椭圆的焦半径公式及其拓展

1. 焦半径：连结椭圆上一点与对应焦点的线段的长度，叫做椭圆的焦半径。

2. 焦半径公式：

（1）是椭圆上一点，是左、右焦点，是椭圆的离心率，则.

（2）是椭圆上一点，是上、下焦点，是椭圆的离心率，则.

推导过程：（以型椭圆方程为例进行推导）

方法一：利用椭圆的标准方程推导

由两点间距离公式，可知，

根据椭圆方程，解得

故

将上式代入

可得：

同理可得：

方法二：利用椭圆的第二定义

椭圆的左准线方程为：，设点到左准线的距离为

由椭圆的第二定义：

同理可得：

五、典型例题

例1：在椭圆上有一个点，满足到一个焦点的距离是到另一个焦点距离的3倍，则点的坐标为________.

【推荐理由】可以直观对比出运用焦半径公式的优越性，且同时考查了椭圆的对称性，学生容易漏情况，是易错题.

解法一：根据椭圆方程：可知，椭圆焦点为

设，则有

且或

解两次二次方程可得：

解法二：设椭圆度上下焦点分别为，点

由椭圆方程可知：

利用焦半径公式：

由题意可得：

解一元一次方程可得：

所以

【思路点拨】1.椭圆上的点到焦点的距离即是焦半径的概念，很直接联系到焦半径公式；

2.本题明确到上、下焦点的距离哪个大，故要分类讨论，或者根据椭圆的对称性直接得到结果，需要考虑全面，否则容易漏解，这是本题的易错点.

【点评】本题的两种解法对比可以看出，对比利用距离公式，利用焦半径达到了降次的作用，大大化简了计算过程，可以让学生简洁高效地求解。

例2：在平面四边形中，已知，则        .

推荐理由：本题综合性较强，结合了平面向量的数量积一起考查，但常规的建系或者直接利用数量积公式并不可行，椭圆是本题的一个隐藏条件，是定义的灵活运用，难度较大，有利于学生开阔解题思路，焦半径公式的运用是最后求解的关键.

解：由条件可得：，满足椭圆的定义，

故可将这个平面四边形看作：

以为焦点，的一个椭圆，为椭圆上的两点，如下图所示：

不妨设：

由焦半径公式可得：，

两式相减可得：

又

故答案为：10

【思路点拨】据距离和为定值联系到椭圆的定义是本题的突破点.

【点评】本题难度较大，椭圆是一个隐藏条件，学生不一定能看出来，其次看出是椭圆后，能否利用焦半径公式快速求解也是难点之一，这道题对学生灵活运用的能力要求很高，同样这道题也展现了利用焦半径公式解题简洁高效的优越性。

六、拓展运用

1、知识拓展

焦半径公式拓展结论一：

由焦半径公式：可知，是关于的增函数，是关于的减函数，二者的最大值均为：，最小值均为：，故椭圆上任意一点到焦点距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大值，最小值。

焦半径公式拓展结论二：

（1）是椭圆上一点，是左、右焦点，与轴所成的角为，与轴所成的角为，则

（2）是椭圆上一点，是上、下焦点，与轴所成的角为，与轴所成的角为，则

推导过程：

设是在x轴上的射影为，

当不大于90°时，在中，有

由椭圆焦半径公式

消去后，化简即得

而当大于90°时，在中，有

同样利用焦半径公式消去后，化简即得

其余三个结论类似推导即可。

2、典型例题

例1：已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为k（>0）的直线与C相交与A,B两点，若，则的值为_________.

【推荐理由】直线与椭圆相交的相关试题是圆锥曲线部分的考查重点，本题凸显出利用焦半径公式的优越性.

解法一：∵     ∴

设椭圆的方程为右焦点为，

设直线的方程为，设

①

   ②       ③

将①带入②得   

∴

∴

解法二;

由题意得   

则有

∴

即

【思路点拨】条件中都是焦半径，直接联系到焦半径公式，本题要求的是斜率，选择用焦半径公式的拓展公式.

【点评】解法一使用的是常规解题方法，但计算量较大，解题步骤繁琐，解法二利用了焦半径公式的拓展结论后，大大化简了解题步骤，减少了计算量。需提醒学生注意，解答小题过程中可直接用焦半径公式及其拓展结论，解答题的解题过程中需简单推导后再用，否则会导致扣步骤分。