高思奥数导引小学五年级含详解答案第17讲：计算综合一

内容概述

了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化比较复杂的分数算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题。

典型问题

兴趣篇

1.计算：

（1）；

（2）。

2.计算：。

3.计算：。

4.计算：。

5.计算：。

6.规定新运算“*”为：。

（1）计算：；

（2）已知，求。

7.图17-1中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75是2.5和3的平均数。请问：第100行中的各数之和是多少？

8.有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：

0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。

请问：这个数列的第1000个数除以8所得的余数是多少？

9.观察下面的数阵：

根据前五行数所表达的规律，求

（1）这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右第几个？

（2）第28行第19个数是什么？

10.观察数列，，，，，，，，，，，，，，，…，求：

（1）数列中第150项；

（2）数列中前300项的和。

拓展篇

1.如图17-2，有一个边长为81厘米的等边三角形，将它每条边三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到图17-3。由图17-3通过同样方法又得到图17-4。如果再由图17-4通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？

2.计算：

（1）；

（2）。

3.某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生产整数个乒乓球。请问：第一周的总产量至少是多少？

4.计算：。

5.计算：。

6.对于任意的两个自然数和，规定新运算“”为：。如果，求的值。

7.定义新运算为与之间（包含）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，。

（1）计算：；

（2）在算式的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？

8.1至2008这2008个自然数的所有数字之和是多少？

9.有一串数如下：1，2，4，7，11，16…。它的规律是：由1开始，依次加1，加2，加3，…，逐个产生这串数，直到第50个数为止。求第50个数除以3的余数。

10.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它相邻的两个数之和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…。请问：这列数中除以6余1的数有多少个？

11.观察数列，，，，，，，，，；，…，，的规律，问：

（1）数列中第200是什么？

（2）数列中前200的和是多少？

12.将从1开始的自然数按照如图17-5所示的规律排成数阵，数1000所在的行与列中分别有一个最小的数，求这两个数的和。

超越篇

1.求所有分母为360的最简真分数的和。

2.有一种运算“*”，满足以下条件：

①；

②；

③。（这里的“+”是通常的加号）

请计算：。

3.下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…。试问：

（1）其中第300个数被6除余几？

（2）如果数列按第组含有个数的规律分组，成为：，，，…，那么第300组内各数之和除以6的余数是多少？

4.如图17-6所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和。请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？

5.有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第三次，再次四个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第四次，再将八个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的……如此进行了100次。请问：最后圆周上的所有数之和是多少？

6.将非零自然数按照图17-7中的规律不断写出，发现有些数字被写出多次，还有些数永远不会出现。请问：99在数表中出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？

