(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》测试卷(答案解析)(1)

1．在正四棱锥中，，点，分别在棱，上运动，当达到最小值时，的值为（    ）

A．    B．    C．    D．

2．正方体棱长为6，点在棱上，满足，过点的直线与直线、分别交于、两点，则（    ）

A．    B．    C．18    D．21

3．在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD是平四边形，设，，，则可表示为（    ）

A．    B．2    C．    D．2

4．定义向量的外积：叫做向量与的外积，它是一个向量，满足下列两个条件：

（1），，且，和构成右手系（即三个向量两两垂直，且三个向量的方向依次与拇指、食指、中指的指向一致）；

（2）的模（表示向量、的夹角）；

如图，在正方体，有以下四个结论：

①与方向相反；

②；

③与正方体表面积的数值相等；

④与正方体体积的数值相等.

这四个结论中，正确的结论有（    ）个

A．4    B．3    C．2    D．1

5．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①，②CF与EN所成的角为,③//MN ，④二面角的大小为,其中正确的个数是（    ）

A．1    B．2    C．3    D．4

6．在空间四边形中，，，则的值为（    ）

A．0    B．    C．    D．

7．已知在平行六面体中，过顶点的三条棱所在直线两两夹角均为，且三条棱长均为1，则此平行六面体的对角线的长为（   ）

A．    B．2    C．    D．

8．在四面体O-ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)

A．    B．

C．    D．

9．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱、的中点，则点到平面的距离等于（    ）

A．    B．    C．    D．

10．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面，，且，则二面角的大小是（    ）

A．    B．    C．    D．

11．如图，在棱长都相等的正三棱柱中，是棱的中点，是棱上的动点.设，随着增大，平面与底面所成锐二面角的平面角是（    ）

A．增大    B．先增大再减小

C．减小    D．先减小再增大

12．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（    ）

A．    B．    C．    D．

二、填空题

13．如图，在矩形ABCD中，，E为AB的中点．将沿DE翻折，得到四棱锥．设的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：

①总有平面；

②线段BM的长为定值；

③存在某个位置，使DE与所成的角为90°．

其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）

14．若平面的一个法向量为，A(1，0，2)，B(0，-1，4)，Aα，Bα，则点到平面的距离为__________．

15．在空间直角坐标系中，点（1，2，3）关于面对称的点的坐标为__________

16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥面ABC，AB⊥AC，且AA1=AB=AC，则异面直线AB1与BC1所成角为_____．

17．已知四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则顶点D的坐标为________．

18．在空间四边形中，分别是中点，且又，则与所成角的大小为____________.

19．若向量，满足条件，则 __________．

20．在直三棱柱中,若 ，则异面直线与所成的角等于_________

三、解答题

21．如图①所示，在直角梯形中，，，，．现以为折痕将四边形折起，使点在平面的投影恰好为点，如图②．

（1）求证：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

22．如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，E，F分别为，的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

23．如图，在正方体中，为的中点.

（1）证明：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求平面与平面夹角的余弦值.

24．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，，已知，E为的中点．

（1）求证；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

（3）求二面角的余弦值．

25．如图所示，在多面体中，，，平面平面，，，点为的中点.

（1）证明：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角的正弦值.

26．如图，四棱锥中中，底面是直角梯形，，，，侧面底面，且为等腰直角三角形，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．A

解析：A

【分析】

建立空间直角坐标系，利用三点共线的思想，分别求出点R，Q，利用两点距离公式求解，后利用导数求最值，进一步求出答案.

【详解】

以P在底面的投影O为坐标原点，建立如图所示的坐标系，设，

因为

又因为R在PC上，

所以

所以

所以

因为

设，

对其求导，

当二个导数同时为0时，取最小值，即，

所以时取最小值，

所以

所以=，

所以当达到最小值时，的值为.

故选：A.

【点睛】

空间直角坐标系距离公式的理解：

（1）两点间的距离公式其形式与平面向量的长度公式一致，它的几何意义是表示长方体的对角线的长度．（2）两点间的距离公式与坐标原点的选取无关，经过适当转化也可以求异面直线间的距离，点到面以及平面与平面的距离等．

本题主要是R的坐标利用三点共线的思想去求.

2．C

解析：C

【分析】

画图分析可得过的直线与直线、的交点、在线段、的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可.

【详解】

画图分析可得过的直线与直线、的交点、在线段、的延长线上.以为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设,, 

又共线,则,故,故 .

故,,则.

故选：C

【点睛】

本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.

3．D

解析：D

【分析】

作出图形，根据条件得出，再得到，，即可求解，

得到答案.

【详解】

如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，则，

在中，，

在中，，

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的加法的几何意义，其中解答中熟记向量的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

4．D

解析：D

【分析】

根据外积的定义逐项判断即可得到结果.

