数值分析习题

1.1求下列各数的具有四位有效数字的近似值, 并指出其绝对误差限和相对误差限

1.2下列各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似值, 指出它们的绝对误差限、相对误差限和有效数字的位数。

1.3为了使的近似值的相对误差不超过0.1%, 问应取几位有效数字?

1.4怎样计算下列各题才能使得结果比较精确?

(1),其中充分小

(2),其中N是充分大的正数

(3),其中充分小

(4)

(5)

(6)

1.5求方程的两个根, 使至少具有四位有效数字。

习题二

2.1证明方程在区间[1,2]内有且仅有一个根。如果用二分法求它具有五位有效数字的根，试问需对分多少次？(不必求根)

2.2用二分法求方程在[0.3, 0.4]内的一个根, 精度要求。

2.3找出下列方程的有根区间，选择适当的初始点用二分法求方程的根，精度要求。

(1)；

(2)；

(3)；

(4)。

2.4考虑方程，将其改写为，取，用两种迭代公式迭代，分别收敛到1.0和-0.5附近的两个根(取精度要求)。

2.5为求方程在附近的一个根，建立下列形式的迭代公式：

(1)；

(2)；

(3)。

试分析每一种迭代公式的收敛性。

2.6考虑用迭代法求解下列方程：

(1)；

(2)；

(3)。

按所给的形式建立迭代公式，试确定区间[a, b], 使迭代公式收敛, 并求出满足精度要求的解。

2.7用迭代法的思想，给出求的迭代公式，并证明：。

2.8能否用简单迭代法求解下列方程，如果不能，请给出收敛的迭代公式。

(1)；

(2)。

2.9已知在区间[a,b]内有一个根，且当a2.10用Steffensen加速迭代法求方程在[1,1.5]内的根

2.11试用Newton法求方程的根, 分别取初始点, 精度要求为。

2.12选择适当的初始点, 试用Newton法求出满足精度要求为的解

(1)；

(2)。

2.13导出计算的Newton迭代公式，使公式中即无开方又无除法运算。

2.14设,，函数和均有零点x=0，分别讨论用Newton法解和是否收敛？收敛的阶是多少？

2.15用Newton法设计一种不用除法的迭代公式，求正数c的倒数，并证明：当初值满足时，该迭代法收敛。

2.16试用Newton法解方程, 导出求立方根的迭代公式，讨论取什么初值可使迭代收敛。

2.17为了简化，在Newton迭代公式中用代替，试问这种迭代是几阶的？

2.18设, 写出解的Newton迭代公式, 并证明迭代公式是线性收敛的。

2.19设非线性方程, 其根. 写出求的近似值时，二阶局部收敛的Newton迭代公式和求的近似值时，二阶局部收敛的Newton迭代公式。

2.20设有根，且。试证明：由产生的序列对任意的和均收敛于根。

2.21为用迭代法求方程的根，若将方程改写成, 其中C为待定常数。设连续且, 试确定C, 使序列收敛于,且尽可能收敛得快。

习题三

3.1考虑线性方程组

(1)用顺序Gauss消去法求解该方程组；

(2)用LU分解算法求解该方程组。

3.2考虑线性方程组

(1)用顺序Gauss消去法求解该方程组；

(2)用列主元Gauss消去法求解该方程组。

3.3考虑线性方程组

(1)用顺序Gauss消去法求解该方程组；

(2)用列主元Gauss消去法求解该方程组；

(3)试检验⑴和⑵所得的两个解中, 哪个更接近准确解？

(计算过程保留三位有效数字. 方程的准确解为： (1.35533, -1.29208, -0.252451)。

3.4试用列主元Gauss-Jordan消去法求下列矩阵的逆矩阵(用分数运算)

