2013四川高考数学文科试题及解析

数     学（文史类）

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第Ⅰ卷（选择题   共50分）

一、选择题： 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合，集合，则（    ）

（A）            （B）     （C）            （D）

2．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是（    ）

（A）棱柱       （B）棱台    （C）圆柱             （D）圆台

3．如图，在复平面内，点表示复数，则图中表示的共轭复数的点是（    ）

（A）           （B）           （C）           （D）

4．设，集合是奇数集，集合是偶数集．若命题，则（    ）

（A）                  （B）

（C）                  （D）

5．抛物线的焦点到直线的距离是（    ）

（A）              （B）          （C）                （D）

6．函数的部分图象如图所示，则的值分别是（    ）

（A）     （B）     （C）         （D）

7．某学校随机抽取个班，调查各班中有网上购物经历的人数，所得数据的茎叶图如图所示．以组距为将数据分组成，，…，，时，所作的频率分布直方图是（    ）

8．若变量满足约束条件且的最大值为，最小值为，则的值是（    ）

（A）             （B）             （C）             （D）

9．从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（    ）

（A）            （B）              （C）            （D）

10．设函数（，为自然对数的底数）．若存在使成立，则的取值范围是（    ）

（A）            （B）        （C）         （D）

第Ⅱ卷  （非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共25分．

11．的值是____      _．

12．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，，则___      __ _．

13．已知函数在时取得最小值，则___    ___．

14．设，，则的值是________．

15．在平面直角坐标系内，到点，，，的距离之和最小的点的坐标是          

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分) 在等比数列中，，且为和的等差中项，求数列的首项、公比及前项和．

17．(本小题满分12分) 在中，角的对边分别为，且

．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，，求向量在方向上的投影．

18．(本小题满分12分) 

    某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量在这个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出的值为的概率；

（Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行次后，统计记录了输出的值为的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

当时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出的值为的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大．

19．(本小题满分12分) 

    如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，分别是线段的中点，是线段上异于端点的点．

（Ⅰ）在平面内，试作出过点与平面平行的直线，说明理由，并证明直线平面；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线交于点，求三棱锥的体积．（锥体体积公式：，其中为底面面积，为高）

20．(本小题满分13分) 

    已知圆的方程为，点是坐标原点．直线与圆交于两点．

（Ⅰ）求的取值范围；

（Ⅱ）设是线段上的点，且．请将表示为的函数．

21．(本小题满分14分)

    已知函数，其中是实数．设，为该函数图象上的两点，且．

（Ⅰ）指出函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数的图象在点处的切线互相垂直，且，证明：；

（Ⅲ）若函数的图象在点处的切线重合，求的取值范围．

参

一、选择题

1．B解析：考查集合的交集运算，容易题．选B．

2．D解析：考查新教材新增内容，三视图还原．容易题．选D．

3．B解析：考查复数的几何意义，共轭复数概念．中等题．选B．

4．C解析：考查全称量词和存在量词，属新增内容，容易题．选C．

5．D解析：考查抛物线性质，点到直线的距离公式．容易题．抛物线的焦点为（2,0），它到直线的距离，所以选D． 

6．A解析：考查三角函数解析式的确定，中档题．由题知, 又（“五点”中的第二点），所以，选A．

7．A解析：考查新增内容，茎叶图给出数据，频率分布直方图的识别．中档题．分别算出各组的频率为所以选A．

8．C解析：考查线性规划，基础题，求出各交点坐标（4,4），（8,0），（0,0）, (0,2), 代入目标函数即可得a=16, b= -8，所以 =24，所以选C．

9．C解析：考查椭圆的相关概念，中档题．由得b=c，a2=2c2，故选C．

10．A 解析：考查函数的概念，导数的运用，综合度较高．难题．

因为，令，则，所以点、均在的图象上，而的图象不关于直线对称，所以，即f (b)=b，所以，令，当时，所以在[0,1]上递增，所以，即，故选A．

11．1  解析：考查对数基本运算，简单题．原式=

12．2   解析：考查平面向量的加法法则，简单题.， 

13．36    解析：考查函数的单调性，简单题.时取得最小值，所以a=36.答案36

14．   解析：考查三角函数二倍角公式、同角公式、中档题.

由题知.

15．（2,4）   解析：考查平几知识、灵活运用所学知识分析解决问题的能力，中档题．根据线段的性质：两点之间，线段距离最短；结合题意，要使它与四个点的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处。由交点（2,4）即为所求． 

16．解：设的公比为q．由已知可得

，，

所以，，解得  或，

由于。因此不合题意，应舍去，

故公比，首项．

所以，数列的前项和．  ……………………………………… 12分

17．解：（Ⅰ）由得

，

则，即 

又，则．           ……………………………………… 5分

（Ⅱ）由正弦定理，有，所以，

由题知，则，故．

根据余弦定理，有，

解得  或（负值舍去），

向量在方向上的投影为． …………………………… 12分

18．解：（Ⅰ）变量是在这个整数中等可能随机产生的一个数，共有24种可能．

当从这12个数中产生时，输出y的值为1，故；

当从这8个数中产生时，输出y的值为2，故；

当从这4个数中产生时，输出y的值为3，故．

所以输出的值为1的概率为，输出的值为2的概率为，输出的值为3的概率为．

……………………………………… 6分

（Ⅱ）当时，甲、乙所编程序各自输出的值为的频率如下，

……………………………………… 12分

19．解：（Ⅰ）如图，在平面ABC内，过点作直线，因为在平面外，BC在平面内，由直线与平面平行的判定定理可知，平面．

由已知，，是BC中点，所以BC⊥AD，则直线，

又因为底面，所以，

又因为AD，在平面内，且AD与相交，

所以直线平面．         ……………………………………… 7分

（Ⅱ）过D作于E，因为平面，所以，

又因为AC，在平面内，且AC与相交，所以平面，

由，∠BAC，有，∠DAC，

所以在△ACD中，，

又，所以

因此三棱锥的体积为．……………………………………… 12分

20．解：（Ⅰ）将代入得 则，（*）

由得．

所以的取值范围是．  …………………………… 4分

（Ⅱ）因为M、N在直线l上，可设点M、N的坐标分别为，，则

，，又，

由得，，

所以

由（*）知，，

所以，

因为点Q在直线l上，所以，代入可得，

由及得，即．

依题意，点Q在圆C内，则，所以，

于是，n与m的函数关系为  （）

…………………………… 13分

21．解：（Ⅰ）函数的单调减区间为，单调增区间为，．                                    …………………………… 3分

（Ⅱ）由导数的几何意义知，点A处的切线斜率为，点B处的切线斜率为，

故当点处的切线互相垂直时，有，

当x<0时， 

因为，所以，所以，，

因此，

（当且仅当，即且时等号成立）

所以函数的图象在点处的切线互相垂直时有．

…………………………… 7分

（Ⅲ）当或时， ，故．

当时，的图象在点处的切线方程为

即．

当时，的图象在点处的切线方程为

即．

两切线重合的充要条件是，

由①及知，，

由①、②得，

令，则，且

设，则

所以为减函数，则，

所以，

而当且t趋向于0时，无限增大，

所以的取值范围是．

故当函数的图象在点处的切线重合时，的取值范围是．

…………………………… 14分