2021-2022学年上海市徐汇区九年级上学期期末数学试卷(一模)(含答案解析)

一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）

1. 将抛物线向下平移个单位，得到的新抛物线的顶点坐标是

A.  B.  C.  D. 

2. 两块等腰直角三角形纸片和按图所示放置，直角顶点重合在点处，，保持纸片不动，将纸片绕点逆时针旋转，如图所示．当与在同一直线上如图时，的值等于

A.  B.  C.  D. 

3. 已知二次函数图象的顶点在第一象限，且图象经过点，若为整数，则的值为

A.  B.  C.  D. 

4. 有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为米，下底长为米，高为米，那么此拦水坝斜坡的坡度和坡角分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

5. 下列说法中不一定正确的是

A. 所有的等腰直角三角形都相似

B. 所有等边三角形相似

C. 所有矩形相似

D. 直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似

6. 已知，是一次函数的图象上的两个点，则、的大小关系是

A.  B.  C.  D. 不能确定

二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）

7. 已知，则______．

8.如图，，直线、与、、分别相交于点、、和点、、若，，，则的长为______．

10. 直线与抛物线在范围内有唯一公共点，则的取值为______．

11.如图，在矩形中，，直线交直线于点，交直线于，且则圆心在直线上，且与直线、都相切的的半径长为______ ．

13.如图，小明同学在距离某建筑物米的点处测得条幅两端点、点的仰角分别为和，则条幅的高度为______米结果可以保留根号．

15. 如图，已知中，弦、相交于点，，，，则            ．

17. 小明将一张正方形纸片按如图所示顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时机翼间无缝隙，的度数是______．

18.如图，直线，则______填“““”或“”

19. 如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边点处点、、在同一直线上某测量员从悬崖底点出发沿水平方向前行米到点，再沿斜坡方向前行米到点点、、、、在同一平面内，在点处测得信号塔顶端的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度：．

