关于行列式的计算方法

学士学位论文

关于行列式的计算方法

学生姓名：   玛依努尔·麦麦提       

学    号：   20040101126            

系    部：   数学系                 

专    业：   数学与应用数学         

年    级：   04-1班                 

指导老师：   哈帕尔·如斯台木       

完成日期    2009  年    5  月  13  日

摘要

归纳了行列式的各种计算方法，并举例说明了它们的应用，同时根据行列式的特点选择适当的方法进行计算。

   关键词：行列式；三角行列式；列；行。

目录

摘要    1

目录    2

引言    3

1.定义法    3

2.化三角形法    4

3.逐行（列）相减法    5

4.升降法（加边法）    6

5.利用范德蒙德行列式    7

6.递推法    8

7.学归纳法    9

8.拆相法    11

9.换元方法    12

10．拆因法    13

总结    14

参考文献    15

致谢    16

                         引言

线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。而学习行列式的过程中，对行列式的计算技巧往往较难掌握。在本文里，除了归纳基本计算方法外，还介绍了几个技巧性较强的方法。主要有以下几种：

1.定义法

由定义看出，级行列式有个项。较大时，是一个很大的数字。直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。但在级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。

例1.算上三角行列式

 解：展开式的一般项为   

因为行列式中第行除外全为零，故只能。在考察第行，由于不能取，所以只能取，即。同理可知，。于是展开式中除外，其余的项均为零。显然这一项取正号，于是

同样，可以计算下三角行列式的值。

2.化三角形法

画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。

例2.计算

解：各行加到第一行中

把第二列到第列都分别加上第一列的倍，有

3.逐行（列）相减法

有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。

例3.计算级行列式

解：从第二行起，每一行的倍都加上上一行，有

上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素，且最后一行有元素都是。因此可再用两列逐列相减的方法：第列起，每一列的倍加到后一列上

小结：对于本题所作第一次变换——逐行相减——的结果，第二次是作了逐列相减的变换。这样得出的行列式，再按第一列展开后，成了两个阶的特殊行列式，体会其中的区别，并分析为何第二次作逐列相减更好一些。

4.升降法（加边法）

升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的阶成为阶，且往往让阶行列式的值与原阶行列式的值相等。一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。

例4.计算级行列式

解：      

5.利用范德蒙德行列式

例5. 计算级行列式

解：这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范德蒙行列式。

的第行依次与行，行行,行对换，再将所得到的行列式的第行，依次与行，行行对换。如此继续下去，直到最后将第行与行对换，这样经过次对换后，得到

这是一个范德蒙行列式。于是有

范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。

6.递推法

这种方法是计算阶行列式较有用的一种方法。首先利用行列式性质把给定的阶行列式用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。然后从递推关系式出发求出的一般表示式。

例6. 计算级行列式

解：本题第一列只有两个非零元素，且的余子式恰为。因此我们有可能找出递推关系式。按第一列展开得    

故

这就是本题行列式的一个递推关系式，往减少方向递推有

故有

7.学归纳法

计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就用数学归纳法。数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证时用的方法。

例7．试证阶行列式

证明：用归纳法步骤

验证：当时，

左

右左右

注意，当本题行列式为阶时，应取右下角的阶——与有关的行列式，而不能取左上角的。

设当阶时，结论成立。

则将用第一列展开，有

右

8.拆相法

由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值。此法称为拆行（列）法。

例8.  

对于上面的第一行列式，将第列乘加到其余各列上，对第二个行列式按第列展开，最后可得：

这样我们得一个递推公式： 

如果将第一列对按类此方法拆项，又可得到另一递推公式： 

取立上述两递推公式

当时， 

当时， 

9.换元方法

这种方法利用行列式的这样一条性质：

设

则

例9.计算阶行列式

解：          

10．拆因法

如果行列式中有一些元素是的多项式，那么可以将行列式当作一个多项式，然后对行列式施行某些变换，求出的互素的一次因式，使得与这些因式的乘积只相差一个常数因子，根据多项式相等的定义，比较与的某一项的系数，求出的值，便可求得

例10.计算

解：已知行列式是的次多项式，利用行列式的性质我们把次多项式分解成的一次因式的乘积。

当时，的第一列和第二列的对应元素成比例，所以。显然是的一个因式。

当时，的第一列和第三列的对应元素成比例，所以。显然是的一个因式。

同法得出是的因式。因为和

为互素，所以，但的展开式中的最高项的系数是，因此

总结

以上我们介绍了计算行列式的10种方法。在具体计算时，要根据行列式构造上的特点，利用行列式的性质，选用适当的方法来计算。这就需要我们熟悉个类型行列式的构造上的特点及善于不断的归纳总结。

值得一提的是，有时同一行列式有许多不同的计算方法。虽然方法很多，但不难掌握。

参考文献

[1]牛少彰 刘吉估 线性代数学习指导与例题分析[M] 北京邮电大学出版社 2003年9月第一版

[2]刘学生 线性代数全程学习指导[M] 同济大学 第四版

[3]王朝瑞 线性代数学习指导[M] 北京理工大学出版社 1999年9月第一版

[4]王萼芳 石生明 高等代数[M] 高等出版社 第三版

[5]俞正光 何坚勇 大学数学学习指导系列[M] 科学出版社 2003年5月第一版

[6]哈帕尔.如斯台木 行列式的计算方法[J] 喀什师范学院学报 2006年6月

[7]张禾瑞 高等代数[M] 高等代数出版社 第五版

致谢

本论文是在哈帕尔老师的悉心指导下完成的，在这几个月的毕业论文学习期间，哈帕尔老师认真负责的工作态度以及其严谨治学的科研精神时时鼓舞和鞭策我完成我的学士论文，在此我对我的指导老师表示衷心的感谢有由衷的敬意！

同时，我要感谢我们学院给我们授课的各位老师，正是由于他们的传道、授业、解惑，让我学到了专业知识，并从他们身上学到了如何求知治学、如何为人处事。我也要感谢我的母校喀什师范学院，是她提供了良好的学习环境和生活环境，让我的大学生活丰富多姿，为我的人生留下精彩的一笔。

    另外，衷心感谢我的同窗同学们，在我毕业论文写作中，与他们的探讨交流使我受益颇多；同时，他们也给了我很多无私的帮助和支持，我再次深表谢意。

学无止境。明天，将是我终身学习另一天的开始。

在此谨向帮助过我的所有老师和同学表示诚挚的感谢！

此致

敬礼

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　玛依努尔·麦麦提

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2009年5月13日