【详解】

对于①，根据向量外积的第一个性质可知与方向相同，故①错误；

对于②，根据向量外积的第一个性质可知与方向相反，不会相等，故②错误；

对于③，根据向量外积的第二个性质可知，则与正方体表面积的数值相等，故③正确；

对于④，与的方向相反，则，故④错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查正方体的性质和信息迁移，解题的关键在于依据新概念的性质进行推理论证，属难题.

5．C

解析：C

【分析】

根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确.

【详解】

画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为，以分别为轴建立空间直角坐标系.则，所以，所以，故①正确.由于，所以CF与EN所成的角为，而在中，，也即是等边三角形，故，所以②正确.由于，而与相交，故不平行，③错误.由于，所以即是二面角的平面角.是等腰直角三角形，所以，故④正确.

综上所述，正确的命题个数为个.

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.

6．A

解析：A

【分析】

利用，以及两个向量的数量积的定义可得的值，即可求解．

【详解】

由题意，可知，

则

，

所以，所以∴.

故选A．

【点睛】

本题主要考查了两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

7．D

解析：D

【分析】

由根据已知条件能求出结果

【详解】

∵

==1+1+1+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°+2×1×1×cos60°=6．

∴=．

故选D．

【点睛】

这个题目考查了向量的点积运算和模长的求法；对于向量的题目一般是以小题的形式出现，常见的解题思路为：向量基底化，用已知长度和夹角的向量表示要求的向量，或者建系实现向量坐标化，或者应用数形结合.

8．A

解析：A

【分析】

如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,利用空间向量的运算法则求得,即得(x,y,z).

【详解】

如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC中点,

)=-2),

-2).

因为=3=3(),

所以OG=OG1.

则)=.

故答案为A

【点睛】

（1）本题主要考查空间向量的运算法则和基底法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使．我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.

9．D

解析：D

【分析】

建立空间直角坐标系，找到平面的法向量，利用向量法求点到平面的距离求解即可.

【详解】

以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，.

设平面的法向量为，

则，即

令，得.

又，

点到平面的距离，

故选：.

【点睛】

本题用向量法求点到平面的距离，我们也可以用等体积法求点到平面的距离，当然也可以找到这个垂线段，然后放在直角三角形中去求.

10．C

解析：C

【分析】

建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值；

【详解】

解：如图建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，，

显然面的一个法向量可以为，

设面的法向量为

则，即，令则，，所以

设二面角为，则

所以

故选：C

【点睛】

本题考查利用空间向量法求二面角，属于中档题.

11．D

解析：D

【分析】

设正三棱柱棱长为，设平面与底面所成锐二面角为，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，确定出点的坐标，求出平面的法向量，底面的法向量坐标为，将表示为关于的函数，通过讨论的增减变化，即可求出结论.

【详解】

设正三棱柱棱长为，，

设平面与底面所成锐二面角为，

以为坐标原点，过点在底面内与垂直的直线为轴，

所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，

则，

设平面的法向量，则，

即，令，则，

所以平面的一个法向量，

底面的一个法向量为，

当，随着增大而增大，则随着的增大而减小，

当，随着增大而减小，则随着的增大而增大.

故选：D.

【点睛】

本题考查空间向量法求二面角，应用函数思想讨论二面角的大小，考查直观想象、数学计算能力，素养中档题.

12．B

解析：B

【分析】

设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由和所成角的余弦值为，求出．由此能求出与平面所成角的正弦值．

【详解】

设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，

，，，，，，

和所成角的余弦值为，

，

解得．，，，

平面的法向量，

与平面所成角的正弦值为：．

故选：B．

【点睛】

本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

二、填空题

13．①②【分析】取D的中点N连接MNEN根据四边形MNEB为平行四边形判断①②假设DE⊥C得出矛盾结论判断③【详解】取D的中点N连接MNEN则MN为△CD的中位线∴MN∥CD且MN=CD又E为矩形ABC

解析：①②

【分析】

取D的中点N，连接MN，EN，根据四边形MNEB为平行四边形判断①，②，假设DE⊥C得出矛盾结论判断③．

【详解】

取D的中点N，连接MN，EN，

则MN为△CD的中位线，

∴MN∥CD，且MN=CD

又E为矩形ABCD的边AB的中点，∴BE∥CD，且BE=CD

∴MN∥BE，且MN=BE即四边形MNEB为平行四边形，∴BM∥EN，

又EN⊂平面A1DE，BM⊄平面A1DE，

∴BM∥平面DE，故①正确；

由四边形MNEB为平行四边形可得BM＝NE，

而在翻折过程中，NE的长度保持不变，故BM的长为定值，故②正确；

取DE的中点O，连接O，CO，

由D＝E可知O⊥DE，

若DE⊥C，则DE⊥平面OC，

∴DE⊥OC，又∠CDO＝90°﹣∠ADE＝45°，

∴△OCD为等腰直角三角形，故而CDOD，

而ODDE，CD＝4，与CDOD矛盾，故DE与C所成的角不可能为90°．

故③错误．

故答案为①②．

【点睛】

本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．

14．【分析】利用点到直线的距离公式借助平面的法向量利用公式即可求解【详解】由题意平面的一个法向量为且则所以点A到平面的距离为【点睛】本题主要考查了点到平面的距离的求法其中解答中熟记空间向量在几何问题中的

