二次函数与反比例函数总复习

题型1：二次函数的判定

例1.下列函数中，哪些是二次函数？

分析：一般地，形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。其中x 、y 是变量，a 、b 、c 是常量，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项。判断函数是否是二次函数， ①首先是要看它的右边是否为整式，②若是整式且仍能化简的要先将其化简，③ 然后再看自变量是否为2，④最后看二次项系数是否为0这个关键条件

题型2：有关二次函数与一次函数、反比例函数的图象与系数的关系的问题.

二次函数2y ax bx c =++中图象与系数的关系:（1）二次项系数a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． a>0时，开口向上，a<0时，开口向下。a 越大，开口越小。a 越小，开口越大。（2）一次项系数b ，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．若

0>ab ，则对称轴a b x 2-

=在y 轴左边，若0x 2-=在y 轴的右侧。若b=0，则对称轴a

b

x 2-=＝0,即对称轴是y 轴.概括的说就是“左同右异,y 轴0” （3）常

数项c ，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．当0c >时，交点在y 轴的正半轴上 ;当0c =时，抛物线经过原点，;当0c <时，交点在y 轴的负半轴上, 简记为“上正下负原点0”(4) △=b 2－4ac 决定了抛物线与x 轴交点的个数. ① 当0∆>时，抛物线与x 轴有两个交点 ② 当

0∆=时，

抛物线与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，抛物线与x 轴没有交点.另外当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．

一次函数:y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0) 中图象与系数的关系:

（1）走向：k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限

b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限

⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩

⎨⎧<>00

b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩

⎨⎧<<00

b k 直线经过第二、三、四象限 （2）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.

（3）截距: 当b>0时，图象交于y 轴正半轴, 当b<0时，图象交于y 轴负半轴,当b=0时，图象交于原点.

（4）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴. 反比例函数:y ＝

x

k

（k 为常数，k ≠0）中图象与系数的关系: 说明：1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内

”

222322221

(1)(2)4(3)0.8(220)(4)55(1)1

(5)34(6)2(7)36()(1)3()

3y x y b a y x x x x

y x x y x y ax x a y m x m =+

==-=-+-=--=--=++=+-为定值 (8)为定值

例2图

这一条件。

2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与x 轴、y 轴没有交点。 3）

越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．

越小，图象的弯曲度越大，双曲线越靠近坐标轴．

例1：.函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，则二次函数y=ax 2+bx 的大致图象是 ( B )

B 【解析】本题考查【解析】由函数y=ax+b 的图象经过一、二、三象限，可得：a>O ，b>O ，则函数y=ax 2+bx 的开口向上，对称轴

为x=－b

2a

<0，

例2（’09湖北黄石市）已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0 ②2a+b ＜0 ③4a －2b+c ＜0 ④a+c ＞0，

其中正确结论的个数为（ ）

A 、4个

B 、3个

C 、2个

D 、1个

分析:从图像的开口方向和图像与y 轴交点的纵坐标可以直接得到a<0,c>0.对于b,要根据

24b ac -

抛物线的对称轴来确定.若抛物线对称轴在y 轴右侧,即－b 2a >0,则b

a <0,所以a 、

b 异号;反之,a ，

b 同号.本题中抛物线对称轴在y 轴右侧,所以b>0;所以abc<0.对于2a+b,需要根据抛物线顶点横坐标与1的大小比较.观察图像可得, －b

2a <1,所以2a+b ＜0.而4a －2b+c 是二次函数当自变

量取值为－2时的函数值,观察图像可发现点(－2, 4a －2b+c)在x 轴下方,所以4a －2b+c<0.又由图像可得当x=1时的函数值a+b+c 的绝对值大于x=－1时的函数值a －b+c 的绝对值,所以a+b+c+ (a －b+c)>0,所以a+c>0.故选答案B.【点拨】由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。由抛物线与x 轴的交点的符号，若x 轴标出了1和－1，则结合函数值可判定b a +2、个数判定 c b a ++、c b a +-的符号。

例3.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一次函数y ＝ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是（ ）

A B C D

【解析】本题考查同一直角坐标系中两个函数图像的位置关系.首先通过计算可以知道这两个函数图像与y 轴交于同一点(0,c),然后再采用排除法.对于A 、B,直线y ＝ax ＋c 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 不经过同一点(0,c),所以不正确.对于C 、D,直线都经过第一、二、四象限,所以a<0,所以抛物线开口向下.答案为D. 例4. （2011四川凉山州，12，4分）二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，反比列函数a

y x

=与正比列函数y bx =在同一坐标系内的大致图像是（ B ）

例5. （

2011安徽芜湖，10,4分）二次函数2

y ax bx c =+

+的图象如图所示，则反比例函数a

y x

=与一次函数y bx c =+在同一坐标系中的大致图象是（ D ）.

