2021届新高考数学模拟试卷及答案解析(10)

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则　　

A．， B．， C． D．，

2.若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是　　

A． B． C． D．

3.设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件    

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.已知函数则函数的图象大致是　　

A． B．    

C． D．

5.若抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则弦的中点到轴的距离为　　

A．2 B．3 C．4 D．6

6.已知函数，则　　

A．0 B． C．1 D．2

7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：，，若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为　　

A． B． C． D．

8.若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，

9.习总讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：

已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是　　

A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润    

B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元    

C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长    

D．该企业2019年11月份的月利润最大

10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是　　

A．是的一个周期 B．在，上有3个零点    

C．的最大值为 D．在上是增函数

11.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图；③．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是　　

A．

B．

C．

D．长方体的体积

12.若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是　　

A． B． C． D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.的展开式中，含项的系数为　　．（用数字作答）．

14.已知，则　　

15.平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值为　　．

16.如图，矩形中，，，为的中点，点，分别在线段，上运动（其中不与，重合，不与，重合），且，沿将折起，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为　　；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积的值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，_______，，，求的面积．

18．如图，五面体中，正方形的边长为，，平面，点在线段上，且，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）已知平面，且，求二面角的余弦值．

19．数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于10年提出了以下猜想：是质数年，瑞士数学家欧拉算出，该数不是质数．已知为数列的前项和，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设为数列的前项和，求出，并证明：对任意，．

20．截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据表示行车速度，单位：；，分别表示反应距离和制动距离，单位：

道路交通事故成因分析

（2）已知与的平方成正比，且当行车速度为时，制动距离为．

由表中数据可知，与之间具有线性相关关系，请建立与之间的回归方程，并估计车速为时的停车距离；

我国《道路交通安全法》规定：车速超过时，应该与同车道前车保持以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．

参考数据：，，，，

参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

21．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当△的面积最大时，△恰好为等边三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆的外切圆为．

求圆的方程；

在平面内是否存在定点，使得以为直径的圆与相切，若存在求出定点的坐标；若不存在，请说明理由

22．已知函数的极大值为，其中为自然对数的底数．

（1）求实数的值；

（2）若函数，对任意，恒成立．

求实数的取值范围；

证明：．

2020届新高考数学模拟试题（10）参与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.已知集合，，则　　

A．， B．， C． D．，

【解析】集合，

，

，．

故选：．

2.若复数满足（其中为虚数单位），则的共轭复数是　　

A． B． C． D．

【解析】，

，

则．

故选：．

3.设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件    

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】设，则“”  “”，

“”  “或”  “或”，

 “”是“”的充分不必要条件．

故选：．

4.已知函数则函数的图象大致是　　

A． B．    

C． D．

【解析】当时，，则令，解得，所以当时，单调递减，时，单调递增，

当时，，则令，所以当时，单调递增，

作出函数的图象如图：

又因为的图象时将图象先关于轴对称，再向左移动一个单位得到的，

故根据图象可值图象为

故选：．

5.若抛物线的焦点到准线的距离为2，过焦点的直线与抛物线交于，两点，且，则弦的中点到轴的距离为　　

A．2 B．3 C．4 D．6

【解析】抛物线的焦点到准线的距离为2，可得，抛物线方程为：，

设，，，，根据抛物线定义，，

所以，

的中点的横坐标为：3，中点到轴的距离为3，

故选：．

6.已知函数，则　　

A．0 B． C．1 D．2

【解析】根据题意，函数，则，

则，

则有；

故选：．

7.考古发现，在埃及金字塔内有一组神秘的数字142857，因为，，所以这组数字又叫走马灯数．该组数字还有如下规律：，，若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，则的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数的概率为　　

A． B． C． D．

【解析】根据题意，从1，4，2，8，5，7这6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，共有种．

又因为从1，4，2，8，5，7这6个数字中：，，，共3组．

所以要使6个数字中任意取出3个数字构成一个三位数，的结果恰好是剩下3个数字构成的一个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，

所以共有种，

故．

故选：．

8.若为双曲线的左焦点，过原点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，则的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】双曲线的，，，