解析：

【分析】

利用点到直线的距离公式，借助平面的法向量，利用公式，即可求解.

【详解】

由题意，平面的一个法向量为，

且，则，

所以点A到平面的距离为.

【点睛】

本题主要考查了点到平面的距离的求法，其中解答中熟记空间向量在几何问题中的应用，以及点到直线的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

15．(-123)【分析】在空间直角坐标系中点（xyz）关于平面yoz对称的点坐标是（-xyz）【详解】在空间直角坐标系中点（123）关于平面xoy对称的点坐标是（-123）故答案为（-123）【点睛】本

解析：(-1，2，3)

【分析】

在空间直角坐标系中，点（x，y，z）关于平面yoz对称的点坐标是（-x，y，z）．

【详解】

在空间直角坐标系中，

点（1，2，3）关于平面xoy对称的点坐标是（-1，2，3）．

故答案为（-1，2，3）．

【点睛】

本题考查点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间直角坐标系的性质的合理运用．

16．【解析】连结A1B∵AA1⊥面ABC平面A1B1C1∥面ABC∴AA1⊥平面A1B1C1∵A1C1⊂平面A1B1C1∴AA1⊥A1C1∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形AB⊥AC∴A1B1⊥A1

解析：

【解析】

连结A1B，

∵AA1⊥面ABC，平面A1B1C1∥面ABC，

∴AA1⊥平面A1B1C1，

∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥A1C1，

∵△ABC与△A1B1C1是全等三角形，AB⊥AC，

∴A1B1⊥A1C1，

∵A1B1∩AA1=A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，

又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1，

∵矩形AA1B1B中，AA1=AB，

∴四边形AA1B1B为正方形，可得A1B⊥AB1，

∵A1B∩A1C1=A1，∴AB1⊥平面A1BC1，

结合BC1⊂平面A1BC1，可得AB1⊥BC1，即异面直线AB1与BC1所成角为．

故答案为．

17．【解析】由平行四边形中对角线互相平分的性质知AC的中点即为BD的中点AC的中点设D(xyz)则∴x＝5y＝13z＝－3故D(513－3)

解析： 

【解析】

由平行四边形中对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点 ，设D(x，y，z)，

则

∴x＝5，y＝13，z＝－3，故D(5,13，－3)．

18．【分析】将平移到一起利用勾股定理求得线线角为【详解】解：取中点连接中分别为的中点且同理可得且与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角中得即异面直线与所成角等于故答案为：【点睛】方法点睛：平移法是立体几

解析：

【分析】

将平移到一起，利用勾股定理求得线线角为.

【详解】

解：取中点，连接，

中，分别为的中点，

且，

同理可得且，

与所成的直角或锐角就是异面直线与所成角，

中，，

，得

即异面直线与所成角等于，

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：平移法是立体几何中求线线角的常用方法之一，平移时通常结合三角形中位线定理把欲求的角平移到一个三角形中，然后再解三角形即可.

19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案

解析：2

【解析】

因为向量，所以，则，解之得，应填答案。

20．【分析】建立空间直角坐标系分别求得再利用即可得到所求角大小【详解】三棱柱为直三棱柱且以点为坐标原点分别以为轴建立空间直角坐标系设则又异面直线所成的角在异面直线与所成的角等于【点睛】本题考查了异面直线

解析：

【分析】

建立空间直角坐标系分别求得，，再利用即可得到所求角大小．

【详解】

三棱柱为直三棱柱,且

 以点 为坐标原点，分别以，，为 轴建立空间直角坐标系

设，则

 , ,,

，

又 异面直线所成的角在 

 异面直线与所成的角等于 ．

【点睛】

本题考查了异面直线所成角的计算，一般建立空间直角坐标系利用向量法来解决问题，属于中档题．

三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）取线段的中点，连结，，由平面几何证得四边形为平行四边形，再由线面平行的判定可得证；

（2）由已知以为坐标原点，建立空间直角坐标系，运用二面角的向量求解方法可求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【详解】

（1）取线段的中点，连结，，则，四边形为平行四边形，

，四边形为矩形

，，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，

平面；

（2）点在平面的投影恰好为点．平面，

如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，

，，

设是平面的一个法向量，则

即，令，解得，，

又是平面的一个法向量，，

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【点睛】

方法点睛：向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.

