高中向量题集(含答案)【强烈推荐】

一、选择题（本题有10个小题，每小题5分，共50分）

1．“两个非零向量共线”是这“两个非零向量方向相同”的（）

A．充分不必要条件B.必要不充分条件C．充要条件D.既不充分也不必要条件

2.如果向量与共线,且方向相反，则的值为（）

.　　.　　　.　　　　.

3．已知向量、的夹角为，，，若，则的值为（）

.　　.　　　.　　　　.

4．已知a=(1,－2),b=(1,x),若a⊥b,则x等于（）

A．B.C.2D.－2

5．下列各组向量中，可以作为基底的是（）

ABC．

6．已知向量a,b的夹角为，且|a|=2,|b|=5,则（2a-b）·a=（）

A．3B.9C.12D.13

7．已知点O为三角形ABC所在平面内一点，若，则点O是三角形ABC的()

A．重心B.内心C.垂心D.外心

8．设a=(2,－3),b=(x,2x),且3a·b=4,则x等于（）

A．－3B.3C.D.

9．已知∥，则x+2y的值为（）

A．0B.2C.D.－2

10．已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为（）

A．B.C.D.

二、填空题（共4个小题，每题5分，共20分）

11．在三角形ABC中，点D是AB的中点，且满足，则

12．设是两个不共线的向量，则向量b=与向量a=共线的充要条件是_______________

13．圆心为O，半径为4的圆上两弦AB与CD垂直相交于点P，若以PO为方向的单位向量为b，且|PO|=2，则=_______________

14．已知O为原点，有点A（d,0）、B（0，d），其中d>0，点P在线段AB上，且

（0≤t≤1），则的最大值为______________

三、解答题

15．（12分）设a,b是不共线的两个向量,已知若A、B、C三点共线,求k的值.

16．（12分）设向量a，b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|=3，求|3a+b|的值

17．（14分）已知|a|=，|b|=3，a与b夹角为，求使向量a+b?与a+b的夹角是锐角时，的取值范围

20．已知向量、、、及实数、满足，，

若，且.

⑴求关于的函数关系式及其定义域;

⑵若时,不等式恒成立，求实数的取值范围．

附加题（可不做）

1．已知点P分所成的比为－3，那么点分所成比为（）

A．B.C.D.

2．点（2，－1）按向量a平移后得（－2，1），它把点（－2，1）平移到（）

A．(2,－1)B.(－2,1)C.(6,－3)D.(－6,3))

高中数学高考总复习平面向量的数量积及向量的应用习题及详解

一、选择题

1．(文)(2010·东北师大附中)已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是(　　)

A．－4　　　                B．4　　　　

C．－2　　　                D．2

[答案]　A

[解析]　a在b方向上的投影为

＝＝－4.

(理)(2010·浙江绍兴调研)设a·b＝4，若a在b方向上的投影为2，且b在a方向上的投影为1，则a与b的夹角等于(　　)

A.                        B.

C.                        D.或

[答案]　B

[解析]　由条件知，＝2，＝1，a·b＝4，

∴|a|＝4，|b|＝2，

∴cos〈a，b〉＝＝＝，

∴〈a，b〉＝.

2．(文)(2010·云南省统考)设e1，e2是相互垂直的单位向量，并且向量a＝3e1＋2e2，b＝xe1＋3e2，如果a⊥b，那么实数x等于(　　)

A．－                    B.

C．－2                    D．2

[答案]　C

[解析]　由条件知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

∴a·b＝3x＋6＝0，∴x＝－2.

(理)(2010·四川广元市质检)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，2)，且m＝ta＋b，n＝a－kb(t、k∈R)，则m⊥n的充要条件是(　　)

A．t＋k＝1                    B．t－k＝1

C．t·k＝1                    D．t－k＝0

[答案]　D

[解析]　m＝ta＋b＝(2t－1，t＋2)，n＝a－kb＝(2＋k,1－2k)，∵m⊥n，∴m·n＝(2t－1)(2＋k)＋(t＋2)(1－2k)＝5t－5k＝0，∴t－k＝0.

3．(文)(2010·湖南理)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，则·等于(　　)

A．－16                    B．－8

C．8                        D．16

[答案]　D

[解析]　因为∠C＝90°，所以·＝0，所以·＝(＋)·＝||2＋·＝AC2＝16.

