2011年北京市西城中考一模数学(含答案word 03版)

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

1． －2的相反数为（    ）.

     A．2          B．－2          C．           D．－ 

2．上海世博会是我国第一次举办的综合类世界博览会．据统计自2010年5月1日开幕至

   5月31日，累计参观人数约为8 030 000人．将8 030 000用科学记数法表示应为 （    ） .

   A．第一象限     B．第二象限    C．第三象限    D．第四象限

4. 右图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字和最小是（    ）.

     A. 4         B. 6        　C. 7          D. 8 

5．有四张形状、大小和质地完全相同的卡片，每张卡片的正面写有一个算式．将这四张卡片背面向上洗匀，从中随机抽取一张(不放回)，接着再随机抽取一张．则抽取的两张卡片上的算式都正确的概率是（    ）.

  A．          B．          C．          D．

6．某射击小组有20人，教练根据他们某次射击的数据绘制成如图所示的统计图．则这组数据的众数和中位数分别是（    ）.

    A．7，7            B． 8，7.5      

    C．7，7.5       D． 8，6

7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=60°，∠B=30°，

   若AD=CD=6，则AB的长等于（　　）．

    A．9           B．12          C．         D．18

8．如图，点A在半径为3的⊙O内，OA=，P为⊙O上一点，

   当∠OPA取最大值时，PA的长等于（    ）.

    A．       B．       C．      D． 

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．分解因式： =          ． 

10．如图，甲、乙两盏路灯相距20米. 一天晚上，当小明从

    路灯甲走到距路灯乙底部4米处时，发现自己的身影顶部

    正好接触到路灯乙的底部．已知小明的身高为1.6米，那么

    路灯甲的高为           米．

11. 定义[]为函数的特征数，下面给出特征数为[，，] 的函数的一些结论：①当时，函数图象的顶点坐标是；②当时，函数在时，随的增大而减小；③无论m取何值，函数图象都经过同一个点. 其中所有的正确结论有         .（填写正确结论的序号） 

12. 如图1，小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形，正方形的面积为            ；再把正方形的各边延长一倍得到正方形（如图2），如此进行下去，正方形的面积为             ．（用含有n的式子表示，n为正整数）

                            图1                       图2

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：

14．解不等式组  并判断是否为该不等式组的解．

15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一条直线l与x轴相交于点A，

    与y轴相交于点，与正比例函数 y＝mx(m≠0)的图象

   相交于点．

（1）求直线l的解析式；

（2）求△AOP的面积．

16. 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，

    连接AC，CF. 求证：（1）AF=CF；（2）CA平分∠DCF.

17. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值．

18．某中学就到校的方式问题对初三年级的所有学生进行了一次调查，并将调查结果制成了表格和扇形统计图，请你根据图表信息完成下列各题：

   （1）补全下表：

的度数为      °.

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．在2011年春运期间，我国南方发生大范围冻雨灾害，导致某地电路出现故障，该地供电局组织电工进行抢修．供电局距离抢修工地15千米，抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车每小时分别行驶多少千米．

20．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，为CD边上的点， =3．将纸片沿某条直线折叠，使点B落在点处，点A的对应点为，折痕分别与AD，BC边交于点M，N．

（1）求BN的长；

（2）求四边形ABNM的面积.

21．如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点 B在⊙O上，

    且AB＝AD＝AO．

（1）求证：BD是⊙O的切线；

（2）若E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，

    △BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，

     求△ACF的面积．

22．我们约定，若一个三角形（记为△A1）是由另一个三角形（记为△A）通过一次平移，或绕其任一边的中点旋转180°得到的，则称△A1是由△A复制的．以下的操作中每一个三角形只可以复制一次，复制过程可以一直进行下去．如图1，由△A复制出△A1，又由△A1复制出△A2，再由△A2复制出△A3，形成了一个大三角形，记作△B．以下各题中的复制均是由△A开始的，通过复制形成的多边形中的任意相邻两个小三角形（指与△A全等的三角形）之间既无缝隙也无重叠．

  （1）图1中标出的是一种可能的复制结果，小明发现△A∽△B，其相似比为_________．在图1的基础上继续复制下去得到△C，若△C的一条边上恰有11个小三角形（指有一条边在该边上的小三角形），则△C中含有______个小三角形；

  （2）若△A是正三角形，你认为通过复制能形成的正多边形是________；

  （3）请你用两次旋转和一次平移复制形成一个四边形，在图2的方框内画出草图，并仿照图1作出标记．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．抛物线，a＞0，c＜0，．