A

B

D

C

例6.（’09安徽省芜湖）如图所示是二次函数2

y ax bx c =++图象的一部分，

图象过A 点（3，0），二次函数图象对称轴为1x =，给出四个结论：①2

4b ac >；②0bc <；③20a b +=；④0a b c ++=，其中正确结论是（ B. ） A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④

【解析】本题考查利用函数图像判断代数式的符号或大小问题.由抛物线开口

向下能够得到a<0;由抛物线与y 轴的交点可以得到c>0;根据对称轴－b

2a =1能够推出b+2a=0,

在根据a<0

得出b>0,所以bc>0;当x=1时,y=a+b+c,根据图像可以观察到点(1,a+b+c)是抛物线的顶点,所以a+b+c>0.

例7．(2008安徽)如图为二次函数

的图象，在下列说法中：

①

；②方程

的根为

，

；

③；④当时，随着的增大而增大． 正确的说法有①②④ ．（请写出所有正确说法的序号）

题型3:利用二次函数、反比例函数的增减性比较函数值的大小

例1 若二次函数2

4y ax bx =+-的图像开口向上，与x 轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1，此时121,2x x =-=时，对应的y 1 与y 2的大小关系是（ C ） A ．y 1 y 2 D.不确定

点拨：本题可用两种解法 解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y 随x 的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大.解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a ，b 的值 再把横坐标值代入求出y 1 与y 2 的值，进而比较它们的大小

例2、已知抛物线)0(2<++=a c bx ax y 的对称轴为x=2，且过A （-1，y 1）、B （1，y 2）、C （

2

7

，y 3）三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是（ ） A 、y 1＜y 2＜y 3 B 、y 1＜y 3＜y 2 C 、y 3＜y 2＜y 1 D 、y 2＜y 3＜y 1

例3、 已知点(－1,y 1),(－27,y 2),(2

1

,y 3)在函数y=3x 2+6x+12的图象上,则y 1,y 2,y 3 的大小为( )

x 例6

B y 2>y 1>y 3

C y 2>y 3>y 1

D y 3>y 1>y 2

二次函数的图象与性质附图如下：二次函数y=ax 2+bx+c 图象的性质。

二次函数2

()y a x h k =-+的图像和性质

a ＞0

例4:在反比例函数(0)k

y k x

=-

>的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则下列各式正确的是（ A ）A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 解：用图像法，在直角坐标系中作出(0)k

y k x

=-

>的图像草图, 描出三个点，满足3210x x x >>>观察图像直接得到213y y y >>选A

例 5.（2008烟台）在反比例函数12m

y x

-=

的图象上有两点A ()11,x y ，B ()22,x y ，当120x x <<时，有12y y <，则m 的取值范围是（ ）A ．0m < B.0m > C.1

2

m <

D.12

m >

题型4：有关抛物线的平移问题

由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a 确定，所以两个二次函数如果a 相等，那么其中一个函数的图象可以由另一个函数的图象平移得到，所以形如y=ax 2，y=ax 2+k ，y=a(x －h)2+k(a≠O ，a 、k 、h 为常数)形式的函数图象可以相互平移得到，而具体平移方式一般由各函数的顶点坐标来确定．平移方式如下图：任意抛物线y=ax 2+bx+c 可以由抛物线y=ax 2经过适当地平移得到，具体平移方法下图所示：

数形结合法： ①将抛物线解析式转化成顶点式()

2

y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；

（抓住顶点） ② 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，

处。 公式法（结论法）：概括成八个字“左加右减，上加下减”．

① 沿 x 轴向左（右）平移h 个单位得 y=a(x+h)2+b(x+h)+c （或 y=a(x-h)2+b(x-h)+c ） y=ax 2沿 x 轴向左（右）平移h 个单位得y=a(x+h)2 （或y=a(x-h)2 ）

y=a(x+h)2

+k 沿 x 轴向左（右）平移m 个单位得y=a(x+h+m)2+k （或y=a(x+h-m)2+k ） ② y=ax 2+bx+c 沿 y 轴向上（下）平移k 个单位得 y=ax 2+bx+c+k （或y=ax 2+bx+c-k ） y=ax 2沿 y 轴向上（下）平移k 个单位得y=ax 2 +k （或y=ax 2-k ）

y=a(x+h)2

+k 沿 y 轴向上（下）平移n 个单位得y=a(x+h)2+n （或y=a(x+h)2+n ） 注：对于一般式抓住与y 轴的交点或顶点，对于顶点式抓住顶点。

例1、将二次函数5822

-+-=x x y 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得二次函数的解析式。 解：3)2(25822

