极限的概念教学设计

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来源：《现代职业教育·高职高专》2017年第01期

        [摘 要] 作为高等数学的运算工具之一，极限概念非常重要。极限不仅是许多数学概念的基础，而且对于了解微积分思想精髓和发展高等数学思维也发挥着重要作用。在概念教学和演绎证明原则下对极限进行了教学设计：通过直观的方式和严格的演绎证明帮助学生熟悉、理解定义并学会运用形式化的语言描述定义，进一步解决了学生对抽象的语言难以理解的难题。

        [关 键 词] 极限；概念教学；演绎证明

        [中图分类号] G2 [文献标志码] A [文章编号] 2096-0603（2017）01-0166-02

        一、引言

        极限的教学困难主要缘于其丰富的概念表述、多样且复杂的记号及学生的种种认知冲突。大一学生对极限的抽象语言描述难以理解，尤其是ε任意性，N与ε的关系。另外，个别学生在高中极限知识的基础上擅长极限的运算，但对于极限的定义、极限的证明并没有真正掌握。

        基于极限概念具有的历史相似性，本文的教学手段和教学方式，采用的是借鉴极限发展史并以最直观方式展示极限，进而帮助学生理解透彻极限定义。而在利用极限定义证明数学任务时，学生不断反思概念从而实现了从本质上理解极限概念的目的。

        二、极限的“概念教学”

        （一）借用图像分辨率、像素例子直观地引出极限

        分辨率与极限

        简单地说，一幅图像分成100个小格子时，画面清晰度不高，分成1000个格子后会逐渐变得清晰。即随着分成格子数量增加，图像会越来越向真实的图像逼近，如上图所示。这个例子非常接近极限的概念表述：ε取到足够小的正数时，眼睛是分辨不出来的，如果再提高精度，要提高ε，就要把格子割小。这个格子数就类似于概念中的正整数N，而图像变得越来越清晰，则类似于数列趋向某一固定值（极限值）。借助此例，学生会从直观上更好地理解概念描述中“越来越接近”和“ε与N”之间的关系。

        （二）引用经典事例，用描述性的语言和数值、图像等多种表象介绍极限概念

        例如，古代数学家刘徽割圆术利用的即为极限的思想——通过求解圆内接正多边形的面积近似替代圆面积。除此之外，庄子的关于“截丈问题”的一段名言，“一尺之棰，日截其半，万世不竭”，也体现了极限的思想。极限概念最关键的是如何用严格的数学语言描述an与a无限接近，即两者之间的距离越来越小。刻画距离可以用绝对值，无限接近怎么表示？首先用具体的数字列举，如0.1，0.01，0.001，虽然这些数字可以表示距离很小，但是总有比之更小的数字无法一一描述出来，故能列举出来任意小的数字也不能表示无限接近的含义。因此定义中用ε来代替任意小的正数。n趋向于无穷大时实现了an与a无限接近的过程。如果一个数列的极限是a，则对任意小的ε，都能找到一个N，使得N后面的项距离都小于ε，如ε取0.1可能是10项以后满足，ε取0.01可能是100项以后满足……（可结合数轴演示过程）。如果求出的n是4.5，则取N=4，那么第4项后面的所有项的值都会落在区间（a-ε，a+ε）。再比如，函数极限的具体概念中，可以通过不同的表征方式描述求极限■（x+1），■■的过程，并分析异同点。

        （三）介绍ε-N语言的由来以及引入该语言的意义

        下面给出具体的教学过程：

        问题1：怎样用严格的数学语言刻画无限接近？

        200多年前，数学家首次提出了ε-N语言，采用严苛的数学符号用来表示极限过程。给出一个数学符号ε来表示任意小的数；而对于an和a的距离，我们可以用绝对值即an-a的绝对值（学生讨论）。an无限地接近于a怎么表示，也就是怎么说明这个距离无限小，可结合上述分析共同描述，怎么描述无限小？（引导学生思考）学生会很快回答：两者距离比任意小的正数都小就表示无限小。就是对任意小的正数ε，都有an-a的绝对值小于ε，那么就无限接近了。

        问题2：极限要求满足什么过程下的无限接近？从第一项开始无限接近，还是其中某一项都可以？

        数列任意项的下标n是正的，并且考虑n无限增大，n到正无穷表示无限增大的过程。n趋向于正无穷，什么意思呢？对于a和任意小的一个正数ε，旁边有个邻域，如果对于任意小ε的都能找到一个N，使得n>N时，就是在N右边这些项都落在这个小区间里，就表示无限接近。而且无论此区间多小，都能找到一个界，使得后面的项都落在这个区间里，这就是无限接近的概念。

        课堂中询问引入ε-N语言的意义和作用时，学生往往回答的是此语言具有简洁、通用、严谨等优点。

        下面通过极限的发展史来向学生讲述ε-N语言带来的巨大进步。首先通过介绍历史上的第二次数学危机——无穷小危机，柯西和威尔斯特拉斯指出了在数学发展中引入ε-N的必要性[1]。接着教师可以说明：“现代的高等数学对极限的ε-N语言产生了更新的认识，此语言用逻辑判断这一静态过程替换原来难以描述的无限动态过程。用一个希腊字母ε替代任意小的数，解决了不能列举所有数字的难题，用不等式n>N代替无穷步。”