设，，为双曲线的右焦点，连接，，由对称性可得四边形为平行四边形，

可得，可得，，

且，

则，设，，

，

当时，，递增，时，，递减，

可得在处取得极小值，且为最小值，

当时，（1），当时，，

则，，

故选：．

二、多项选择题本题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分，

9.习总讲到：“广大人民群众坚持爱国奉献，无怨无悔，让我感到千千万万普通人最伟大，同时让我感到幸福都是奋斗出来的”．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：

已知：利润收入支出，根据该折线图，下列说法正确的是　　

A．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润    

B．该企业2019年第一季度的利润约是60万元    

C．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长    

D．该企业2019年11月份的月利润最大

【解析】由企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图，得：

在中，该企业2019年1月至6月的总利润约为：

，

该企业2019年7月至12月的总利润约为：

，

该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润，故正确；

在中，该企业2019年第一季度的利润约约是：

万元，故错误；

在中，该企业2019年4月至7月的月利润分别为（单位：万元），28，30，52，

该企业2019年4月至7月的月利润持续增长，故正确；

在中，该企业2019年7月和8月的月利润比11月份的月利润大，故错误．

故选：．

10.声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是　　

A．是的一个周期 B．在，上有3个零点    

C．的最大值为 D．在上是增函数

【解析】的周期为，的周期为，的周期为，故正确；

由，得，得或，

，，，，，则在，上有3个零点，故正确；

函数的最大值在，上取得，

由，可得，当时，单调递减，原函数单调递增，

当，时，单调递减，原函数单调递减，则当时，原函数求得最大值为，故正确；

，，在上不是增函数，故错误．

故选：．

11.给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算：．规定：①为同时与，垂直的向量；②，，三个向量构成右手系（如图；③．如图2，在长方体中，，，则下列结论正确的是　　

A．

B．

C．

D．长方体的体积

【解析】，且分别与垂直，，故正确；

由题意，，，故错误；

，，且与共线同向，

，与共线同向，，与共线同向，

，且与共线同向，故正确；

，故成立．

故选：．

12.若实数，满足，则下列关系式中可能成立的是　　

A． B． C． D．

【解析】由，

设，，易知，是递增函数，

画出，的图象如下：绿色，蓝色的分别是，的图象，

根据图象可知：当，1时，，

，（a）（b）可能成立；故正确；

当时，因为，所以（a）（b）可能成立，正确；

当时，显然成立，

当时，因为（a）（b），所以不可能成立，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.的展开式中，含项的系数为　80　．（用数字作答）．

【解析】二项式的展开式的通项为，

令，可得含的项的系数是

故答案为：80．

14.已知，则　　

【解析】由于，

所以：，

整理得：，

所以：，

则：，

故答案为：．

15.平行四边形中，为的中点，点满足，若，则的值为　　．

【解析】平行四边形中，为的中点，点满足，

所以，

，

则根据平面向量基本定理可得，，

解可得，，，

则，

故答案为：．

16.如图，矩形中，，，为的中点，点，分别在线段，上运动（其中不与，重合，不与，重合），且，沿将折起，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为　1　；当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积的值为　　．

【解析】设，则，

沿将折起，当平面时，三棱锥的体积最大，

此时，

当时，取最大值，最大值为1，

此时，，，为等边三角形，

当三棱锥体积最大时，三棱锥是正三棱柱的一部分，如图所示：

则三棱柱的外接球即是三棱锥的外接球，

设点，分别是上下地面正三角形的中心，

线段的中点即是三棱柱的外接球的球心，

又，是边长为2的等边三角形，，

三棱柱的外接球的半径，

三棱锥的外接球的表面积为，

故答案为：1；．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知的内角，，的对边分别为，，，_______，，，求的面积．

【解析】（1）若选择①，

由余弦定理，（4分）

因为，所以；（5分）

由正弦定理，得，（7分）

因为，，所以，（8分）

所以（10分）

所以．（12分）

（2）若选择②，则，（3分）

因为，所以，（4分）

因为，所以；（5分）

由正弦定理，得，（7分）

因为，，所以，（8分）

所以，（10分）

所以．（12分）

（3）若选择③，

则，所以，（3分）

因为，所以，

所以，所以；（5分）

由正弦定理，得，（7分）

因为，，所以，（8分）

所以，（10分）

18．如图，五面体中，正方形的边长为，，平面，点在线段上，且，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）已知平面，且，求二面角的余弦值．