2+--=-+-=x x x y ，将图象向左平移3个单位，再将图象向下平移2个单位，得2

2(23)32y x =--++-，故所求的解析式为

1)1(22++-=x y .或

例3．已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2

向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。 分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。解：可设新抛物线的解析式为2

)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2

+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）∴1)521(02

+-+=a ，解得4

1

-=a ∴ 原抛物线的解析式为：1)3(4

1

2+--

=x y 例4.（’09鄂州市）把抛物线y ＝ax 2

+bx+c 的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单

位，所得的图象的解析式是y ＝x 2

－3x+5，则a+b+c=_17

【解析】.首先把抛物线y ＝x 2

－3x+5化成顶点式然后把抛物线先向左平移3个单位得到再

向上平移2个单位得到=x 2－9x+25,所以a+b+c=17.

题型5：求二次函数、反比例函数解析式的有关问题

1. 几种特殊的二次函数的图像特征如下： 194

2

+

2.二次函数三种表示方法：

（1）一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； （2）顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；

（3）交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）

3.求二次函数解析式的方法.

(1)利用待定系法求二次函数关系式时，一般先设函数关系式，然后通过解方程（组）来求待定的系数。有3种设法。①顶点未知时，设一般式：2y ax bx c =++（0a ≠） ②已知顶点坐标为(h,k),设顶点式：2()y a x h k =-+（0a ≠）

③已知抛物线与x 轴两交点的坐标为（x 1 ,0）与 (x 2,0),设交点式12()()y a x x x x =--（0a ≠） 注：以下4种是以上3种的特例：①已知顶点在原点，可设y=ax 2 （0a ≠） ②对称轴是y 轴或顶点在y 轴上，可设y=ax 2+c （0a ≠）

③顶点在x 轴上，可设y=a(x-h)2（0a ≠）④抛物线过原点，可设y=ax 2+bx （0a ≠） 另外选择一般式时, 把三点或三对x 、y 的值代入外,有时通过对称轴方程或顶点坐标公式列方程.

例1、已知二次函数的图象经过点A )2

3

,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为2

y ax bx c =++，则由题意得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a

解得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2

5

3212+-=x x y .

例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。

解：设这个二次函数的解析式为5)2(2

+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2

=+-a ，∴2=a 故所求的解析式为5)2(22

+-=x y . 即

13822+-=x x y

例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。

解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函数为2)1(2

--=x a y 。∵抛物线过点（－1,2） ∴22)11(2

=---a ∴1=a 故所求的解析式为

2)1(2--=x y ，即122--=x x y 。

例4、已知二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，与y 轴交点的纵坐标为2，求此二次函数的解析式。解：∵二次函数的图象与x 轴交于)0,1(-A 、)0,3(B 两点，故设其解析式为)3)(1(-+=x x a y ，

又点（0,2）在图象上，∴2)30)(10(=-+a ∴3

2-

=a ∴所求解析式为)3)(1(3

2-+-=x x y ，即234

322+--=x x y .

例5 已知抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 与x 轴相交于点A(-3，0)，对称轴为x=-1，顶点M 到x 轴的距离为2，求此抛物线的解析式．解法(一)：∵抛物线的对称轴是x=-1，顶点M 到x 轴距离为2，

∴顶点的坐标为M(-1，2)或M ′(-1，-2)．故设二次函数式y=a(x ＋1)2

＋2或y=a(x+1)2

-2 又∵抛物线经过点A(-3，0) ∴0=a(-3＋1)2

＋2或0=a(-3＋1)2

-2

解法(二)：设函数解析式为y=ax 2

＋bx ＋c ∵点A(-3，0)在抛物线上 ∴0=9a-3b ＋c ① 又∵对称轴是x=-1 ∵顶点M 到x 轴的距离为2 解由①，②，③组成的方程组：

∴所求函数的解析式是：

解法(三)：∵抛物线的对称轴是x=-1 又∵图象经过点A(-3，0) ∴点A(-3，0)关于对称轴x=-1对称的对称点A ′(1，

0)

∴所求的函数关系式是：

∴设函数式为y=a(x+3)(x-1) 把抛物线的顶点M 的坐标(-1，2)或(-1，-2)分别代入函数式，得

2=a(-1＋3)(-1-1)或-2=a(-1＋3)(-1-1)解得

例6．已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2

向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：可设新抛物线的解析式为2

)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为

1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0）

∴1)521(02

+-+=a ，解得4

1-=a ∴ 原抛物线的解析式为：1)3(4

1

2+--

=x y

(2)根据抛物线间的关系求二次函数解析式.

