高 三 数 学 复 习 提 纲

武汉中学高三数学组

排列、组合、二项式定理

一．基础知识:

1.分类计数原理（加法原理）.

2.分步计数原理（乘法原理）.

3.排列数公式 

==.(，∈N*，且)．

注:规定.

4.排列恒等式 

(1）;（2）;

（3）; 

（4）;

（5）.

(6).

5.组合数公式 

=== (∈N*，，且).

6.组合数的两个性质

(1) = ;(2) +=.

注:规定.

7.组合恒等式

（1）;（2）;

（3）;     （4）=;

（5）.

(6).

(7).

 (8).

(9).

(10).

8.排列数与组合数的关系.

9．单条件排列

以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列.

（1）“在位”与“不在位”

①某（特）元必在某位有种；②某（特）元不在某位有（补集思想）（着眼位置）（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：个元在固定位的排列有种.

②浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有种.

（3）两组元素各相同的插空  

个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

当时，无解；当时，有种排法.

（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.

9．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的、个物件等分给个人，各得件，其分配方法数共有.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的·个物体等分为无记号或无顺序的堆，其分配方法数共有

.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数共有.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的个物体分给个人，物件必须被分完，分别得到，，…，件，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.

（5）(非平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数彼此不相等，则其分配方法数有.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的个物体分为任意的，，…，件无记号的堆，且，，…，这个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有.

（7）(限定分组有归属问题)将相异的（）个物体分给甲、乙、丙，……等个人，物体必须被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…时，则无论，，…，等个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

.

10.二项式定理  ;

二项展开式的通项公式.

.二项式系数具有下列性质：

(1)与首末两端等距离的二项式系数相等；

(2)若n为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项（第和＋1项）的二项式系数最大；

（3）

11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为f(1);奇数项系数和为；偶数项的系数和为；

概率

一．基础知识:

1.等可能性事件的概率

.

2.互斥事件A，B分别发生的概率的和

P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

1.个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．

3.事件A，B同时发生的概率

P(A·B)= P(A)·P(B).

4.n个事件同时发生的概率

 P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)．

5.n次重复试验中某事件恰好发生k次的概率

6. 如果事件A、B互斥，那么事件A与、与及事件与也都是互斥事件；

7.如果事件A、B相互，那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1－P（AB）＝1－P(A)P(B)；

8.如果事件A、B相互，那么事件A、B至少有一个发生的概率是1－P（）＝1－P()P()；

概率与统计

一．基础知识:

1.离散型随机变量的分布列的两个性质

（1）;

（2）.

2.数学期望

170.数学期望的性质

（1）.

（2）若～,则.

(3)  若服从几何分布,且，则.

4.方差

5.标准差

=.

6.方差的性质

(1)；

(2）若～，则.

(3) 若服从几何分布,且，则.

7.方差与期望的关系

.

8.正态分布密度函数

，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.

9.标准正态分布密度函数

.

10.对于，取值小于x的概率

.

.

二．基本方法和数学思想

1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）pi≥0,i=1,2,…;  (2)  p1+p2+…=1;

2.二项分布：记作～B（n,p）,其中n,p为参数，并记；

3.记住以下重要公式和结论：

（2）方差D＝;

（3）标准差；

（4）若～B（n,p）,则E＝np, D＝npq,这里q=1-p;

4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；

5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；

6.正态总体的概率密度函数：式中是参数，分别表示总体的平均数与标准差；

7.正态曲线的性质：（1）曲线在x＝时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在x轴上方，并且关于直线x= 对称；

8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布的概率 P（x1<9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，确定随机变量服从正态分布；（2）确定一次试验中的取值a是否落入范围；（3）作出推断：如果a∈，接受统计假设；如果a,由于这是小概率事件，就拒绝假设；

导数

一．基础知识:

1.在处的导数（或变化率或微商）

.

2.瞬时速度

.

3.瞬时加速度

.

4.在的导数

.

5. 函数在点处的导数的几何意义

函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是.

6.几种常见函数的导数

(1)（C为常数）.

(2).

(3).

(4).

     (5)；.

(6);.

7.导数的运算法则

（1）.

（2）.

（3）.

8.复合函数的求导法则  

设函数在点处有导数，函数在点处的对应点U处有导数，则复合函数在点处有导数，且，或写作.

10.判别是极大（小）值的方法当函数在点处连续时，

（1）如果在附近的左侧，右侧，则是极大值；

（2）如果在附近的左侧，右侧，则是极小值.

二．基本方法和数学思想

1.导数的定义：f(x)在点x0处的导数记作；

2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量

（2）(2)求平均变化率;       

（3）取极限,得导数;

3.可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在点x0处连续；但是y=f(x)在点x0处连续却不一定可导；

4.导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是相应地，切线方程是

5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导，如果那么f(x)为增函数；如果那么f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有那么f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数；②求方程的根；③检验在方程根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；

（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在各极值点的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值

6导数与函数的单调性的关系

㈠与为增函数的关系。

能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。

㈡时，与为增函数的关系。

若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。

㈢与为增函数的关系。

为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。

函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。