福建师范大学14年秋-初等数论

一、填空

1．的个位数为（          3          ）

2．求所有正约数的和等于15的最小正数为（          8       ）

3．使得被整除的最大的k值为（        74      ）

4．模13的绝对值最小的完全剩余系为（-6，-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4,5,6）

5．若是模11的一个完全剩余系，则也是模11的（      完全        ）剩余系。

6．K个整数形成模m的简化剩余系的充要条件是（                            

是由与m互质的个对模m不同余的整数组成的）

7．求不定方程组：的正整数解为（，，）

8．不定方程的满足的一切整数解可表为（）

二、设，证明：

证：由且

得，

由

知，

若，由知，

若，由知，

故若，得。

三、求证-3，-2，7，9，13，17，22是模7的一个完全剩余系。

证：模7的一个完全剩余系是{0，1，2，3，4，5，6},

数系{-3,-2,7,9,13,17,22}={7，22，9，17，－3，－2，13},

∵{7，22，9，17，－3，－2，13}≡{0，1，2，3，4，5，6}（nod7）,

∴-3,-2,7,9,13,17,22是模7的一个完全剩余系。

四、证明：

证：的个位数为7，

的个位数为5，

的个位数为3，

的个位数为1，

7+5+3+1=16，

故。

五、若且为素数，则

证：