解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称；这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。

例7、把函数1422

+-=x x y 的图象绕顶点旋转1800，求所得抛物线的解析式。 解：∵1)1(21422

2

--=+-=x x x y ,∴所求二次函数解析式为1)1(22

---=x y ，即

3422-+-=x x y .

例8、把二次函数522

+-=x x y 的图象沿x 轴翻折，求所得抛物线的解析式。

解：∵4)1(522

2

+-=+-=x x x y ，∴抛物线沿x 轴翻折后所得解析式为

4)1(2---=x y ，

故所求解析式为522

-+-=x x y .

(3)已知抛物线与x 轴两交点间的距离求二次函数解析式

当已知二次函数与x 轴两交点间的距离时，常用一般式c bx ax y ++=2

、韦达定理和关系式： 例9、已知二次函数的图象x

4，－4），求

∴所求的函数关系式是：

12x x -====求解

这个二次函数的解析式。解：设所求解析式为c bx ax y ++=2

，由题设得

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪

⎨

⎧=--=++=+-44162

242

a ac

b

c b a c b a 解这个方程，得41-=a ，21-=b ，2=c .所求的解析式为22

1

412+--=x x y .

例10、已知二次函数的图象与x 轴两交点间的距离为2，若将图象沿y 轴方向向上平移3个单位，则图象恰好经过原点，且与x 轴两交点间的距离为4，求原二次函数的表达式． 解：∵新抛物线的图象恰好经过原点，且与x 轴两交点间的距离为4，

∴此抛物线与x 轴的交点为：（0，0），（4，0）或（﹣4，0），∴设新抛物线的解析式为：y=ax 2

+bx （a≠0）．

①当抛物线过：（0，0），（4，0）时，把x=4，y=0代入得，16a+4b=0，即b=﹣4a ， ∴新抛物线的解析式为：y=ax 2

﹣4ax ，∴原抛物线的解析式为：y=ax 2

﹣4ax ﹣3， 设原抛物线与x 轴的两交点坐标分别为（x 1，0），（x 2，0）则|x 2﹣x 1|=2，

由根与系数的关系可知，x 1+x 2=4，x 1•x 2=﹣，∴（x 2﹣x 1）2

=4，又∵（x 2﹣x 1）2

=（x 2+x 1）

2

﹣4x 1•x 2

=16﹣4×（﹣）=16+

，∴16+

=4，解得a=﹣1，∴原二次函数的解析式为：y=﹣x 2

+4x

﹣3；

②当抛物线过：（0，0），（﹣4，0）时，把x=﹣4，y=0代入得，16a ﹣4b=0，即b=4a ，

∴新抛物线的解析式为：y=ax 2+4ax ，∴原抛物线的解析式为：y=ax 2

+4ax ﹣3，

同①可得a=﹣1，∴原二次函数的解析式为：y=﹣x 2

﹣4x ﹣3．

故原二次函数的表达式为：y=﹣x 2+4x ﹣3或y=﹣x 2

﹣4x ﹣3．

(4) 根据根与系数的关系求二次函数关系式。

例11、 二次函数y=ax 2

＋bx-5的图象的对称轴为直线x=3，图象与y 轴相交于点B ，

(1)求二次函数的解析式；(2)求原点O 到直线AB 的距离． 解： (1)如图，

由已知有：

21212)226

x x x x ∴+-=

（

∴a=-1． ∴解析式为y=-x 2＋6x-5=-(x-3)2

＋4． 4.求反比例函数解析式 （1）.反比例函数解析式x

k

y =

（k ≠0）的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）为了计算的方便通常变形成k=xy,即k 等于图像上任意

一个点的横坐标与纵坐标的乘积。

（2）. 反比例函数y ＝

x

k

（k ≠0）中的比例系数k 的几何意义:表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线y ＝

x

k

（k ≠0）上的任意一点P （x , y ）做x 轴、y 轴的垂线PA 、PB ，所得矩形OBPA 的面积:S OA PA x y xy k =⋅=⋅==矩形OAPB

