，

把y=180代入y=，得x=2，

∴自变量的取值范围为：2≤x≤3，

∴y=（2≤x≤3）；

（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（x+0.5）万米3，

根据题意得：-=24

解得：x=2.5或x=-3

经检验x=2.5或x=-3均为原方程的根，但x=-3不符合题意，故舍去，

答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．

考点六：数形结合思想

数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。     

例6  （2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有    6

个，写出其中一个点P的坐标是   （5，0）

．

思路分析：作出图形，然后利用数形结合的思想求解，再根据平面直角坐标系写出点P的坐标即可．

解：如图所示，满足条件的点P有6个，

分别为（5，0）（8，0）（0，5）（0，6）（-5，0）（0，-5）．

故答案为：6；（5，0）（答案不唯一，写出6个中的一个即可）．

点评：本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，利用数形结合的思想求解更简便．

对应训练

6．（2013•南充）如图，函数y1=与y2=k2x的图象相交于点A（1，2）和点B，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是（　　）

A．x＞1    B．-1＜x＜0

C．-1＜x＜0或x＞1    D．x＜-1或0＜x＜1

6．C