求斜坡的高的长；

求信号塔的高度．

参考数据：，，

四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

20. 计算：．

21. 如图，是的直径，是上一点，垂直于过点的切线，垂足为．

求证：平分；

若，，求的直径．

22. 已知抛物线．

求该抛物线的顶点坐标；

判断点是否落在图象上，请说明理由．

23. 已知：以为圆心的扇形中，，点为上一动点，射线交射线于点，过点作的垂线交射线于点，联结．

如图，当四边形为矩形时，求的度数；

当扇形的半径长为，且时，求线段的长；

联结，试问：在点运动的过程中，的大小是否确定？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．

24.    如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．

求抛物线的解析式；

连接，求直线的解析式；

请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；

点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

25.    如图，在四边形中，被对角线平分，且，我们称该四边形为“可分四边形”，称为“可分角”．

如图，若四边形为“可分四边形”，为“可分角”，且，则______

如图，在四边形中，，平分，且，求证：四边形为“可分四边形”；

现有四边形为“可分四边形”，为“可分角”，且，，，求的长？

参及解析

1.答案：

解析：解：抛物线的顶点坐标为，

向下平移个单位，

平移后的抛物线的顶点坐标为．

故选：．

先求出抛物线的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加求出平移后的抛物线的顶点坐标即可．

本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

2.答案：

解析：解：如图中，延长交于，交于．

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，

如图中，设，

、在同一直线上，，

是直角三角形，

，

，

解得，

，

，，

，

．

故选：．

如图中，延长交于，交于，只要证明≌即可解决问题．如图中，设，在中，利用勾股定理求出，再根据三角函数的定义即可解决问题．

本题考查旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．

3.答案：

解析：解：依题意知，，，

故，且，，

于是，

又为整数，

，

故，，，

故选：．

首先根据题意确定、的符号，然后进一步确定的取值范围，根据为整数确定、的值，从而确定答案．

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据图象经过的点确定的值和、的符号，难度中等．

4.答案：

解析：

本题是解直角三角形的实际应用，是各地中考的热点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．

过作于点，过作于点，根据直角三角形的性质求出的长，便可求出拦水坝斜坡的坡度和坡角．

解：过作于点，过作于点，

已知，，

又，

，

．

故选C．  

5.答案：

解析：解：、所有的等腰直角三角形都相似，一定正确，不符合题意；

B、所有等边三角形相似，正确，不符合题意；

C、所有矩形不一定相似，错误，符合题意；

D、直角三角形被斜边上的高分成两个三角形相似，正确，不符合题意．

故选C．

根据相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．

本题考查了相似图形的定义，对应角相等、对应边的比相等的多边形相似，难度不大．

6.答案：

解析：解：，是一次函数的图象上的两个点，

，，

，

．

故选：．

把这两个点分别代入函数解析式即可求得相应的值，然后比较大小即可．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时把点、的坐标代入，分别求得值，然后比较其大小．当然了，利用了一次函数图象的增减性解题．

7.答案：

解析：解：，

．

故答案为．

交换内项即可．

本题考查了比例的性质：熟练掌握内项之积等于外项之积，合比性质，分比性质，合分比性质，等比性质．

8.答案：

解析：解：，

，即，

，

．

故答案为．

根据平行线分线段成比例定理得到，则可求出的长，然后计算即可．

本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

9.答案：

解析：解：点是线段的黄金分割点，，

厘米．

故答案为：．

根据黄金比是进行计算即可．

本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值叫做黄金比．

10.答案：或

解析：解：联立．

得：，

即，，

可以看成是联立而成的两个函数，

，

当时，此函数必过定点，

即过，的直线与过，的直线间的范围就是满足条件的直线运动的位置，如图，

将代入得，

解得，，

将代入得，，

解得，，

当时，直线直线与抛物线在内有两个交点，

，

，当时，直线为，抛物线为，此时，在范围内有唯一公共点，故答案为：或．

联立方程组得到，看成是联立而成的两个函数，画出函数图象，运用数形结合法求解即可．

主要考查了二次函数综合应用，通过对直线、抛物线解析式的求解，及直线与抛物线的位置关系，可以提高学生的综合压轴题的水平．

11.答案：或

解析：解：，

∽，

，

，，

如图，若与直线、都相切，且圆心在的左侧，过点作于，

则可设，

，

，

解得：，

若与直线、都相切，且圆心在的右侧，过点作于，

则可设，

，

，

解得：，

即满足条件的圆的半径为或；

故答案为：或．

分两种情况讨论：若与直线、都相切，且圆心在的左侧，过点作于，若与直线、都相切，且圆心在的右侧，过点作于，求出即可．

此题主要考查了圆的综合应用以及切线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．

12.答案：

解析：解：设运动员下降的垂直高度为米，

斜坡的坡比为：，

他水平前进了米，

由勾股定理可得：，

，

，

即运动员下降的垂直高度米，

故答案为：．

根据坡度的概念、勾股定理列式计算即可．

本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．

13.答案：

解析：解：在中，

，

，

．

，，

，

．

答：条幅的高度为米．

故答案为．

在中，利用三角函数关系求出，再根据已知得出，从而求出的长度．

本题考查了解直角三角形的应用，利用已知角度，发现隐含条件，这是本部分重点题型．

14.答案：

解析：解：作于点．

在直角中，，

，

则．

故答案是：．

作于点，在直角中，利用三角函数即可求得的长，然后利用三角形的面积公式即可求解．

本题考查了三角函数，正确作出辅助线，求得高线的长是关键．

15.答案：

解析：试题分析：利用“角角相等”证得∽；然后根据相似三角形的对应边成比例列出比例式；最后将已知线段的长度代入该比例式即可求得线段的长度．

同弧所对的圆周角相等，对顶角相等，

∽，

，

又，，，

，

解得，即．

故答案是：．

16.答案：

解析：解：，为边上的中线，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

故答案为：．

根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，，根据余角的性质得到，根据三角函数的定义即可得到结论．