(理)(2010·天津文)如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，||＝1，则·＝(　　)

A．2                    B.

C.                        D.

[答案]　D

[解析]　∵＝＋＝＋，

∴·＝(＋)·＝·＋·，

又∵AB⊥AD，∴·＝0，

∴·＝·＝||·||·cos∠ADB

＝||·cos∠ADB＝·||＝.

4．(2010·湖南省湘潭市)设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝(　　)

A．150°                    B．120°

C．60°                    D．30°

[答案]　B

[解析]　∵a＋b＝c，|a|＝|b|＝|c|≠0，

∴|a＋b|2＝|c|2＝|a|2，∴|b|2＋2a·b＝0，

∴|b|2＋2|a|·|b|·cos〈a，b〉＝0，

∴cos〈a，b〉＝－，

∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴〈a，b〉＝120°.

5．(2010·四川双流县质检)已知点P在直线AB上，点O不在直线AB上，且存在实数t满足＝2t＋t，则＝(　　)

A.                        B.

C．2                        D．3

[答案]　B

[解析]　∵＝2t(－)＋t，

∴＝＋，

∵P在直线AB上，∴＋＝1，∴t＝1，

∴＝＋，

∴＝－＝－，

＝－＝－＝－2，

∴＝.

6．(文)平面上的向量、满足||2＋||2＝4，且·＝0，若向量＝＋，则||的最大值是(　　)

A.                        B．1

C．2                        D.

[答案]　D

[解析]　∵·＝0，∴⊥，又∵||2＋||2＝4，

∴|AB|＝2，且M在以AB为直径的圆上，如图建立平面直角坐标系，则点A(－1,0)，点B(1,0)，设点M(x，y)，则x2＋y2＝1，

＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，

∵＝＋＝，

∴||2＝2＋y2＝－x，

∵－1≤x≤1，∴x＝－1时，||2取得最大值为，

∴||的最大值是.

(理)(2010·山东日照)点M是边长为2的正方形ABCD内或边界上一动点，N是边BC的中点，则·的最大值为(　　)

A．8                        B．6

C．5                        D．4

[答案]　B

[解析]　建立直角坐标系如图，∵正方形ABCD边长为2，

∴A(0,0)，N(2，－1)，＝(2，－1)，设M坐标为(x，y)，＝(x，y)由坐标系可知

∵·＝2x－y，设2x－y＝z，

易知，当x＝2，y＝－2时，z取最大值6，

∴·的最大值为6，故选B.

7．如图，△ABC的外接圆的圆心为O，AB＝2，AC＝3，BC＝，则·等于(　　)

A.                        B.

C．2                        D．3

[答案]　B

[解析]　·＝·(－)＝·－·，因为OA＝OB.所以在上的投影为||，所以·＝||·||＝2，同理·＝||·||＝，故·＝－2＝.

8．(文)已知向量a、b满足|a|＝2，|b|＝3，a·(b－a)＝－1，则向量a与向量b的夹角为(　　)

A.                        B.

C.                        D.

[答案]　C

[解析]　根据向量夹角公式“cos〈a，b〉＝求解”．

由条件得a·b－a2＝－1，即a·b＝－3，设向量a，b的夹角为α，则cosα＝＝＝，所以α＝.

9.(理)(2010·黑龙江哈三中)在△ABC中，·∈，其面积S＝，则与夹角的取值范围是(　　)

A.                    B.

C.                    D.

[答案]　A

[解析]　设〈，〉＝α，∵·＝||·||cosα，S＝||·||·sin(π－α)＝||·||·sinα＝，∴||·||＝，

∴·＝＝cotα，

由条件知≤cotα≤，∴1≤cotα≤，

∵·>0，∴α为锐角，∴≤α≤.

10.(理)(2010·南昌市模考)如图，BC是单位圆A的一条直径，F是线段AB上的点，且＝2，若DE是圆A中绕圆心A运动的一条直径，则·的值是(　　)

A．－                    B．－

C．－                    D．不确定

[答案]　B

[解析]　∵＝2，∴＝，

∴||＝||＝，

·＝(＋)·(＋)

＝(＋)·(－)

＝||2－||2＝－1＝－.