推论：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为

2k

(3）反比例函数y ＝x

k

（k ≠0）图象的对称性： 图象关于原点对称:即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（

，

）在双曲线的另一支上．图象关于直线y=-x 或y=x 对称:即若

（a ，b ）在双曲线的一支上，则(-b,-a)或（b,a ）在双曲线的另一支上． 例12（2011•安徽）如图函数y 1=k 1x+b 的图象与函数

（x ＞0）的图象交于A 、B 两

点，与y 轴交于C 点．已知A 点的坐标为（2，1），C 点坐标为（0，3）．（1）求函数y 1的表达式和B 点坐标；（2）观察图象，比较当x ＞0时，y 1和y 2的大小． 解：（1）把A(2，1)、C （0，3）代入11y k x b =+得 21

3

k b b +=⎧⎨

=⎩

解得 13k b =-⎧⎨=⎩

所以13y x =-+

把A （2，1）代入()220k y x x =

>得 22k = 所以22

y x

= 解方程组⎪⎩

⎪

⎨⎧=+-=x y x y 2

,

3 得⎩⎨⎧==.2,111y x ⎩⎨⎧==.1,

22

2y x 所以 点B 的坐标为（1，2）……6分

（2）解：由图像可知，当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2; 当1＜x ＜2时，y 1＞y 2;

1111

S S 2222

OPA OPB OA PA x y xy k

∆∆==⋅=⋅==

当x=1或x=2时，y1=y2. ……12分

例13、（2010•安徽）点P（1，a）在反比例函数y=的图象上，它关于y轴的对称点在一次函数y=2x+4的图象上，求此反比例函数的解析式．分析：先求出点P（1，a）关于y轴的

对称点，代入y=2x+4，求出a的值，再把P点坐标代入y=即可求出k的值．

解：点P（1，a）关于y轴的对称点是（﹣1，a），……2分

∵点（﹣1，a）在一次函数y=2x+4的图象上，∴a=2×（﹣1）+4=2，……4分

∵点P（1，2）在反比例函数y=的图象上，∴k=2，∴反比例函数的解析式为为y=．……8分

题型6：二次函数、反比例函数与一次函数综合的运用

根据实际问题列二次函数关系式，并会求自变量的取值范围。用配方法或公式法把一般式或交点式化成顶点式,并能根据顶点式说出因变量随自变量变化情况(注要自变量的取值范围外还一定要注意在对称轴的左右两侧二次函数的增减性是相反的),以及有关最值问题.何时取得最值及最值是多少,一般有两种方法: 配方法或公式法.运动变化思想的运用.会看函数图象.会利用图象解一元二次不等式.要会根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围．(如从交点入手，看在交点的哪一边一次函数的函数值大于或小于反比例函数的函数值等)

例1、（2010•安徽）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用20天时间，采用每天降低水位以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售．九（1）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x天（1≤x≤20且x为整数）的捕捞与销售的相关信息如表：（1）在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？

（2）假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x天的收入y（元）与x（天）之间的函数关系式？（当天收入=日销售额﹣日捕捞成本）

(3)试说明（2）中的函数y随x的变化情况，并指出在第几天y取得最大值，最大值是多少？

分析：（1）由图表中的数据可知该养殖场

每天的捕捞量与前一天减少10kg；（2）根

据收入=捕捞量×单价﹣捕捞成本，列出函

数表达式；（3）将实际转化为求函数最值

问题，从而求得最大值．

解：（1）该养殖场每天的捕捞量与前一天减少10kg；……2分

（2）由题意，得y=20（950﹣10x）﹣（5﹣）（950﹣10x）=﹣2x2+40x+14250；……7分

（3）∵﹣2＜0，y=﹣2x2+40x+14250=﹣2（x﹣10）2+14450，……9分

又∵1≤x≤20且x为整数，∴当1≤x≤10时，y随x的增大而增大；当10≤x≤20时，y随x的增大而减小；

当x=10时即在第10天，y取得最大值，最大值为14450．……12分

例2、（2011•安徽压轴题）如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）． （1）求证：h 1=h 3； （2）设正方形ABCD 的面积为S ，求证：S=（h 2+h 3）2+h 12； （3）若，当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况．

2E ，BC 与3l 的交点为F 。 ∵四边形ABCD 是正方形

∴∠BAD = ∠BCD = 90°,AB=CD,BC//AD . 则BE//DF,BF//DE, 所以四边形BEDF 为

平行四边形

∴BE=DF 在Rt △ABE 和Rt △CDF 中，AB=CD ， BE=DF ∴ Rt △ABE ≌Rt △CDF 而 1h 、2h 分别是Rt △ABE 和Rt △CDF 斜边上的高 ∴12h h = ……4分 证法二：过A 点作AF ⊥l 3分别交l 2、l 3于点E 、F ，过C 点作CH ⊥l 2分别交l 2、l 3于点H 、G ，