        三、极限的“证明构造”

        极限教学要求学生要从单纯意义上了解概念及其逻辑过程，上升到明白如何进行以及为什么那么进行，即需要真正意义上的演绎证明[2]。下面用数列极限证明这一教学任务来探讨并引导学生学会如何用定义构造证明。

        数列极限的严格定义：设xn为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε，不论它多么小，总存在正整数N，使得当n>N成立时，不等式xn-a

        上述定义并没有讲述极限的运算方法，但是我们可以利用该定义证明一个数列的极限。本教学环节可以采用问题引入教学内容，循序渐进的教学模式。教师可以提出下面3个问题：

        第一个问题：观察概念，找出证明数列极限存在与否的关键点。

        我们必须紧紧抓住利用“定义构造证明”这一大前提，即从定义中挖掘证明的关键点。数列极限概念中，正整数N是否可以找到成为该数列极限是否存在的核心，即上述极限概念中“总能找到正整数N”是证明的关键，因此对无论多小的正数ε，“找到满足条件的正整数N”才算证明该数列极限存在。实际上，该问题帮助学生思考并初步构建该证明的大体结构框架，这是数列极限证明中的首要环节。

        第二个问题：如何找到概念中关键的正整数N？

        基于问题1，学生已经清楚大致的证明思路，此时教师可以提示“寻找N也要根据定义”。分析定义，我们可知关于ε可以任意变小，其描述了an-a的无限接近程度；关于N，依赖于ε，即通常根据给定的ε找N，有时可记作N（ε）。我们确定某一数列的极限是存在的，就是基于不论给定的ε多么小，总能求出相应的N这一重要条件。虽然清楚N依赖于ε，但并不是ε的某个函数，到底如何确定呢？在这样的引导下，学生就非常想知道找到N的具体方法和步骤，此时教师便可顺水推舟，提出“倒推分析法”，即结构性的层次分析过程[4]。

        （I）直接法：？坌ε>0，由xn-aK（ε），则取正整数N=[K（ε）]，则当n>N时，xn-a

        （II）间接法：？坌ε>0，由xn-aK（ε），则可设法先将xn-a适当放大，即xn-aK（ε）取正整数N=[K（ε）]即可。

        上述间接法中“适当放大”主要包含两点：第一，相关不等式放大后保证能够较易求出K（ε）；第二，放大后的φ（n）极限必须为0。

        通过上述分析可以发现，该过程涉及较多量词，会帮助学生达到对概念更深层次的理解。另外，根据定义可知正整数N不是唯一的，它主要刻画数列是否有趋向性。基于N的多值性[5]，证明过程中我们没有必要一定要找到满足不等式的最小N取值，不等式放大后找到更大的N同样可以。但是前提条件是保证能找到N，也就是必须保证其存在。

        第三个问题：证明格式如何书写？

        规范的书写格式对学生理解概念非常重要。学生初次接触形式化的极限定义，本身就对极限的本质理解不透彻，更别说应用这个形式化定决极限证明问题。所以，在定义证明教学的最初阶段教师要给学生提供一个相对固定的格式，如下面的两个证明格式：

        书写格式1：？坌ε>0，由xn-1=■-1=■■所以？坌ε>0，取N=■，则当n>N时，就有■-1

        书写格式2：？坌ε>0，由xn-0=■-0=■■-1，所以？坌ε>0（εN时，就有■-0

        在演绎证明教学中，不是直接告诉学生如何用极限概念来证明，而是引导学生自主通过回忆、反思极限概念找到证明的思路，构建定义证明思路框架。证明过程也不是简单进行书写，而是在学生理解概念的基础上达到从单一的线性化证明模式向结构层次化分析的转化[2]。

        四、结束语

        对于极限定义中的逻辑关系，学生比较容易理解，但关于“任意小”“总存在”等思想并不理解，并且对于概念中记号的数学含义并不清楚，而恰恰是定义中ε的“任意性”刻画了“无限接近”的思想，“正整数”N体现了“无限接近的过程性”。在教学中，必须首先把概念讲清楚，尤其是极限概念，本身就比较独特，如果教师没有琢磨透彻，学生也很难理解概念中的动态关系。对于极限概念，教师当然可以选择通过较多例子来加强学生对于这个概念的熟悉感，但最重要的是教师发挥引导作用，无需过多解释，留有适当空间让学生自己去领悟。

        参考文献：

        [1]高雪芬.一元微积分概念教学的设计研究[D].华东师范大学，2013.

        [2]曹荣荣.理工科大一学生高等数学思维的研究[D].华东师范大学，2011.

        [3]同济大学数学系.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2007.

        [4]李岚.高等数学教学改革研究进展[J].大学教学，2007，23（4）：20-26.

        [5]Boyer C.B.A history of Mathematics[M].princeton，NJ：Princeton Uni- versity press，2010.