二、填空题

11．(2010·苏北四市)如图，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则(＋)·(＋)＝______.

[答案]　5

[解析]　设AC与BD相交于点O，则

(＋)·(＋)

＝[(－)＋(－)]·(＋)

＝[(－)＋(－)]·(＋)

＝(＋)(＋)＝||2－||2＝5.

12．(文)(2010·江苏洪泽中学月考)已知O、A、B是平面上不共线三点，设P为线段AB垂直平分线上任意一点，若||＝7，||＝5，则·(－)的值为________．

[答案]　12

[解析]　＝＋，＝＋，

由条件知，||2＝49，||2＝25，||＝||，

∴|＋|2＝|＋|2，

即||2＋||2＋2·＝||2＋||2＋2·，∴·(－)＝－12，

∴·(－)＝12.

13.(理)(2010·广东茂名市)O是平面α上一点，A、B、C是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P满足＝＋λ(＋)，则λ＝时，·(＋)的值为______．

[答案]　0

[解析]　由已知得－＝λ(＋)，

即＝λ(＋)，

当λ＝时，得＝(＋)，

∴2＝＋，即－＝－，

∴＝，∴＋＝＋＝0，

∴·(＋)＝·0＝0，故填0.

三、解答题

16．(文)(延边州质检)如图，在四边形ABCD中，AD＝8，CD＝6，AB＝13，∠ADC＝90°且·＝50.

(1)求sin∠BAD的值；

(2)设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．

[解析]　(1)在Rt△ADC中，AD＝8，CD＝6，则AC＝10，cos∠CAD＝，sin∠CAD＝，

又∵·＝50，AB＝13，

∴cos∠BAC＝＝，

∵0<∠BAC∠180°，∴sin∠BAC＝，

∴sin∠BAD＝sin(∠BAC＋∠CAD)＝.

(2)S△BAD＝AB·ADsin∠BAD＝，

S△BAC＝AB·ACsin∠BAC＝60，S△ACD＝24，

则S△BCD＝S△ABC＋S△ACD－S△BAD＝，

∴＝.

(理)点D是三角形ABC内一点，并且满足AB2＋CD2＝AC2＋BD2，求证：AD⊥BC.

[分析]　要证明AD⊥BC，则只需要证明·＝0，可设＝m，＝c，＝b，将用m，b，c线性表示，然后通过向量的运算解决．

证明：设＝c，＝b，＝m，

则＝－＝m－c，＝－＝m－b.

∵AB2＋CD2＝AC2＋BD2，

∴c2＋(m－b)2＝b2＋(m－c)2，即

c2＋m2－2m·b＋b2＝b2＋m2－2m·c＋c2，

∴m·(c－b)＝0，即·(－)＝0，

∴·＝0，∴AD⊥BC.

17．(文)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(2)设实数t满足(－t)·＝0，求t的值．

[解析]　(1)由题设知＝(3,5)，＝(－1,1)，则＋＝(2,6)，－＝(4,4)．

所以|＋|＝2，|－|＝4.

故所求的两条对角线长分别为4，2.

(2)由题设知＝(－2，－1)，－t＝(3＋2t,5＋t)．

由(－t)·＝0得，

(3＋2t,5＋t)·(－2，－1)＝0，所以t＝－.

(理)(安徽巢湖质检)已知A(－，0)，B(，0)，动点P满足||＋||＝4.

(1)求动点P的轨迹C的方程；

(2)过点(1,0)作直线l与曲线C交于M、N两点，

求·的取值范围．

[解析]　(1)动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1；

(2)解法一：①当直线l的斜率不存在时，M(1，)，N(1，－)，·＝；

②当直线l的斜率存在时，设过(1,0)的直线l：y＝k(x－1)，代入曲线C的方程得

(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0.

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝.

·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)

＝(1＋k2)x1x2－k2(x1＋x2)＋k2

＝＝－<.

又当k＝0时，·取最小值－4，

∴－4≤·<.

根据①、②得·的取值范围为[－4，]．

解法二：当直线l为x轴时，M(－2,0)，N(2,0)，·＝－4.

