(易错题精选)初中数学相交线与平行线难题汇编及答案

一、选择题

1．如图，直线，，，则的度数是（ ）

A．35° ．37.5° ．45° ．40°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两直线平行，同旁内角互补，可得出，再结合即可得出的度数，最后，根据两直线平行，内错角相等即可得出答案．

【详解】

解：∵，

∴

∵

∴

∴

故选：B．

【点睛】

本题考查的知识点是平行线的性质，难度不大，熟记平行线性质的内容是解此题的关键．

2．如图，点D在AC上，点F、G分别在AC、BC的延长线上，CE平分∠ACB交BD于点O，且∠EOD+∠OBF＝180°，∠F＝∠G，则图中与∠ECB相等的角有

A．6个 ．5个 ．4个 ．3个

【答案】B

【解析】

【分析】

由对顶角关系可得∠EOD=∠COB，则由∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，再结合CE是角平分线即可判断.

【详解】

解：由∠EOD+∠OBF=∠COB+∠OBF=180°可知EC∥BF，结合CE是角平分线可得∠ECB=∠ACE=∠CBF，再由EC∥BF可得∠ACE=∠F=∠G，则由三角形内角和定理可得∠GDC=∠CBF.综上所得，∠ECB=∠ACE=∠CBF=∠F=∠G=∠GDC，共有5个与∠ECB相等的角，

故选择B.

【点睛】

本题综合考查了平行线的判定及性质.

3．如图，直线AC∥BD，AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，那么下列结论错误的是（　　）

A．∠BAO与∠CAO相等 ．∠BAC与∠ABD互补

C．∠BAO与∠ABO互余 ．∠ABO与∠DBO不等

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：已知AC//BD,根据平行线的的性质可得∠BAC+∠ABD=180°，选项B正确；

因AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，根据角平分线的定义可得∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO,选项A正确，选项D不正确；由∠BAC+∠ABD=180°，∠BAO=∠CAO, ∠ABO=∠DBO即可得∠BAO+∠ABO=90°，选项A正确，故选D.

4．如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中不能判断BD∥AE的是（ ）

A．∠D＝∠DCE ．∠D＋∠ACD＝180° ．∠1＝∠2 ．∠3＝∠4

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定方法逐项进行分析即可得.

【详解】

A.由 ∠D＝∠DCE，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；

B. 由∠D＋∠ACD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意；

C.由∠1＝∠2可判定AB//CD，不能得到BD//AE，故符合题意；

D.由 ∠3＝∠4，根据内错角相等，两直线平行可得BD//AE，故不符合题意，

故选C.

【点睛】

本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.

5．如图，直线a∥b，直角三角开的直角顶点在直线b上，一条直角边与直线a所形成的∠1=55°，则另外一条直角边与直线b所形成的∠2的度数为（ ）

A．25° ．30° ．35° ．40°

【答案】C

【解析】

如图所示：

∵直线a∥b，

∴∠3=∠1=55°，

∵∠4=90°，∠2+∠3+∠4=180°，

∴∠2=180°-55°-90°=35°．

故选C．

6．如图，平分，．若，到的距离是2.4，则的面积等于（ ）

A．3.6 ．4.8 ．1.8 ．7.2

【答案】A

【解析】

【分析】

由角平分线的定义可得出∠BOC=∠DOC，由CD∥OB，得出∠BOC=∠DCO，进而可证出OD=CD=3．再由角平分线的性质可知到的距离是2.4，然后根据三角形的面积公式可求的面积．

【详解】

证明：∵OC平分∠AOB，

∴∠BOC=∠DOC．

∵CD∥OB，

∴∠BOC=∠DCO，

∴∠DOC=∠DCO，

∴OD=CD=3．

∵到的距离是2.4，

∴到的距离是2.4，

∴的面积=．

故选A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、以及角平分线的性质，利用角平分线的性质得出到的距离是2.4是解题的关键．

7．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　）

A．y＝x+z ．x+y﹣z＝90° ．x+y+z＝180° ．y+z﹣x＝90°

【答案】B

【解析】

【分析】

过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可．

【详解】

解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，

则∠CDE＝∠E+∠CNE，

即∠CNE＝y﹣z

∵CM∥AB，AB∥EF，

∴CM∥AB∥EF，

∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE，

∵∠BCD＝90°，

∴∠1+∠2＝90°，

∴x+y﹣z＝90°．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，注意：平行线的性质有：①两直线平行，同位角相等，②两直线平行，内错角相等，③两直线平行，同旁内角互补．

8．如图，现将一块含有角的三角板的顶点放在直尺的一边上，若，那么的度数为（ ）

A． ． ． ．

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据两直线平行的性质得到∠3=∠2，再根据平角的定义列方程即可得解．