7.请写出5个不同的最简分数，分子都是2，而且这5个分数组成一个等差数列。

8.规定运算“”对任意的都满足，，试求。

第17讲　计算综合一

内容概述

了解等比数列的基本概念，学会利用错位相减的方法进行求和；灵活使用各种方法简化比较复杂的分数算式；具有一定综合性的“定义新运算”问题；较复杂的数列与数表问题。

典型问题

兴趣篇

1.计算：

（1）；

（2）。

【分析】（1）原式=1+2+4+8+16+32++128+256

2原式=2+4+8+16+32++128+256+512

2原式-原式=512-1

原式=511

（2）原式=

原式=

原式-原式=1-

原式=

原式=

2.计算：。

【分析】原式=3+32+33+34+35+36

3原式=32+33+34+35+36+37

3原式-原式=37-3

2原式=2184

原式=1092

3.计算：。

【分析】原式

4.计算：。

【分析】原式

5.计算：。

【分析】整数部分=1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100

=0+3+6+9+…+96+100

=（3+96）×32÷2+100

=1684

分数部分：三个数一组，每组的和为

则分数部分

原式=168+

=1703

6.规定新运算“*”为：。

（1）计算：；

（2）已知，求。

【分析】（1）=

（2）

7.图17-1中除了每行两端的数之外，其余每个数都是与它相连的上一行的两个数的平均数，例如：2.75是2.5和3的平均数。请问：第100行中的各数之和是多少？

【分析】经计算得，每一行都比上一行的和多1×0.5+3×0.5=2

那么，第100行比第一行的和多99×2=198

那么，第100行各数之和为1+2+3+198=204

8.有这样一列数，前两个数分别是0和1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和：

0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，…。

【分析】余数的和等于和的余数

我们找找这个数列除以8的余数的规律：

0，1，1，2，3，5，0，5，5，2，7，1，0，1，1，…

我们发现，12个数一个循环，

那么，1000÷12=83……4

所以，第1000个数除以8的余数与第4个数除以8的余数一样，即2。

请问：这个数列的第1000个数除以8所得的余数是多少？

9.观察下面的数阵：

根据前五行数所表达的规律，求

（1）这个数在由上至下的第几行？在这一行中，它是由左向右第几个？

（2）第28行第19个数是什么？

【分析】我们发现，一个分数所在行数等于这个分数分子分母的和减1，而其在这行第几个数就是这个分数分母的值。

（1）在第99行，在这一行的第67个。

（2）第28行第19个数的分母为19，分子为28+1-19=10，那么这个分数为。

10.观察数列，，，，，，，，，，，，，，，…，求：

（1）数列中第150项；

（2）数列中前300项的和。

【分析】（1）我们把这一列数分组，分母相同的放在同一组中。

那么，到第一组一共有1个数，到第二组一共有4个数，到第三组一共有9个数，所以到第几组一共就有n2个数。距150最近的平方数为144。

所以到第12组一共有144个数，那么数列中第150项为第13组第6个数，即。

（2）仍然按照（1）的方法分组，第几组中，所有数之和为。依照（1）的办法，我们找到前300项共17组，还有11个数，分别为，，…，。那么它们的和为1+2+3+…+17+

拓展篇

1.如图17-2，有一个边长为81厘米的等边三角形，将它每条边三等分，以中间那一份为边向外作等边三角形，得到图17-3。由图17-3通过同样方法又得到图17-4。如果再由图17-4通过同样方法得到一个新的图形，试问：这个新的图形的周长是多少？

【分析】经观察，每个图形周长都是上一个图形周长的。

那么新图形周长为（81×3）×××=576（厘米）

2.计算：

（1）；

（2）。

【分析】（1）设S=1+2+22+23+24+25+26+27

2S=2+22+23+24+25+26+27+28

2S-S=28-1

S=255

（2）设S=

S=

S-S=1-

S=

S=

3.某工厂生产一种新型的乒乓球，第一天生产出了若干个，接下来每天的产量恰好是前一天的1.5倍，且每天都生产整数个乒乓球。请问：第一周的总产量至少是多少？

【分析】设第一天生产n个，则第二天生产个，第三天生产个，…，第七天生产个。对于最小的整数，只有当n=26=时实现。

所以第一天生产个，第二天生产，…，第七天生产

总生产量为

（个）

4.计算：。

【分析】原式=

5.计算：。

【分析】原式

6.对于任意的两个自然数和，规定新运算“”为：。如果，求的值。

【分析】我们经过观察发现，表示连续自然数乘积，从a开始乘，一共乘b个数。

设，则，

由于15600=24×25×26，则y=24，

由于24=2×3×4，则x=2。

7.定义新运算为与之间（包含）所有与奇偶性相同的自然数的平均数，例如：，。

（1）计算：；

（2）在算式的方框中填入恰当的自然数后可使等式成立，请问：所填的数是什么？

【分析】（1）原式=（10+12+14+16+18）÷5=14

（2）

□

可得（□+59）÷2=80或（□-1+60）÷2=80

那么□为100或101。

8.1至2008这2008个自然数的所有数字之和是多少？

【分析】首先，我们计算000～999的，所有数字之和45×100+45×100+45×100=13500，其次我们计算1000～1999的所有数字之和13500+1×1000=14500。最后计算2000～2008的所有数字和2×9+1+2+…+8=54。那么，所有数字之和为13500+14500+54=28054。

9.有一串数如下：1，2，4，7，11，16…。它的规律是：由1开始，依次加1，加2，加3，…，逐个产生这串数，直到第50个数为止。求第50个数除以3的余数。

【分析】由和的余数等于余数的和可知，这列数除以3的余数为：1，2，1，1，2，1，1，2，1，…，我们发现3个数一循环。我们看看有几组50÷3=16……2。第2个数除以3余2，则第50个数除以3也余2。

10.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它相邻的两个数之和。这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，…。请问：这列数中除以6余1的数有多少个？

【分析】由余数定理可知，我们不需要将原数一个一个列出来，只需要找到余数即可。如下所示：0，1，3，2，3，1，0，5，3，4，3，5，0，1，3，2，…，可以发现，这个余数列以12个数为一个周期。每个周期中有2个余数为1。

因为70÷12=5……10，所以70个余数包含了5个完整的周期，和一周期的前10个数。那么这70个余数里总共有5×2+2=12（个）余数为1。

11.观察数列，，，，，，，，，；，…，，的规律，问：

（1）数列中第200是什么？

（2）数列中前200的和是多少？

【分析】我们把数列写成数表形式：

，

，，

，，，

…

，，…，。

（1）我们发现第n行m列表示的数为

经计算1+2+3+…+62=（1+62）×62÷2=1953<2008。那么第200是第63行的第55项。则该数为。

（2）前2008个数中，包含完整的前62行和第63行的前55个数。

第1行中数的和为；

第2行中数的和为；

…

所以前6行中所有数的和是：

第63行前55个数的和为：

所以，前2008个数的和为：。

12.将从1开始的自然数按照如图17-5所示的规律排成数阵，数1000所在的行与列中分别有一个最小的数，求这两个数的和。

【分析】我们先划分数表，如下所示：

第一个转折处的数字是1×1-0=1；

第二个转折处的数字是2×2-1=3；

第三个转折处的数字是3×3-2=7；

…

经计算，第32个转折处的数是32×32-31=993<1000，由于偶数转折点左面的数字比右边大。则1000在第32行，25列，该行最小的数字是993。该列所对应的转折点是第25个转折点，25×25-24=601，第25列是奇数列，上面的数字比下面大。所以601就是该列最小数字。所以1000所在列和行的最小值的和为993+601=1594。

