解三角形复习资料(上课)

解三角形基本知识

一.正弦定理：

1.正弦定理：（其中R是三角形外接圆的半径）

2.变形：①

       ②角化边 

       ③边化角 

如：△ABC中，①，则△ABC是等腰三角形或直角三角形

              ②，则△ABC是等腰三角形。

3.三角形内角平分线定理：

如图△ABC中，AD是的角平分线，则

4.△ABC中，已知锐角A，边b，则

①时，无解；

②或时，有一个解；

③时，有两个解。

如：①已知,求(有一个解)

②已知,求(有两个解)

注意：由正弦定理求角时，注意解的个数。

二.三角形面积

1. 

2.,其中是三角形内切圆半径.

注:由面积公式求角时注意解的个数

三.余弦定理

1.余弦定理： 

注：后面的变形常与韦达定理结合使用。

2.变形： 

注意整体代入，如： 

3.三角形中线：

△ABC中， D是BC的中点，则

4.三角形的形状

①若时,角是锐角

②若时,角是直角

③若时,角是钝角

如:锐角三角形的三边为,求x的取值范围; 钝角三角形的三边为,求x的取值范围;

5.应用

①用余弦定理求角时只有一个解

②已知,求边

四.应用题

1.步骤：①由已知条件作出图形，②在图上标出已知量和要求的量；

③将实际问题转化为数学问题； ④答

2.注意方位角；俯角；仰角；张角；张角等

如：方位角是指北方向顺时针转到目标方向线的角。

（3）在△ABC中，熟记并会证明：

1）∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；

2）△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。

二、典例解析

题型1：正、余弦定理

（2009岳阳一中第四次月考）.已知△中，，，，，，则                                    （     ） 

A.．      B ．        C．            D． 或

答案  C

1、在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（　　）

A．b=20，A=45°，C=80°                B．a=30，c=28，B=60°

C．a=14，b=16，A=45°                    D．a=12，c=15，A=120

2、

3、已知求的边长以及外接圆的面积。

1、在中，若其面积，则=_______。

2、边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（    ）

 A．  B．   C．   D． 

3、在中， 

例2．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；

∴∴

题型2：三角形面积

例3．在中，，，，求的值和的面积。

,

       。

例4．（2009湖南卷文）在锐角中，则的值等于        ，

的取值范围为        .            

答案   2   

例5．（2009浙江理）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．  

（I）求的面积；   （II）若，求的值．

例6．（2009全国卷Ⅰ理）在中，内角A、B、C的对边长分别为、、，已知，且 求b         

.

题型3：三角形中求值问题

例7．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

最大值为。

例8．（2009浙江文）（本题满分14分）在中，角所对的边分别为，且满足，．   

（I）求的面积；   （II）若，求的值．

的面积为：

所以

题型4：三角形中的三角恒等变换问题

例9．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值。

∠A=60°，∴=sin60°=。

例10．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。

题型5：正、余弦定理判断三角形形状

例11．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（    ）

A.等腰直角三角形                        B.直角三角形

C.等腰三角形                            D.等边三角形

答案：C

1、在△ABC中，若，请判断三角形的形状。

2、在△ABC中，面积且判定三角形形状。

3、在△ABC中，，判断三角形形状。

综合应用

例12．（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。     

题型6：正余弦定理的实际应用

例13．（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）        

。

（2）（（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤

21.（2009四川卷文）在中，为锐角，角所对的边分别为，且

（I）求的值；

（II）若，求的值。     

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