2013年全国初中数赛(初三组)初赛试卷及答案

（3月8日下午4：00—6：00）

班级：: 姓名： 成绩：

考生注意：

1、本试卷共五道大题，全卷满分140分；

2、用圆珠笔、签字笔或钢笔作答；

3、解题书写不要超出装订线；

4、不能使用计算器。

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

本题共有6个小题，每题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个答案，其中有且只有一个是正确的。将你选择的答案的代号填在题后的括号内。每小题选对得7分；不选、错选或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1、已知01 x -，则2x -，x ，x

1

的大小关系是（ ） A 、x

x x 12 - B 、

x x x

21

- C 、x x x 12

- D 、21x x x

- 2、如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作BP PQ ⊥，PQ 交CD 于Q ，若2==CQ AP ，则正方形ABCD 的面积为（ ）

A 、246+

B 、16

C 、2812+

D 、32

3、若实数a ，b 满足0222=+-+b a b ，则a 的取值范围是（ ） A 、1-≤a

B 、1-≥a

C 、1≤a

D 、1≥a

4、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠135B ，︒=∠120C ，6=AB ，33-=BC ，6=CD ，则AD 边的长为（ ）

A 、36

B 、34

C 、24

D 、33

5、方程

7

3

11=+y x 的正整数解（x ，y ）的组数是（ ） Q P

A

C B D

A

C

D

B

B 、1

C 、3

D 、5

6、已知实数x ，y ，z 满足1=+++++y

x z

x z y z y x ，则

y x z x z y z y x +++++222的值是（ ） A 、1- B 、0 C 、1 D 、2

二、填空题（本大题满分28分，每小题7分）

1、x 是正整数，○

x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 2、草原上的一片青草，到得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ．

3、如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC 的中点，4=AM ，3=AN ，且

︒=∠60MAN ，则AB 的长是 ．

4、小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输入（1-n ）个数，且平均值为30.75，假设这（1-n ）个数输入无误，则漏输入的一个数是 ．