【详解】

∵AB∥CD，

∴∠3=∠2，

∠1=∠2，

∴∠1=∠3，

∴2∠3+60°=180°，

∴∠3=60°，

∴∠1=60°，

故选：B．

【点睛】

此题考查平行线的性质，三角板的知识，熟记性质是解题的关键．

9．如图，已知，若，，，下列结论：①；②；③；④与互补；⑤，其中正确的有（ ）

A．2个 ．3个 ．4个 ．5个

【答案】C

【解析】

【分析】

根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．

【详解】

∵∠1=∠2，

∴AC∥DE，故①正确；

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠CDB=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，

∴∠A=∠3，故②正确；

∵AC∥DE，AC⊥BC，

∴DE⊥BC，

∴∠DEC=∠CDB=90°，

∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，

∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；

∵AC⊥BC，CD⊥AB，

∴∠ACB=∠CDA=90°，

∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，

∴∠1=∠B，故⑤正确；

即正确的个数是4个，

故选：C．

【点睛】

此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．

10．如图，直线AB，CD相交于点O，∠2－∠1=15°，∠3=130°．则∠2的度数是(　　)

A．37.5° ．75° ．50° ．65°

【答案】D

【解析】

【分析】

先根据条件和邻补角的性质求出∠1的度数，然后即可求出∠2的度数．

【详解】

）∵∠3=130°，∠1+∠3=180°，

∴∠1=180°-∠3=50°，

∵∠2-∠1=15°，

∴∠2=15°+∠1=65°；

故答案为D.

【点睛】

本题考查角的运算，邻补角的性质，比较简单.

11．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（　　）

A．110° ．120° ．140° ．150°

【答案】B

【解析】

【详解】

解：∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠EFB=20°，

图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，

在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，

故选B．

12．如图，在矩形中，，，若是上的一个动点，则的最小值是（ ）

A．16 ．15.2 ．15 ．14.8

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意，当PC⊥BD时，有最小值，由勾股定理求出BD的长度，由三角形的面积公式求出PC的长度，即可求出最小值.

【详解】

解：如图，当PC⊥BD时，有最小值，

在矩形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，AB=CD=6，AD=BC=8，

由勾股定理，得

，

∴，

在△BCD中，由三角形的面积公式，得

，

即，

解得：，

∴的最小值是：；

故选：D.

【点睛】

本题考查了勾股定理解直角三角形，最短路径问题，垂线段最短，以及三角形的面积公式，解题的关键是熟练掌握勾股定理，正确确定点P的位置，得到PC最短.

13．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等．其中真命题的个数是(   )

A．1个 ．2个 ．3个 ．4个

【答案】B

【解析】

解：①符合对顶角的性质，故本小题正确；

②两直线平行，内错角相等，故本小题错误；

③符合平行线的判定定理，故本小题正确；

④如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补，故本小题错误．

故选B．

14．如图，等边边长为，点是的内心，，绕点旋转，分别交线段、于、两点，连接，给出下列四个结论：①形状不变；②的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一；③四边形的面积始终不变；④周长的最小值为．上述结论中正确的个数是（ ）

A．4 ．3 ．2 ．1

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OB、OC，利用SAS证出△ODB≌△OEC，从而得出△ODE是顶角为120°的等腰三角形，即可判断①；过点O作OH⊥DE，则DH=EH，利用锐角三角函数可得OH=OE和DE=OE，然后三角形的面积公式可得S△ODE=OE2，从而得出OE最小时，S△ODE最小，根据垂线段最短即可求出S△ODE的最小值，然后证出S四边形ODBE=S△OBC=即可判断②和③；求出的周长=a＋DE，求出DE的最小值即可判断④．

【详解】

解：连接OB、OC

∵是等边三角形，点是的内心，

∴∠ABC=∠ACB=60°，BO=CO，BO、CO平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBA=∠OBC=∠ABC=30°，∠OCA=∠OCB=∠ACB=30°