（1）求证：；

（2）抛物线经过点，Q．

① 判断的符号；

② 若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，点B（点A在点B左侧），请说明，．

24．如图1，平面直角坐标系xOy中，A，B．将△OAB绕点O顺时针旋转角（0°＜＜90°）得到△OCD（O，A，B的对应点分别为O，C，D），将△OAB沿轴负方向平移m个单位得到△EFG（m＞0，O，A，B的对应点分别为E，F，G），，m的值恰使点C，D，F落在同一反比例函数(k≠0)的图象上．

（1）∠AOB=    °，=    °；

（2）求经过点A，B，F的抛物线的解析式；

（3）若（2）中抛物线的顶点为M，抛物线与直线EF的另一个交点为H，抛物线上

的点P满足以P，M，F，A为顶点的四边形的面积与四边形MFAH的面积相等

（点P不与点H重合），请直接写出满足条件的点P的个数，并求位于直线EF

上方的点P的坐标．

25．在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为CB，CA延长线上的点，BE与AD的交点为P. 

  （1）若BD=AC，AE=CD，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE的度数；

  （2）若，，求∠APE的度数.

北京市西城区2011年初三一模试卷

         数学答案及评分标准     2011. 5

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.解：原式 =   ………………………………………………………4分

           =．  …………………………………………………………………………5分

①②

14.解： 

由①得． ………………………………………………………………………1分

       由②得x≤1．…………………………………………………………………………3分

∴ 原不等式组的解集是＜x≤1． ………………………………………………4分

∵，    

∴不是该不等式组的解．………………………………………………… 5分

15.解：（1）如图1.

设直线的解析式为(k，b为常数且k≠0).

           ∵ 直线经过点，点，

           ∴  解得

           ∴ 直线的解析式为． ……………………………………………2分

（2）∵ 直线的解析式为，

       ∴ 点A的坐标为．………………………………………………………3分

       ∵ 点P的坐标为，

        ∴＝．………………………………………5分

16. 证明：如图2.

（1）∵平分，

              ∴．………………1分

              在△ABF与△CBF中，

              ∴ △ABF≌△CBF． ………………………………………………………2分

              ∴．………………………………………………………………3分

（2）∵，

              ∴．……………………………………………………… 4分

             ∵∥，

             ∴．

             ∴，即平分． ………………………………5分

17. 解：由题意，．…………………………………………1分

        ∴． ………………………………………………………………………2分

        ∴ 原式……………………………………………………3分

．…………………………………………………4分

∵，

∴ 原式．………………………………………………………………5分

18. 解：（1）

阅卷说明：每空1分．

   （2）72．………………………………………………………………………………5分

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：设抢修车每小时行驶千米，则吉普车每小时行驶千米．

       ．………………………………………………………………………2分

       解得．  ………………………………………………………………………3分

       经检验，是原方程的解，并且符合题意．  ………………………………4分

       ∴.

   答：抢修车每小时行驶20千米，吉普车每小时行驶30千米．………………………5分

20．解：如图3．

（1）由题意，点A与点，点与点分别关于直线对称， 

           ∴，．  ………………………………………………1分

           设，则．

           ∵ 正方形，

           ∴．

           ∴． 

∵=3，

           ∴．  

解得．

           ∴．……………………………………………………………………2分

     （2）∵ 正方形，

∴ AD∥BC，．

∵ 点M，N分别在AD，BC边上，

∴ 四边形ABNM是直角梯形． 

∵，，

            ∴．

            ∴，．

            ∵，，

            ∴．

            ∴．

            在Rt△中，∵，，，

∴．

            ∵，

∴．

∵，

   ∴．

            在Rt△中，∵，，，

            ∴．…………………………………………………………………4分

            ∴．…………………5分

21．（1）证明：连接BO．（如图4）                               

              ∵ AB＝AD，    

∴ ∠D＝∠ABD．

              ∵ AB＝AO，

    ∴ ∠ABO＝∠AOB．

              又∵ 在△OBD中，∠D+∠DOB+∠ABO+∠ABD＝180°，

              ∴ ∠OBD＝90°．

∴ BD⊥BO．…………………………………………………………………1分

              ∵ 点B在⊙O上，

              ∴ BD是⊙O的切线 ． ……………………………………………………2分

（2）解：∵ ∠C＝∠E，∠CAF＝∠EBF ，

            ∴ △ACF∽△BEF ．  ………………………………………………………3分

     ∵ AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，

            ∴ ∠ABC＝90°．

∵ 在Rt△BFA中，∠ABF＝90°，cos∠BFA＝，

            ∴．………………………………………………………4分

        又∵＝8 ，

             ∴＝18 ． ……………………………………………………………5分

22．解：（1）1∶2，121 ．……………………………………………………………………2分

       （2）正三角形或正六边形．…………………………………………………………4分

       （3）如图5．                                                …………5分

阅卷说明：第（2）问全对得2分，仅填正三角形或正六边形得1分，其余情况均不得分；第（3）问其它符合题意的图形同样给分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．（1）证明：∵，