三、（本大题满分20分） 解方程02|12|2=---x x

四、（本大题满分25分）

如图，圆内接四边形ABCD 中，CD CB =. 求证：AD AB CB CA ⋅=-22

M

N

A

C

D

B

五、（本大题满分25分）

已知二次函数c bx ax y ++=2和一次函数bx y -=，其中a 、b 、c 满足c b a ，

0=++c b a ．()R c b a ∈，．

（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；

A

C

D

B

（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为1A 、1B ．求线段11B A 的长的取值范围。

2013年全国初中数赛（初三组）初试解答

一、

选择题（本大题满分42分，每小题7分）

1. 已知10x ，则2x ，x ，1

x

的大小关系是（ ）

A ．21x x x

B ．21x x x

C ．2

1x

x x

D ．

21x

x x

解：由10x ，得10x ，从而2(1)0x x x x ，所以2x x ， 又211(1)(1)0x x x x x x x ，所以1x x ． 故选D ．

2. 如图，正方形ABCD ，点P 是对角线AC 上一点，连接BP ， 过P 作

PQ ⊥BP ，PQ 交CD 于Q ，若AP ＝CQ ＝2，则正方形ABCD 的面积为

A ．2

B ．16

C ．12

82

D ．32

解：如图，过P 分别作PE 、PF 、PG 垂直于AB 、CD 、AD ，垂足分别为

E 、

F 、

G ．易证Rt △EPB ≌Rt △FQP ≌Rt △FDP ，所以FQ ＝FD ＝EP ＝因此正方形ABCD 的边长为222，所以面积为2(222)1282．

故选C ．

3. 若实数a ，b 满足2

22

0b a

b

，则a 的取值范围是（ ）

A ． a ≤-1

B ．a ≥-1

C ．a ≤1

D ．a ≥

1

解：将原式看作为关于b 的一元二次方程，则其判别式

2(2)41(2)0a ， 解得a ≤-1． 故选A ．

4. 如图，

在四边形ABCD 中，∠B=135°，∠C=120°，

，

BC=33，CD=6，则AD 边的长为（

）

A ．

B ．

C

．

D ．解：过A 和D 点向BC 作垂线，垂足为M 和N ， 那么

CN=3，DN= 6MN BM BC

CN ， 所以22

2

()AD MN DN AM 48，所以AD =

故选B ．

5. 方程

11

3

7

x y

的正整数解(,)x y 的组数是（ ） A ．0

B ．1

C ．3

D ．5

解：不妨设0x y

，则

11x y

，所以32

7y ，解得4y ． 又显然3y

，即3

4y

．经验证：3,4y

y

均不符合条件．

所以，符合条件的解的组数为0组．故答案选A ．

6. 已知实数,,x y z 满足

1x y z y

z

z

x

x

y

，则

22

2

x y z y

z

z

x

x

y

的值是（ ）

A ．1

B ．0

C ．1

D ．2

解：显然0x y z

，否则3x y z y z z x x y 由已知得()()x y

z x y z x y

z y z z x x y

即

222x y z x

y z

x

y

z y z z x x y

所以

2

2

2

x y z y z

z

x

x

y

0．

故选B ．

二、 填空题（本大题满分28分,每小题7分）

1. x 是正整数，○

x 表示x 的正约数个数，则③×④÷⑥等于 ． 解：③2，④3，⑥4，所以③×④÷⑥

3

2

．故填32．

2. 草原上的一片青草，到得一样密一样快，70头牛在24天内可以吃完这片青草，30头牛

在60天内可以吃完这片青草，则20头牛吃完这片青草需要的天数是 ．

解：设草原上原有草量为a ，每天长出量为b ，并设20头牛在x 天内可以吃完这片青草． 因为一头牛一天的吃草量相等，根据题意可得方程组

24607024306020a b a b a bx

x

． 由

246070243060

a b a b

得480a

b ．

代入

60306020a b a bx x 中，得34801020x

b b x ，

解得96x ． 故填96．

3. 如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 分别是BC 、DC

的中点，AM=4，AN=3，且60MAN ，则AB 的长是 ． 解：延长AM 交DC 的延长线于F ，则△AMB ≌△FMC ．

则CF=AB ，则NF=3

2

AB ，过N 作NH 垂直AF 于H ，

则AH=

1

3

22AN ，33

2NH ，故31324

22

HF ， 233

13()()72

2

NF

．所以21433

AB

NF ． 故填

143

． 4. 小明将1，2，3，…，n 这n 个数输入电脑求其平均值，当他认为输完时，电脑上只显示输

入(1)n 个数，且平均值为30.75，假设这(1)n 个数输入无误，则漏输入的一个数

是 ． 解：依题意得12

30.75(1)

2

3

n

n n ，

所以230.7522

n n ，即59.561.5n ，所以n=60或61． 因为30.75(1)n 是整数，所以n=61． 所以漏输入的数为616230.7560462． 故填46．

三、 （本大题满分20分）

解方程2|21|20x x ．

解：当12x 时，原方程可化为2

(21)20x x ， 解得112x ，212x ． 又因为2

1122x ，故应舍去． ······················································ 10分 当12

x 时，原方程可化为2

(21)20x x ， 解得33x ，41x ． 又因为4112

x ，故应舍去． 所以原方程的解为12x

和3x ． ················································ 20分 四、 （本大题满分25分） 如图，圆内接四边形ABCD 中，CB

CD ， 求证：22CA CB AB AD ； 证明：连结BD 、AC 交于点E ，则

BAE CAD ，ABE ACD ，

所以△ABE ∽△ACD ， ····································································· 5分 所以AB

AC AE AD

， 所以AB AD AC AE ． ····································································· 10分 又CBE CAB ，BCE ACB ，

所以△CBE ∽△CAB ， ······································································ 15分 所以CB

CA CE CB

， 所以2

CB CA CE ， ·········································································· 20分 所以2

2CB AB AD CA CE CA AE CA ， 所以2

2CA CB AB AD ． ································································· 25分 五、

（本大题满分25分） 已知二次函数2y ax bx c 和一次函数y bx ，其中a 、b 、c 满足a b c ，0a b c ．(,,a b c R )．

（1）求证：两函数的图象有两个不同的交点A 、B ；

（2）过（1）中的两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足为A 1、B 1．求线段A 1B 1的长的取值范围．

（1）证明：由2y

ax bx c y bx 消去y 得220ax bx c ，

2222223444()44()4[()]24

c b ac a c ac a ac c a c ． ········ 5分 ∵0a

b c ，a b c ，

∴0a ，0c ． ∴2304

c ， ∴0，即两函数的图象有两个不同的交点． ·

······································ 10分 （2）解：设方程2

20ax bx c 的两根为1x 和2x ， 则x 1+x 22b a ，x 1x 2c a

． ································································· 15分 2

2211121212||()()4A B x x x x x x 2222224444()4()b c b ac a c ac a a a a 22134[()1]4[()]24c c c a a a ． ····························································································· 20分

∵0a

b c ，a b c ，∴0a ，0c ∴a

a c c ，解得122c a ．

∴3211||A B 1211||A B 23． ············································ 25分