2010年高考数学试卷_全国卷II(理科)

2010年普通高等学校招生全国统一考试试题卷

理科数学

第Ⅰ卷（选择题）

一．选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分）

（1）复数=

（A）－3－4i            （B）－3 + 4i        （C）3－4i            （D）3 + 4i

（2）函数y =  (x > 1)的反函数是

（A）y =    －1    (x > 0)                    （B）y =    (x > 0)

（C）y =    －1    (x∈R )                    （D）y =    (x∈R )

（3）若变量x , y满足约束条件，则z = 2x +y的最大值为

（A）1                （B）2                 （C）3                （D）4

（4）等差数列{an}中，a3 + a4 + a5 =12，则a1 + a2 +…+ a7 =

（A）14                （B）21             （C）28                （D）35

（5）不等式> 0的解集为

（A）{ x | x <－2 , 或x >3}                    （B）{ x | x <－2 ,或1（C）{ x |－2 3}                （D）{ x |－2 （6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入三个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有

（A）12种            （B）18种            （C）36种            （D）54种

（7）为了得到函数y = sin(2x－)的图像，只需把y = sin(2x +)的图像

（A）向左平移个长度单位                （B）向右平移个长度单位

（C）向左平移个长度单位                （D）向右平移个长度单位

（8）△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若= a， = b，|a| = 1，|b| = 2，则=

（A）a +b        （B）a +b         （C）a +b        （D）a +b

（9）已知正四棱锥S－ABCD中，SA = 2，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为

（A）1                （B）            （C）2                （D）3

（10）若曲线y =在点(a ,)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，则a =

（A）                （B）32             （C）16                （D）8

（11）与正方体ABCD－A1B1C1D1的三条棱AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个                        （B）有且只有2个

（C）有且只有3个                        （D）有无数个

（12）已知椭圆C： = 1（a >b > 0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A、B两点，若= 3，则k =

（A）1                （B）            （C）                （D）2

二．填空题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

（13）已知α是第二象限的角，tan(π+2α) =－，则tanα =          

（14）若(x－) 9的展开式中x3的系数是－84，则a =          

（15）已知抛物线C：y 2 = 2px（p > 0）的准线为l，过M(1 , 0)且斜率为的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若= 3，则p =         

（16）已知球O的半径为4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共弦，AB = 4，若OM = ON = 3，则两圆圆心的距离MN =          

三．解答题（本题共6个小题，共70分）

（17）（本小题满分10分）

△ABC中，D为边BC上的一点，BD = 33，sinB =，cos∠ADC =，求AD .

（18）（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和Sn = (n2 + n)·3n

（Ⅰ）求                            （Ⅱ）证明： ++…+> 3n

（19）（本小题满分12分）

如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC = BC，AA1 = AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一点，AE = 3EB1.

（Ⅰ）证明DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（Ⅱ）设异面直线AB1与CD的夹角为45 o，求二面角A1－AC1－B1的大小.

（20）（本小题满分12分）

如图，由M到N的电路中，有四个电子元件，分别标为T1，T2、T3，T4，电流能通过T1，T2、T3的概率都是p，电流通过T4的概率是0.9，电流能否通过各元件相互，已知T1，T2、T3中至少有一个能通过电流的概率为0.999 .

（Ⅰ）求p；

（Ⅱ）求电流能在M、N之间通过的概率；

（Ⅲ）ξ 表示T1，T2、T3，T4中能通过电流的元件个数，求ξ的期望.

（21）（本小题满分12分）

已知斜率为1的直线l与双曲线C： = 1（a > 0，b > 0）相交于B、D两点，且BD的中点为M(1 , 3).

（Ⅰ）求C的离心率；

（Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，|DF|·|BF| = 17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切.

（22）（本小题满分12分）

设函数f (x) = 1－

（Ⅰ）证明：当x >－1时，f (x) ≥；

（Ⅱ）设当x ≥0时，f (x) ≤，求a的取值范围.