当直线l不为x轴时，设过(1,0)的直线l：x＝λy＋1，代入曲线C的方程得

(4＋λ2)y2＋2λy－3＝0.

设M(x1，y1)、N(x2，y2)，则

y1＋y2＝，y1y2＝.

·＝x1x2＋y1y2＝(λ2＋1)y1y2＋λ(y1＋y2)＋1

＝＝－4＋∈(－4，]．

∴－4≤·≤.

∴·的取值范围为[－4，]．

高中数学平面向量章末复习题（二）【提高篇】

一、选择题

1、下面给出的关系式中正确的个数是（）

①②③④⑤

(A)0(B)1(C)2(D)3

2.已知ABCD为矩形，E是DC的中点，且=，＝，则＝（）

（A）+（B）－（C）＋（D）－

3．已知ABCDEF是正六边形，且＝，＝，则＝（）

（A）（B）（C）＋（D）

＝－5a－3b，

则下列关系式中正确的是（）

5.设与是不共线的非零向量，且k＋与＋k共线，则k的值是（）

（A）1（B）－1（C）（D）任意不为零的实数

6.在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足－,则等于()

A.B.C.D.

7．已知a、b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么丨a＋3b丨＝（）

    A．    B．    C．    D．4

8．已知||=4,|b|=3,与b的夹角为60°，则|+b|等于（）。

A、　　B、　　C、　　D、

9.已知向量，则()

A.B.C.D.

10.若|a-b|=,|a|=4,|b|=5，则向量a·b=（）

A.10            B.-10            C.10            D.10

11．O是ΔABC所在平面上一点，且满足条件，则点O是ΔABC的（）。

A、重心　　B、垂心　　C、内心　　D、外心

12．已知M（－2，7）、N（10，－2），点P是线段MN上的点，且＝－2，则P点的坐标为（）

（A）（－14，16）（B）（22，－11）（C）（6，1）（D）（2，4）

13．设点P（3，-6），Q（-5，2），R的纵坐标为-9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为（）

A、-9　　B、-6　　C、9　　D、6

14．已知＝（1，2），＝（－2，3），且k+与－k垂直，则k＝（）

（A）（B）（C）（D）

15．已知a＝（3,4)，b＝（5，12），则a与b夹角的余弦值为（）

A．B．C．D．

二、填空题

16、已知向量，且，则的坐标是_________________。

17、ΔABC中，A(1,2),B(3,1),重心G(3,2)，则C点坐标为________________。

18.已知|a|=3,|b|=5，如果a∥b，则a·b=。

19.在菱形ABCD中，（+）·（-）=。

20．将点A（2，4）按向量＝（－5，－2）平移后，所得到的对应点A′的坐标是______．

21.设向量a=(2,-1)，向量b与a共线且b与a同向，b的模为2，则b=

22.已知向量a+3b,a-4b分别与7a-5b,7a-2b垂直，且|a|≠0,|b|≠0，则a与b的夹角为____

23.在△ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM=2，则的最小值是.

三、解答题

＝b.

；

；

＝？

＝.

26.已知丨a丨＝3，丨b丨＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.

(1)当m为何值时，c与d垂直？

(2)当m为何值时，c与d共线？

27、已知三点A（2，3），B（5，4），C（7，10），点P满足＋（）

（1）为何值时，点P在正比例函数y＝x的图像上？

（2）若点P在第三象限，求的取值范围

参：

一、选择题

第16题：（）或（）第17题：（5，3）

第18题：15或－15第19题：0

第20题：（－3，2）第21题：（4，－2）

第22题：60°第23题：－2

三、解答题

第24题：（1）（a＋b）；（2）＝

＝（b－a）

【25题解析】

第26题：（1）m＝（2）m＝

第27题：（1）＝；（2）＜－1

第28题：存在点P（1，－2）

【28题解析】

第29题：

＝＝

＝＝＝

可得

＝＝①

＝＝＋②

①②式联立，可得＝，＝

所以，

平面向量单元复习题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．若向量a＝（x＋3，x2－3x－4）与相等，其中A（1，2），B（3，2），则x等于（）

A.1          －1       D.2

2．已知命题正确的个数是（）

①若a·b＝0，则a＝0或b＝0②（a·b）·c＝a·(b·c)③若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c④a·b＝b·a⑤若a与b不共线，则a与b的夹角为锐角