∵正方形ABCD ，l 1∥l 2∥l 3∥l 4，∴AB=CD ，∠ABE=∠BCH ， ∵∠BCH=∠CDG ，∴∠ABE=∠CDG ，

∵∠AEB ∠CGD ， ∴△ABE ≌△CDG ，∴AE=CG ，即h 1=h 3，

（2）证法一：证明：过点B 、D 分别作1l 的垂线段，垂足为M 、N ，则Rt △ABM ≌Rt △DAN ∴BM=AN=1h ,AM=DN=1h +2h 在Rt △ABM 中，222

AB AM BM =+ 又S=AB 2

所以22222S AB AM BM DN BM ==+=+ 即()2

2

121S h h h =++ (9)

分

证法二：过点D 作MN ⊥1l 交1l 、4l 于M 、N 。则Rt △DAM ≌Rt △CDN （3）由

12312h h +=得21312

h h =-，代入()2

2121S h h h =++得 2

2

2

211111135524

1124455

S h h h h h h ⎛⎫⎛⎫=+-+=-+=

-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又110

3102

h h >⎧⎪

⎨->⎪⎩ 解得0＜h 1＜32

∴当0＜h 1＜

5

2

时，S 随h 1的增大而减小； 第23题图

例3图（2） 例3图（1） 当h 1=

52时，S 取得最小值5

4； 当52

＜h 1＜3

2时，S 随h 1的增大而增大. ……14分

例3、（2009•安徽压轴题）已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义；

（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图

的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果；

（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．

解：（1）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；

图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………3分

（2）由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩

≤≤（）

）＞（，函数图象如图所示． ………7分

由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种

水果．…8分

（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040m x =- 当m ＞60时，x ＜6.5

由题意，销售利润为 2(4)(32040)40(6)160y x x x =--=

--+ (12)

分

当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160

元．……14分

解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）

则由图②日零售价p 元满足：32040x p =-，于是32040

x

p -= 销售利润23201

(

4)(80)1604040

x y x x -=-=--+ ………12分 当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6

即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160

元．……14分

例4、（2008•安徽）杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线2

3315

y x x =-

++的一部分，如图所示． （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （7分）

（2）已知人梯高BC=3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． （5分）

解：（1）23y=x 3x 15－＋＋=2

3519x 524⎛⎫ ⎪⎝⎭－－＋

……5分 ∵3

05

－＜，∴函数的最大值是194

。

答：演员弹跳的最大高度是19

4米。 ……7分

（2）当x ＝4时，2

3y=43415

⨯⨯－＋＋＝3.4＝BC ，所以这次表演成功。 (12)

分

例5、（2007•安徽压轴题）按如图所示的流程，输入一个数据x ，根据y 与x 的关系式就输出一个数据y ，这样可以将一组数据变换成另一组新的数据，要使任意一组都在20～100（含20和100）之间的数据，变换成一组新数据后能满足下列两个要求： （Ⅰ）新数据都在60～100（含60和100）之间；

）

（Ⅱ）新数据之间的大小关系与原数据之间的大小关系一致，即原数据大的对应的新数据也较大．

（1）若y 与x 的关系是y=x+p （100﹣x ），请说明：当p=时，这种变换满足上述两个要求；（6分）

（2）若按关系式y=a （x ﹣h ）2+k （a ＞0）将数据进行变换，请写出一个满足上述要求的这种关系式．（不要求对关系式符合题意作说明，但要写出关系式得出的主要过程）（8分）

解:.（1）当P=

12时，y=x ＋()11002x -,即y=1502

x +。

∴y 随着x 的增大而增大，即P=1

2

时，满足条件（Ⅱ）……3分

当x=20时，y=120502⨯+=60。又当x=50时y=1

100502

⨯+=100。而原数据都在20～100

之间，所以新数据都在60～100之间，即满足条件（Ⅰ），综上可知，当P=1

2

时，这种变换

满足要求；……6分 （2）本题是开放性问题，答案不唯一。若所给出的关系式满足：（a ）h ≤20；（b ）若x=20,100时，y 的对应值m ，n 能落在60～100之间，则这样的关系式都符合要求。