本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边上的中线定义斜边的一半，余角的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．

17.答案：

解析：解：在折叠过程中角一直是轴对称的折叠，

；

故答案为；

根据折叠的轴对称性，的角对折次，求出每次的角度即可；

本题考查轴对称的性质；能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．

18.答案：

解析：解：直线，

直线、之间的距离是相等的，

和的边上的高相等，

和的面积相等，

故答案为：．

根据平行线间的距离处处相等，得到和的边上的高相等，所以和的面积相等．

此题主要考查了平行线的性质和三角形面积公式，掌握夹在平行线间的距离处处相等是解题的关键．

19.答案：解：过点作于点，

斜坡的坡度或坡比：，米，米，

设，则．

在中，

，即，

解得，米负值舍去，

米；

答：斜坡的高的长为米；

米，

米．

，，，

四边形是矩形，

米，米．

在中，

，

米，

米．

米．

答：信号塔的高度为米．

解析：过点作交的延长线于点，根据斜坡的坡度或坡比：可设，则，利用勾股定理求出的值，进而可得出；

结合得的长，故可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，故可得出，，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案．

本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

20.答案：解：原式 

．

解析：直接把各特殊角的三角函数值代入进行计算即可．

本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

21.答案：证明：如图，连接，

切于，

，

，

，

，

，

，

，即平分．

解：连接，

是直径，

，

，

∽，

，

在中，，，

，

，

．

解析：本题考查了切线的性质、角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，属于中档题，作出相应辅助线是解题的关键．

连接，根据切线的性质判断出，得到，再根据得到，可得平分；

连接，得到∽，根据相似三角形的性质即可求出的长．

22.答案：解：抛物线，

该抛物线的顶点坐标是；

点不落在图象上，

理由：当时，

，

点不落在图象上．

解析：将抛物线的解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标；

先判断点是否落在图象上，然后将代入函数解析式，求出相应的函数值，即可解答本题．

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

23.答案：解：如图中，

四边形是矩形，

，，，

，

是等边三角形，

，

．

如图中，作于．

，，

，

，，

∽，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

如图中，结论：的值是确定的．．

理由：连接、．

，

又，，

．

解析：

本题考查圆综合题、矩形的性质、圆周角定理、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题

利用矩形的性质，只要证明是等边三角形，即可解决问题．

如图中，作于由∽，推出，推出，可得，，由，可得，求出即可．

如图中，结论：的值是确定的．连接、，由，又，，即可推出．

24.答案：解：把，代入，得到，

解得，

．

设的解析式为，

，，

，

，

直线的解析式为．

如图中，

由题意，关于抛物线的对称轴直线对称，

连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长，

此时

如图中，存在．

观察图象可知，满足条件的点的纵坐标为或，

对于抛物线，当时，，解得或，

．

当时，，解得，

，，

综上所述，满足条件的点的坐标为或或．

解析：利用待定系数法解决问题即可．

设的解析式为把，两点坐标代入，转化为方程组解决．

可以连接交直线于点，连接，此时的值最小，最小值为线段的长．

观察图象可知，满足条件的点的纵坐标为或，把问题转化为解方程求解即可．

本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会把问题转化为方程解决．

25.答案：

解析：解：如图所示：

平分，

，

，

：：，

∽，

，

，

，

，

，

解得：，

；

故答案为：；

证明：，平分，

，

，

，

，

∽．

：：，

，

四边形为“可分四边形”；

解：四边形为“可分四边形”，为“可分角”，

，，

：：，

∽，

，

，

．

由已知条件可证得∽，得出，再由已知条件和三角形内角和定理得出，求出，即可得出的度数；

由已知得出，由三角形内角和定理得出，由，得出，证明∽得出对应边成比例，得出，即可得出结论；

由已知得出，，证出∽，得出，由勾股定理求出，即可得出的长．

此题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、新定义四边形等知识；熟练掌握新定义四边形，证明三角形相似是解决问题的关键，