A.1     .2             D.4

3．若|a|＝|b|＝1，a⊥b，且2a＋3b与ka－4b也互相垂直，则k的值为（）

A.－6    .6          －3

4．下面几个有关向量数量积的关系式：

①0·0＝0②|a·b|≤a·b③a2＝|a|2④＝⑤(a·b)2＝a2·b2⑥(a－b)2＝a2－2a·b＋b2其中正确的个数是（A.2  B.3   C.4        D.5

5．已知a＝（x，y），b＝(－y，x)(x，y不同时为零)，则a，b之间的关系是（）

A.平行         不平行也不垂直

C.垂直         以上都不对

6．已知两点A（2，3），B（－4，5），则与共线的单位向量是（）

A.e＝（－6，2）B.e＝(－6，2)或（6，－2）

C.e＝（－，）D.e＝（－，）或（，－）

7．在△ABC中，已知||＝4，||＝1，S△ABC＝，则·等于（）

A.－2         ±2    ±4

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．若a与b、c的夹角都是60°，而b⊥c，且|a|＝|b|＝|c＝1，则（a－2c)·(b＋c)＝_____.

12．已知A（3，0），B（0，4），点P在线段AB上运动（P可以与A、B重合），O是坐标原点，则||的取值范围为_____________.

13．已知a＝（λ，2)，b＝(－3，5)且a与b的夹角是钝角，则实数λ的取值范围是_______.

14．已知＋＋＝0，||＝||＝||＝1，则，的夹角为_______.

15．等边△ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于

16．若对n个向量a1，a2，…，an，存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1a1＋k2a2＋…＋knan＝0成立，则称向量a1，a2，…，an“线性相关”，请写出使得a1＝(1，0)，a2＝(1，－1)，a3＝(2，2)“线性相关”的一组实数k1，k2，k3的值，即k1＝_________，k2＝___________，k3＝_____________.(答案不唯一）

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：

（1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.

18．（本小题满分14分）已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量.

19．(本小题满分14分）设a＝（cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb(t∈R)

求（1）a·b；（2）u的模的最小值.

20．(本小题满分15分）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＝＋t

求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.

21．(本小题满分15分）已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值.

平面向量单元复习题（二）答案

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．C8．B9．C10．A

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

11．－112．［，4］13．(，+∞)14．120°15．－16．4－2－1

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

17．（本小题满分12分）已知a和b的夹角为60°，|a|＝10，|b|＝8，求：

（1）|a＋b|；（2）a＋b与a的夹角θ的余弦值.

【解】（1）|a＋b|＝＝

＝＝＝2

(2)cosθ＝＝＝.

18．（本小题满分14分）已知△ABC中，A（2，－1），B（3，2），C（－3，－1），BC边上的高为AD，求点D和向量.

【解】设D（x0，y0)，则＝（x0－2，y0＋1)，＝(－6，－3)，＝(x0－3，y0－2)

∵，∴

解得，，∴D(1，1)，＝(－1，2)

20．(本小题满）已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5）及＝＋t

求：（1）t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限？

(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，

【解】（1）∵＝（1，2），＝（4，5）－（1，2）＝（3，3）

∴＝＋t＝(1，2)＋t(3，3)＝(1＋3t，2＋3t)

当P在x轴上时，有2＋3t＝0，即t＝－

当P在y轴上时，有1＋3t＝0，即t＝－

当P在第二象限时，有，即－＜t＜－

（2）∵＝(1＋3t，2＋3t)，＝（3，3）.

假如四边形OABP能为平行四边形，则有＝，即(1＋3t，2＋3t)＝(3

∴有，该方程组无解，

∴假设不成立，∴四边形不能成为平行四边形.

21．已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，c＝xa＋yb，且a⊥c，|c|＝1，求x和y的值.

【解】设c＝(c1，c2)，∵a⊥c，a＝(3，4)∴3c1＋4c2＝0，c2＝－c1

∴c(c1，－c1)，又∵|c|＝1∴c12＋(－c1)2＝1c1＝±

∴或，∴c(，－)或c(－，)

又已知c＝xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)

∴或，解得：∴或