∴． ………………………………………1分

∵ a＞0，c＜0，

∴，．

∴． ……………………………………………………………2分

（2）解：∵ 抛物线经过点P，点Q，

            ∴

① ∵，a＞0，c＜0，

∴，．

∴＜0．………3分

＞0．………………………4分

∴．…………………………………………………………………5分

② 由a＞0知抛物线开口向上．

∵，，

∴ 点P和点Q分别位于x轴下方和x轴上方．

∵ 点A，B的坐标分别为A，B（点A在点B左侧），

∴ 由抛物线的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标满足．（如图6所示）………………………………………6分

∵ 抛物线的对称轴为直线，由抛物线的对称性可，由（1）知，

∴．

∴，即．…………………………………… 7分

24．解：（1）∠AOB= 30 °，= 60 °．…………………………………………………2分

（2）∵ A，B，△OAB绕点O顺时针旋转角得到△OCD，（如图7）

∴ OA=OB=OC=OD=4．

由（1）得．

∴ 点C与点A关于x轴对称，点C的坐标为．

∵ 点C，D，F落在同一反比例函数（k≠0）的图象上，

∴．

∵ 点F是由点A沿轴负方向平移m个单位得到，

∴，，点F的坐标为．……………3分

∴ 点F与点A关于y轴对称，可设经过点A，B，F的抛物线的解析式为．

∴  解得

∴ 所求抛物线的解析式为． …………………………………4分

（3）满足条件的点P的个数为 5 ．………………………………………………5分

            抛物线的顶点为． 

            ∵ △EFG是由△OAB沿轴负方向平移m个单位得到，

∴，，∠FEG=∠AOB=30°．

∴ 点E的坐标为．

可得直线EF的解析式为． 

∵ 点H的横坐标是方程的解，

整理，得．

解得．

∴ 点H的坐标为．

由抛物线的对称性知符合题意的点的坐标为．……………6分

可知△AFM是等边三角形，∠MAF= 60°．

由A，M两点的坐标分别为A，，

可得直线AM的解析式为．

过点H作直线AM的平行线l，设其解析式为（b≠8）． 

将点H的坐标代入上式，得．

解得，直线l的解析式为．

∵ 直线l与抛物线的交点的横坐标是方程的解．

整理，得．解得．

∴ 点满足，四边形的面积与四边形MFAH的面积相等．（如图8）……………………………………………7分

            点关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为．………8分

综上所述，位于直线EF上方的点P的坐标分别为，

， ．

25．解：（1）如图9，∠APE=  45   °.  ……………………2分

       （2）解法一：如图10，将AE平移到DF，连接BF，EF．

                                       ……………………3分

则四边形AEFD是平行四边形．

∴ AD∥EF，AD=EF． 

∵，，

∴，．

∴．……………………………………………………4分

∵ ∠C=90°，

∴．

∴ ∠C=∠BDF．

∴ △ACD∽△BDF．………………5分

                    ∴，∠1=∠2．

图10

∴．

∵ ∠1+∠3=90°，

∴ ∠2+∠3=90°．

∴ BF⊥AD ．

∴ BF⊥EF．…………………………………………………………6分

∴ 在Rt△BEF中，．

∴ ∠APE=∠BEF =30°．…………………………………………7分

解法二：如图11，将CA平移到DF，连接AF，BF，EF．………………3分

则四边形ACDF是平行四边形．

∵ ∠C=90°，

∴ 四边形ACDF是矩形，∠AFD=∠CAF= 90°，∠1+∠2=90°．

∵ 在Rt△AEF中，，

在Rt△BDF中，，

∴．

∴ ∠3+∠2=∠1+∠2=90°，即∠EFB =90°．

∴ ∠AFD=∠EFB． …………………4分

                    又∵，

                    ∴ △ADF∽△EBF． ………………………………………………5分

                    ∴ ∠4=∠5．…………………………………………………………6分

                    ∵ ∠APE+∠4=∠3+∠5，

                    ∴ ∠APE=∠3=30°．………………………………………………7分