超越篇

1.求所有分母为360的最简真分数的和。

【分析】先计算1～360中所有2，3，5的倍数的和，利用容斥原理可得：

这个和=[（2+4+6+…+360）+（3+6+9+…+360）+（5+10+15+…+360）]-[（6+12+18+…+360）+（10+20+30+…+360）+（15+30+45+…+360）]+（30+60+90+…+360）

=32580+21780+13140-10980-4500-6660+2340

=47700

这样的话，所求结果的分子=（1+2+3+…+360）-47700

=361×360÷2-47700

=17280

则所求为17280÷360=48。

2.有一种运算“*”，满足以下条件：

①；

②；

③。（这里的“+”是通常的加号）

请计算：。

【分析】由于2*3=5，则8*3=2*3+2*3+2*3+2*3=5×4=20

那么8*9=8*3+8*3+8*3=20×3=60

3.下面的数列是按某种规律排列的：1，3，4，7，11，18，29，47，…。试问：

（1）其中第300个数被6除余几？

（2）如果数列按第组含有个数的规律分组，成为：，，，…，那么第300组内各数之和除以6的余数是多少？

【分析】首先，我们先找到这列数被6除余数的规律：24个数一循环。

1，3，4，1，5，0，5，5，4，3，1，4，5，3，2，5，1，0，1，1，2，3，5，2，1，3，4，…

（1）300÷24=12……12，前300个数一共有12组，余12个数。

那么，第12个数除以6的余数就是第300个数除以6的余数。

（2）首先，我们先找到第299组最后一个数被6除的余数。到第299组最后一个数为止一共有1+2+3+…+299=44850个数。

44850÷24=1868……18。那么这最后一个数被6除余0。

由于300÷24=12……12，则第300组内各数之和被6除的余数为这个循环后6个数与这个循环所有数的和的12倍与这个循环前6个数的和被6除的余数。即4。

4.如图17-6所示的三角形数阵中，从第2行起，每行都是把上一行抄一遍，然后在相邻两数之间填入它们的和。请问：第999行各数之和被7除所得的余数是多少？

【分析】我们发现这个表格下一行数的和与上一行数的和的关系：设下一行为an+1，上一行为an，则有an+1=3an-2。

我们找每一行各数之和被7除余数为2，4，3，0，5，6，2，4，3，0，…，6个数一循环，而999÷6=166……3。则第999行各数之和被7除所得的余数与第3行相同，为3。

5.有一个圆，第一次用一条直径将圆周分成两个半圆周，在每个分点上标上1；第二次，再将两个半圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第三次，再次四个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的；第四次，再将八个圆周分别分成两个圆周，在新产生的分点上标上相邻两数之和的……如此进行了100次。请问：最后圆周上的所有数之和是多少？

【分析】我们经过观察，用Sn表示第n行各数之和。

则，即

由题意，求

6.将非零自然数按照图17-7中的规律不断写出，发现有些数字被写出多次，还有些数永远不会出现。请问：99在数表中出现过几次？最后一次位于哪里？最小的永不出现的数是多少？

【分析】我们经过观察分析可得，99会出现在第一行倒数第1个，第二行倒数第2个。第三行倒数第4个，第四行倒数第7个…，第十四行倒数第92个，由于每行只有99个数，则下一行将没有99。则99总共出现14次。最后一次位于第十四行第八列。

我们经过观察发现：第n行最后一个会出现在第n+1行倒数第n+1个。则当n=99时，即第99行最后一个会出现在第100行倒数第100个。而一行总共 99个数，那么该数将只出现这样一次。这个数加1将永不出现。这个数为[99+（1+2+…+99）]+1=5050，那么最小的永不出现的数为5050。

7.请写出5个不同的最简分数，分子都是2，而且这5个分数组成一个等差数列。

【分析】我们可以按照如下的方式构造：，，，，。

其中，后四个不是最简分数。

我们把后四个分数做一个变形：，，，

则m可以且仅可以和，，，约分。且m为奇数。

则k可以为4，m为3，5，7，9的倍数，m可以为[3，5，7，9]=315

这5个分数为，，，，。

8.规定运算“”对任意的都满足，，试求。

【分析】题目有问题