∴∠OBA=∠OCB，∠BOC=180°－∠OBC－∠OCB=120°

∵

∴∠BOC

∴∠FOG－∠BOE=∠BOC－∠BOE

∴∠BOD=∠COE

在△ODB和△OEC中

∴△ODB≌△OEC

∴OD=OE

∴△ODE是顶角为120°的等腰三角形，

∴形状不变，故①正确；

过点O作OH⊥DE，则DH=EH

∵△ODE是顶角为120°的等腰三角形

∴∠ODE=∠OED=（180°－120°）=30°

∴OH=OE·sin∠OED=OE，EH= OE·cos∠OED=OE

∴DE=2EH=OE

∴S△ODE=DE·OH=OE2

∴OE最小时，S△ODE最小，

过点O作OE′⊥BC于E′，根据垂线段最短，OE′即为OE的最小值

∴BE′=BC=

在Rt△OBE′中

OE′=BE′·tan∠OBE′=×=

∴S△ODE的最小值为OE′2=

∵△ODB≌△OEC

∴S四边形ODBE=S△ODB＋S△OBE= S△OEC＋S△OBE=S△OBC=BC·OE′=

∵=×

∴S△ODE≤S四边形ODBE

即的面积最小不会小于四边形的面积的四分之一，故②正确；

∵S四边形ODBE=

∴四边形的面积始终不变，故③正确；

∵△ODB≌△OEC

∴DB=EC

∴的周长=DB＋BE＋DE= EC＋BE＋DE=BC＋DE=a＋DE

∴DE最小时的周长最小

∵DE=OE

∴OE最小时，DE最小

而OE的最小值为OE′=

∴DE的最小值为×=

∴的周长的最小值为a＋=，故④正确；

综上：4个结论都正确，

故选A．

【点睛】

此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键．

15．如图分别平分则图中与相等的角（不含它本身）的个数是（  ）

A． ． ． ．

【答案】C

【解析】

【分析】

先根据平行线的性质得到，，再利用把角平分线的性质得到，最后对顶角相等和等量替换得到答案.

【详解】

解：如图，做如下标记，

∵，

∴（两直线平行，内错角相等），

又∵分别平分

∴,

又∵，，（对顶角相等），

∴=（等量替换）

故与相等的角有7个，

故C为答案.

【点睛】

本题主要考查直线平行的性质、对顶角的性质（对顶角相等）、角平分线的性质（角平分线把角分为两个大小相等的角）还有等量替换，把所学知识灵活运用是解题的关键.

16．如图，直线被直线所截，则图中的与是（  ）

A．同位角 ．内错角 ．同旁内角 ．邻补角

【答案】B

【解析】

【分析】

根据与的位置关系，由内错角的定义即可得到答案.

【详解】

解：∵与在截线之内，并且在直线的两侧，

∴由内错角的定义得到与是内错角，

故B为答案.

【点睛】

本题主要考查了内错角、同位角、同旁内角、邻补角的定义，理解内错角、同位角、同旁内角、邻补角是解题的关键.

17．如图，已知AB∥CD，直线AB，CD被BC所截，E点在BC上，若∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝（　　）

A．65° ．70° ．75° ．80°

【答案】D

【解析】

【分析】

由平行线的性质可求得∠C，在△CDE中利用三角形外的性质可求得∠3．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠C＝∠1＝45°，

∵∠3是△CDE的一个外角，

∴∠3＝∠C+∠2＝45°+35°＝80°，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补，④a∥b，b∥c⇒a∥c．

18．如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1=70°，则∠CBE的度数为（ ）

A．20° ．35° ．55° ．70°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平行线的性质可得∠1=∠ABC=70°，再根据角平分线的定义可得答案．

【详解】

∵DE∥BC，

∴∠1=∠ABC=70°，

∵BE平分∠ABC，

∴，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等．

19．如图，小慧从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，此时需要将方向调整到与出发时一致，则方向的调整应为（ ）

A．左转80° ．右转80° ．左转100° ．右转100°

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，延长AB到D，过C作CE//AD，由题意可得∠A=60°，∠1=20°，根据平行线的性质可得∠A=∠2，∠3=∠1+∠2，进而可得答案.

【详解】

如图，延长AB到D，过C作CE//AD，

∵此时需要将方向调整到与出发时一致，

∴此时沿CE方向行走，

∵从A处出发沿北偏东60°方向行走至B处，又沿北偏西20°方向行走至C处，

∴∠A=60°，∠1=20°，

AM∥BN，CE∥AB，

∴∠A=∠2=60°，∠1+∠2=∠3

∴∠3=∠1+∠2=20°+60°=80°，

∴应右转80°.

故选B.

【点睛】

本题考查了方向角有关的知识及平行线的性质，解答时要注意以北方为参照方向，进行角度调整.

20．下列五个命题：

①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数的平方相等；

②内错角相等；

③在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

④两个无理数的和一定是无理数；

⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的．

其中真命题的个数是（ ）

A．2个 ．3个 ．4个 ．5个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据平面直角坐标系的概念，在两直线平行的条件下，内错角相等，两个无理数的和可以是无理数也可以是有理数， 进行判断即可.

【详解】

①正确；

②在两直线平行的条件下，内错角相等，②错误；

③正确；

④反例：两个无理数π和-π，和是0，④错误；

⑤坐标平面内的点与有序数对是一一对应的，正确；

故选：B．

【点睛】

本题考查实数，平面内直线的位置；牢记概念和性质，能够灵活理解概念性质是解题的关键．