3.5对下列矩阵作LU分解

3.6设, 试导出A=LU分解(Crout分解)的计算公式. 其中L为下三角矩阵, U为单位上三角矩阵, 即

并用此公式得到求解线性方程组Ax=b的计算公式。

3.7用追赶法解方程组

3.8导出Crout的形式

追赶法的计算公式。

3.9设, 经过一步Gauss消去法得到

试证明：

(1)若A对称，则对称；

(2)若A对称正定，则对称正定；

3.10设A对称正定，, 经1步Gauss消去后约化为，试证：

(1), 且A绝对值最大的元素在对角线上；

(2)；

(3)。

3.11试证明：单位下三角阵的逆、积还是单位下三角阵。

3.12试证明：如果A是对称正定阵，则也是对称正定矩阵且A可唯一地写成形式，其中L是具有对角元的下三角阵。

3.13设, 试分析当a为何值时可作分解, 其中L是对角线元素为正的下三角阵，并求矩阵L。

3.14设, 为使A可分解为, 其中L为对角线元素为正的下三角阵， a的取值范围是多少？若取a=1, 求矩阵L。

3.15已知Ax=f, 其中

(1)试问参数a和b满足什么条件时，可选用平方根法求解该方程组？

(2)取b=0, a= -1, 试用追赶法求解该方程组。

3.16设，试证明： 

3.17设，试证明： 

3.18设，试证明：

3.19设矩阵A非奇异，求证

3.20设矩阵A非奇异，求证

其中分别是矩阵A的最大最小特征值，且当A为对称矩阵时，上式等号成立。

3.21设矩阵A非奇异，试证明：若, 则非奇异，且满足

3.22方程组Ax=b, 设A非奇异阵，b有扰动, 从而引起方程组解x有扰动, 试证明：

3.23求下面两个方程的解，并利用矩阵的条件数对解进行分析。

3.24已知, 求和。 

3.25求矩阵的谱半径。

3.26已知矩阵A与矩阵B是对称的，求证：。

3.27设有方程组Ax=b，其中

已知它有解, 如果右端有小扰动, 试估计由此引起的解的相对误差。

习题四

4.1证明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解下列方程组必收敛，并求解，要求。

4.2下面两个方程组Ax=b，若分别用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解，是否收敛？

4.3把线性方程组

然后用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求, 取初始点 (1.01, 1.01), 观察迭代点列是否收敛(已知方程的解为(1, 1))。

4.4设是二阶矩阵，且, 试证求解方程组Ax=b的Jacobi方法与Gauss-Seidel 方法有相同的敛散性。

4.5设线性方程组Ax=b的系数矩阵为

试求使Jacobi方法收敛的a的取值范围。

4.6试证明：若矩阵A是严格对角占优的，则Jacobi迭代法是收敛的。若矩阵A是严格按列对角占优的, 即

则Jacobi迭代法是收敛的。

4.7系数矩阵为对称正定的二阶线性方程组, Jacobi方法和Gauss-Seidel方法是否一定收敛？试证明你的结论。

4.8方程组Ax=b, 其中

(1)利用迭代收敛的充要条件求出使Jacobi迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时Jacobi迭代收敛最快；

(2)选择一种便于计算的迭代收敛的充分条件，求出使Gauss-Seidel迭代法收敛的a的取值范围。

4.9设A是正定对称阵，其最大特征值为，试证当满足时，迭代公式收敛。

4.10用SOR方法解线性方程组(取)

4.11已知方程组Ax=b，其中，有迭代公式

试问：(1) 取什么范围的值能使迭代收敛？(2)取什么值使迭代收敛最快？

4.12设求解线性方程组Ax=b的迭代法

收敛，求证：对迭代法

收敛。

4.13设A为严格对角占优矩阵，且，试证明：解Ax=b的SOR方法收敛。

习题五

5.1已知, 分别用线性插值与二次插值求的近似值。

5.2以为插值节点, 作的线性插值函数, 并求处函数的近似值。

5.3(1) 以为插值节点, 做的线性插值；

(2) 以为插值节点, 做的二次插值；

(3) 估计上面两个结果的误差。

5.4已知函数表:

应用Lagrange插值公式计算f(1.1300)的近似值。

5.5设在[a,b]内有连续的二阶导数, 且, 求证:

5.6设为互异的插值节点，求证：

(1)；

(2)。

5.7设是任意一个首次项系数为1的n+1阶多项式，为n+1个互异的插值节点，, 证明：

(1);

(2)。

5.8证明n阶差商具有下列性质:

(1)若, 则, 其中c为任意常数；

(2)若, 则。

5.9设，求。

5.10设有n+1个不同的实根, 证明：

5.11求经过三点的插值多项式。

5.12给出函数表

求各阶差商, 并写出Newton基本插值公式。

5.13已知函数的数据如下表：

试做一个三次多项式, 利用计算。

5.14已知函数表:

选取适当的节点, 分别用二次Newton基本插值公式计算在x=1.628, 1.813处的近似值。

5.15设, 求。

5.16利用差分的性质证明：

5.17利用差分的性质求的和函数。

5.18已知函数表:

分别用Newton向前插值公式和Newton向后插值公式计算f(0.158)及f(0.636)的近似值。

5.19试证明两点二次插值多项式是存在且唯一的。

5.20试证明两点三次插值多项式是存在且唯一的。

5.21已知函数表:

分别构造二点二次Hermite插值公式和二点三次Hermite插值公式。

5.22求次数不高于4次的多项式p(x), 使它满足

(1)；

(2)。

5.23已知函数的数据如下表：

求次数不超过3的Hermite插值多项式, 使。

5.24设

是[0,3]上以0,1,3为节点的三次样条函数，求系数a与b。

5.25已知数据表

分别用参数方法和参数方法求出的三次样条函数. 并分别求出的值。

习题六

6.1求区间[0,1]上以为权的最高项系数为1的正交多项式,和。

6.2设是区间[0,1]上权函数为的最高项系数为1的正交多项式族，其中, 求, 并计算积分。

6.3求下列函数在指定区间上的一次最佳平方逼近多项式

(1)；

(2)；

(3)。

6.4求在上的最佳平方逼近多项式。

6.5求a,b，使得最小。

6.6利用Legendre多项式，求在[-1,1]上的三次最佳平方逼近多项式，并计算均方误差。

6.7试用最小二乘法求一次和二次多项式, 拟合下列数据：

6.8已知一组实验数据如下，求它的拟合曲线：

6.9求形如(a,b为常数且a>0)的经验公式，使它能拟合下列数据：

6.10试用最小二乘法求形如的多项式, 拟合下列数据:

6.11已知一组数据如下：

用最小二乘法对上述数据拟合形如： (a,b为常数)的经验公式。

6.12利用正交函数族做下列函数的二次拟合多项式:

(1)；

(2)。

习题七

7.1确定下列求积公式中的待定参数, 使其代数精确度尽量高, 并指明所构造出的求积公式所具有的代数精确度:

(1)；

(2)；

(3)；

(4)。

7.2如果, 证明梯形公式计算积分所得结果比准确值大, 并说明其几何意义。

7.3已知数据表

试用复化梯形公式计算, 分别取步长为h=0.1, 0.2, 0.4。

7.4如果用复化梯形公式计算积分, 为使精度要求达到, 应取多大的步长?

7.5试用复化Simpson公式计算(取9个节点)。

7.6如果用复化Simpson公式计算积分, 为使精度要求达到, 应取多少个节点?

7.7试用变步长梯形公式计算, 精度要求。

7.8试用Romberg 求积法算, 精度要求。

7.9试建立下述形式的求积公式，并确定它的代数精确度（使其代数精确度尽可能高）

7.10求Gauss型求积公式的系数及节点。

7.11用待定系数法确定在三点Gauss-Legendre公式

7.12用待定系数法确定Gauss型求积公式

中的及节点。

7.13对于Gauss求积公式

试证明: 求积系数且

7.14已知恒等式    试依据的值，用外推法求的近似值。

习题八

8.1运用Euler方法和改进Euler方法求下列初值问题在给定区间上的数值解, 计算结果保留四位小数。

(1)；

(2)。

8.2用Euler方法和改进Euler方法求初值问题的解在处的近似值。

8.3运用标准四阶Runge--Kutta法求初值问题的解在x=1.1,1.2,1.3处的近似值, 计算结果保留三位小数。

8.4运用标准四阶Runge--Kutta法求初值问题在区间[0,1]上的数值解, 取步长h=0.2, 将计算结果与准确值进行比较。

8.5常微分方程初值问题的单步法试证明该方法是无条件稳定的。

8.6常微分方程初值问题的线性多步公式试求该多步公式的局部截断误差主项并回答它是几阶精度的？

8.7试证明是二阶公式。

8.8构造具有如下形式

的线性多步法，使其达到二阶精度，并求其局部截断误差的主项。

8.9运用Adams外推公式和预报---校正公式求初值问题在区间[-1,0]上的数值解, 取步长h=0.1。

8.10对于常微分方程初值问题, 利用在区间上的Simpson求积公式，建立具有如下形式

的线性多步法，试确定出相应的求积系数。

答案：

3.2

    1). (3,1,1)

    2). (3,1,1)

3.4

    1).    保留3位有效数字, 循序Gauss消去法

2.51000e+000       1.48000e+000       4.53000e+000       5.00000e-002

         0.00000e+000       1.00000e-003      -3.97000e+000       1.00000e+000

         0.00000e+000       0.00000e+000       5.79000e+003      -1.46000e+003

           X=    4.74000e-001       0.00000e+000      -2.52000e-001

    2). 保留3位有效数字, 列主元Gauss消去法

2.68000e+000       3.04000e+000      -1.48000e+000      -5.30000e-001

0.00000e+000      -1.37000e+000       5.92000e+000       5.47000e-001

0.00000e+000       0.00000e-001      -3.96000e+000       9.98000e-001

        X=   1.35000e+000      -1.49000e+000      -2.52000e-001

3.5

        1.000    0.000    0.000        2.000    -1.000    -1.000    

    L=    0.500    1.000    0.000    U=    0.000    2.500    0.500    

        0.500    0.200    1.000        0.000    0.000    3.400    

3.7

    2.9411770588235e-001    5/17

4.1177058823530e-001    7/17

4.705882352941176e-001    8/17

7.058823529411765e-001    12/17

3.14

4.1

9.999704409600e-001

Jacobi迭代:    9.999765450240e-001

1.999962760704e+000

                9.999916206943e-001

Gauss-Seidel迭代法:    9.999963829681e-001

                            1.999996877326e+000

    4.10

        -4.000000035373e+000,  3.000000013065e+000,  2.0000000109e+000

    5.1

        线性插值：10.71429,     二次插值：10.72276

    5.2

        f(2)=0.83333,    f(3)=0.66667

    5.4

    5.13

    6.7

    6.9

    6.10

6.11

7.1

    1., 代数精确度为3；

    2., 代数精确度为3；

    3.或, 代数精确度为2；

    4., 代数精确度为2。

7.2 

根据梯形公式的截断误差结论是显然的，几何意义是曲线为凹函数，其两端连线在在曲线之上。

    7.4 

            N=144

        7.5

            0.746824

        7.7

            1.30308

        7.8

            1.33956        (1.386294361112)

        外推法计算Sin(1)处的导数