如取h=20,y=()2

20a x k -+, ……8分 ∵a ＞0，∴当20≤x ≤100时，y 随着x 的增大 …10分

令x=20,y=60，得k=60 ①

令x=100,y=100，得a ×802

＋k=100 ②

由①②解得116060a k ⎧

=

⎪⎨⎪=⎩

， ∴()212060160y x =-+。………14分

例6、(2011年广安)若二次函数2

()1y x m =--，当1x ≤时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是（ ）

A 、1m =

B 、1m >

C 、1m ≥

D 、1m ≤

例7、（2006•安徽大纲卷）某公司年初推出一种高新技术产品，该产品销售的累积利润y （万元）

与销售时间x （月）之间的关系（即前x 个月的利润总和y 与x 之间的关系）为y=x 2﹣2x （x ＞0）．

（1）求出这个函数图象的顶点坐标和对称轴； （4分）

（2）请在所给坐标系中，画出这个函数图象的简图； （3分）

（3）根据函数图象，你能否判断出公司的这种新产品销售累积利润 是从什么时间开始盈利的？（2分）

（4）这个公司第6个月所获的利润是多少？ （3分）

解：（1）由2211

(4)(2)222

y x x x =

-=--．……2分 ∴函数图象的顶点坐标为(22)-，

，对称轴为直线2x =．……4分 （2）如右图．……7分

（3）从函数图象可以看出，

从4月份开始新产品的销售累积利润盈利．……9分

（4）5x =时，21

525 2.52y =⨯-⨯=，

6x =时，21

62662

y =⨯-⨯=，

6 2.5 3.5-=．

∴这个公司第6个月所获的利润是3.5万元．……12分

例8、（2005•安徽大纲卷）已知函数y 1=x ﹣1和

． （1）在所给的坐标系中画出这

两个函数的图象．（2）求这两个函数图象的交点坐标．（3）观察图象，当x 在什么范围时，y 1＞y 2？

分析：（1）画图的步骤：列表，描点，连线．需注意函数y 1的自变量取值范围是：全体实数；函数y 2的自变量取值范围是：x≠0．（2）交点都适合这两个函数解析式，应让这两个函数解析式组成方程组求解即可．（3）

从交点入手，看在交点的哪一边一次函数的函数值大于反比例函数

的函数值．

解：（1）函数y 1的自变量取值范围是：全体实数；函数y 2的自变量取值范围是：x≠0．列表可得：

例7答案图

（2）联立解析式：

， 解得： ， ．

∴两函数的交点坐标分别为A （﹣2，﹣3）；B （3，2）；

（3）由图象观察可得：当﹣2＜x ＜0或x ＞3时，y 1＞y 2．

例9. （2005•安徽课改卷） 如图所示，直线与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90°得到。（1）在图中画出； （2）求经过三点的抛物线的解析式。

解：（1）如图

（2）设该抛物线的解析式为y ax bx c =++2

由题意知A A B 、、''三点的坐标分别是()()()

-100120，、，、， ∴=-+==++⎧⎨⎪

⎩⎪01042a b c c a b c

解这个方程组得a b c =-==⎧

⎨⎪⎪

⎪⎩

⎪⎪⎪12121

∴=-++抛物线的解析式是y x x 1212

12 例10.、（2004•安徽压轴题）某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y （万元），且y=ax 2+bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．

（1）求y 的解析式； （2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？

⑵设g＝33x－100－x2－x,则

g＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156.

由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，故当x=3时g=－(x－16)2＋156=-13，

当x=4时g=－(x－16)2＋156=12，故当x＝4时，即第4年可收回投资。

例11、（2003•安徽）已知函数y=x2+bx﹣1的图象经过点（3，2）

（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；

（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围．

解：（1）函数y=x2+bx﹣1的图象经过点（3，2），∴9+3b-1=2，解得b=-2；

∴函数解析式为y= x2-2x﹣1

（2）y= x2-2x﹣1=(x－1)2－2；图象如图所示, 图象的顶点坐标为（1，-2）；

（3）当x=3时，y=2，根据图象知，当x≥3时，y≥2；

∴当x＞0时，使y≥2的x的取值范围是x≥3．

注:要会根据图象所在的位置关系求相关的变量的取值范围．

练习1、（2000•安徽）（12分）已知，二次函数的图像如图。

（1）求这个二次函数的解析式和它的图像的顶点坐标；

（2）（2）观察图像，回答：何时y随x的增大而增大；何时y随x的增大而减小。

2．（2002•安徽）（12分）心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系：y ＝－0.1x 2

＋2.6x ＋43 （0≤x ≤30）． y 值越大，表示接受能力越强．

（1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？

3．（2002•安徽）（7分）已知一次函数的图象与双曲线y ＝－x

2

交于点（－1，m ），且过点（0，1），求该一次函数的解析式．

题型7：构造二次函数、反比例函数与一次函数的模型题。 1.直线与抛物线的交点

（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2

得交点为(0, c ).