1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线；建立右手直角坐标系，让尽量多的点落在坐标轴上.

2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.

3、求：求出两个面的法向量.    

4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；

5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角，再取值.

22．（1）证明见解析；（2）．

【分析】

（1）先证明平面，通过已知可得、，即可；

（2）建立空间直角坐标系，找出各点坐标，设出法向量求解即可.

【详解】

（1）因为平面，所以．

因为底面是正方形，所以．

因为，所以平面．

又因为平面，所以平面平面．

（2）因为底面，所以，．

因为底面是正方形，所以．如图建立空间直角坐标系．

因为，底面为边长为2的正方形，

所以，，，，，，．

则，，．

设平面的法向量，由，可得．

令，则，．所以．

设直线与平面所成角为，则．

所以直线与平面所成角的正弦值为．

【点睛】

本题考查了面面垂直的判定，核心是要求面面垂直，先考虑线面垂直；同时也考查了线面角的计算方法，核心是要求正弦值，先求余弦值.

23．（1）证明见解析；（2）；（3）.

【分析】

建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

（1）求出平面的法向量和，由可得答案；

（2）直线到平面的距离即为点到平面的距离，利用可得答案；

（3）求出平面的一个法向量设平面与平面夹角为，可得答案.

【详解】

如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2

则，，，， ，

（1）设平面的法向量为，，

令，则，，

，，

面平面.

（2）平面，直线到平面的距离即为点到平面的距离，

，，==，

直线到平面的距离为.

（3）平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，

，==，

所以平面与平面夹角的余弦值.

【点睛】

方法点睛：本题考查空间中线面平行关系、线面距离、面面角的求法，关键点是建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题，考查学生的空间想象力和运算能力.

24．（1）证明见解析（2）（3）

【分析】

(1)由可得出，再由菱形性质可得，即可证明平面，可得；

（2）先证明平面，可以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；

（3）由（2）利用向量法求二面角的余弦值.

【详解】

（1）设交点为,连接，

是边长为2的菱形，

是的中点，

，

又平面,平面 ，，

平面，

平面，

（2）

是等边三角形，

又

是等边三角形，

，

又

平面，

以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系如图:

则，

，

而是平面 的一个法向量，

设直线与平面所成角为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

(3)由（2）知,

设平面的法向量，

则,

,

令，得，

所以，

又平面,

是平面 的一个法向量，

，

二面角的余弦值为.

【点睛】

关键点点睛：根据题目所给条件，利用平面几何知识证明，再根据，证明平面，得以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系是解题的关键所在.

25．（1）证明见解析；（2）.

【分析】

（1）取的中点，连接，，由题中条件，推导出平面，，由此能证明平面；

（2）以为原点，为轴，过点与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的角（锐角）的余弦值，即可得出正弦值.

【详解】

（1）证明：取的中点O，连接，，

∵在中，，∴，

∴由平面平面，且交线为，得平面，

∵，分别为，的中点，∴，且，

又，，所以，

∴四边形为平行四边形，∴，

∴平面；

（2）∵平面，，平面平面，

所以平面；

∴以为原点，为轴，过点与平行的直线为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，，，点为的中点，

则，，，

∵平面，∴直线与平面所成角为，

∴，∴，，

取平面的一个法向量，

设平面的一个法向量，

因为，，

则，取，得，

∴，，，

∴，

即因此平面与平面所成的锐二面角为，

则，所以

∴平面与平面所成的锐二面角的正弦值为.

【点睛】

方法点睛：

立体几何体中空间角的求法：

（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；

（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.

26．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【分析】

（Ⅰ）取AD的中点G，连结、、，根据和是正三角形，证明平面即可.

（Ⅱ）根据侧面底面，，易得直线、、两两互相垂直，以G为原点，直线、、所在直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，再由平面的一个法向量，设平面与平面所成锐二面角为，由求解.

【详解】

（Ⅰ）如图所示：

取AD的中点G，连结、、．

，

，且，

是正三角形，，

又，

平面．

（Ⅱ）∵侧面底面，

又，底面．．

∴直线、、两两互相垂直，

故以G为原点，直线、、所在直线为x轴、y轴和z轴建立

如图所示的空间直角坐标系．

设，则可求得，，，，．

．．

设是平面的一个法向量，

则且．

解得

取，则．

又∵平面的一个法向量，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．

【点睛】

方法点睛：求二面角最常用的方法：1、几何法：二面角的大小用它的平面角来度量．平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．

向量法：分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．