（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2

有且只有一个交点

(h ,c bh ah ++2

). （3）抛物线与x 轴的交点

二次函数c bx ax y ++=2

的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元

二次方程02

=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；

②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐

标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2

的两个实数根.

（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02

≠++=a c bx ax y 的图像G 的

交点，由方程组

c

bx ax y n kx y ++=+=2

的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.

（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴两交点为

()()0021，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故

a

c x x a b x x =

⋅-=+2121,()

()

a a ac

b a

c a b x x x x x x x x AB ∆=

-=-⎪⎭

⎫

⎝⎛-=--=

-=

-=44422

212

212

2121

例1,画出y=2x 2+3x -2与 y ＇= -2x +1的图象并解答下列问题： ①试写出方程2x 2

+3x -2=0的解：

②试写出不等式2x 2+3x -2＞0的解：

③试写出不等式2x 2+3x -2＜0的解：

④试根据图象写出方程2x 2+3x -2= -2x +1的解：

⑤试写出不等式2x 2+3x -2＞-2x +1的解： ⑥试写出不等式

例2.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．

（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；

（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，

计算结果精确到1米）．

解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为 109

2＋＝ax y ． 因为点A （25-，0）（或B （25

，0））在抛物线上， 所以109)25(02＋＝-⋅a ，得125

18＝－a ．

因此所求函数解析式为)25

25(109125182≤≤-x x y ＋＝－．

（2）因为点D 、E 的纵坐标为209， 所以109125182092＋－x =，得245

±＝x ．

所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245

，

20

9）． 所以2

2

5)245(245＝－＝

-DE ． 因此卢浦大桥拱内实际桥长为

385227501.0110002

2

5≈⨯⨯＝（米）．

题型8:二次函数对称轴的应用

8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 44222

2

-+

⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线a

b

x 2-

=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2

的形式，得到顶

点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.

（3）运用抛物线的对称性：设A(x 1

，y a

），B (x 2

，y b

）是抛物线上的两点，且

y a

=y b

，则抛物线的对称轴为直线12

2

x x x +=

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

例1(2010年浙江省金华)若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程:022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解

2x

（2010年日照市）如图，是二次函数y=ax 2

+bx+c 图象的一部分，其对称轴为直线x =1，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式ax 2

+bx+c ＜0的解集是 . 答案：－1＜x ＜3 ;

(第15题图)

第25题

题型9:二次函数与平面几何的构建与再创造

15. 如图，在△ABC 中，90B ∠= ，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C

重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小．

3.(2010年山东聊城)如图，已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝1，且抛物线经

过A （—1，0）、B （0，—3）两点，与x 轴交于另一点B ．

（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；

（2）在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，并求出此时点M 的坐标；

（3）设点P 为抛物线的对称轴x ＝1上的一动点，求使∠PCB ＝90°的点P 的坐标．

【关键词】二次函数

【答案】⑴设抛物线的解析式为y ＝ax 2

＋bx ＋c ，则有： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--==+-1230a

b c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a ，所以抛物线的解析式为y ＝x 2－2x －3. ⑵令x 2－2x －3＝0，解得x 1＝－１，x 2＝3,所以B 点坐标为（3，0）.

设直线BC 的解析式为y ＝kx 2＋b,

则⎩⎨⎧-==+3

03b b k ，解得⎩⎨⎧-==31b k ，所以直线解析式是y ＝x －3. 当x ＝1时，y ＝－2.所以M 点的坐标为（1，－2）.

⑶方法一：要使∠PBC ＝90°，则直线PC 过点C ，且与BC 垂直，

又直线BC 的解析式为y ＝x －3，

所以直线PC 的解析式为y ＝－x －3，当x ＝1时，y ＝－4，

所以P 点坐标为（1，－4）.

方法二：设P 点坐标为（1，y ），则PC 2＝12＋（－3－y ）2,BC 2＝32＋32；PB 2＝22＋y 2 由∠PBC ＝90°可知△PBC 是直角三角形，且PB 为斜边，则有PC 2＋BC 2＝PB 2. 所以：[12＋（－3－y ）2]＋[32＋32]＝22＋y 2；解得y ＝－4，

所以P 点坐标为（1，－4）.