【解析】（1）连结，交于点，连结，

，，，

，，

平面，平面，

平面．

（2）解：以为坐标原点，分别以为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，

则，0，，，，，，，，，0，，，0，，

设，，，，，则，，，，，

则，，，，，，

设平面的法向量为，，，

，0，，

，取，则，

平面的法向量，1，，

设二面角的平面角为，

则．

二面角的余弦值为．

19．数学家也有一些美丽的错误，如法国数学家费马于10年提出了以下猜想：是质数年，瑞士数学家欧拉算出，该数不是质数．已知为数列的前项和，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设为数列的前项和，求出，并证明：对任意，．

【解析】（1），

当时，，时，，对也成立，

则，；

（2），

，

则，

由于随着的增大而增大，可得，

即对任意，．

20．截止到2018年末，我国公路总里程达到484.65万公里，其中高速公路达到14.26万公里，规模居世界第一．与此同时，行车安全问题也成为管理部门关注的重点．如图是某部门公布的一年内道路交通事故成因分析，由图可知，超速驾驶已经成为交通事故的一个主要因素．研究表明，急刹车时的停车距离等于反应距离与制动距离的和，下表是根据某部门的调查结果整理所得的数据表示行车速度，单位：；，分别表示反应距离和制动距离，单位：

道路交通事故成因分析

（2）已知与的平方成正比，且当行车速度为时，制动距离为．

由表中数据可知，与之间具有线性相关关系，请建立与之间的回归方程，并估计车速为时的停车距离；

我国《道路交通安全法》规定：车速超过时，应该与同车道前车保持以上的距离，请解释一下上述规定的合理性．

参考数据：，，，，

参考公式：对于一组数据，，，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．

【解析】（1）由题意知，，

故所求的概率为；

（2）由与的平方成正比，设，

当行车速度为时，制动距离为；

即，解得，

所以；

由与之间具有线性相关关系，且，；

又，，，

所以，

，

所以与间的回归方程为；

时，．

，

所以估计车速为时的停车距离为；

时，．

，

车速为时的停车距离为；

车速超过时，考虑到车速增加后刹车距离也随着增大，

要保证行车安全，车辆应该与同车道前车保持在以上的距离．

21．已知，分别为椭圆的左、右焦点，为上的动点，其中到的最短距离为1，且当△的面积最大时，△恰好为等边三角形．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）以椭圆长轴为直径的圆叫做椭圆的“外切圆”，记椭圆的外切圆为．

求圆的方程；

在平面内是否存在定点，使得以为直径的圆与相切，若存在求出定点的坐标；若不存在，请说明理由

【解析】（1）由题意可得：，面积最大时为短轴的顶点，再由△恰好为等边三角形，可得，，

解得：，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）由（1）得圆的圆心坐标为，半径为，

所以圆的方程为：；

解法一：假设存在满足条件的定点，

由题意可知定点必在轴上，设，，，则，

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，

，即，，，

因为圆与圆相切，则，

所以，其中，

两边平方并整理得：，化简得，

上式对任意，恒成立，

故，解得，

所以，当定点恰好为椭圆的焦点时，符合题意．

解法二：存在满足条件的定点，

由题意可知，定点必在轴上，设，，，则，

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，

即，，，

因为圆与圆相切，则，

所以，

整理得，

设，则，

又因为在椭圆上，设，分别为椭圆的左右焦点，

，

故，分别与，重合，

所以当定点恰好为椭圆的的焦点时，符合题意．

解法三：假设存在满足条件的定点，由题意可知定点必在轴上，

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，

因为圆与圆相切，则，即，

所以，

设为关于原点对称点，则恰好为△的中位线，

所以，

所以，下同解法二；

解法四：假设存在满足条件的定点，设，，，则

由可知，圆的圆心为坐标原点，半径为2，

设以为直径的圆的圆心为，半径为，则为线段的中点，则，即，，，

因为圆与圆相切，则，

所以，

整理得，

设，因此，下同解法一．

22．已知函数的极大值为，其中为自然对数的底数．

（1）求实数的值；

（2）若函数，对任意，恒成立．

求实数的取值范围；

证明：．

【解析】（1），，

当时，，递增；当时，，递减；

所以的极大值为（e），

故；

（2）根据题意，任意，，即，

化简得，令，，

，

令，，设，，只需，，

当时，当时，，所以，不成立；

当时，显然成立；

当时，由，当，递减，，递增，

的最小值为，

由，得，

综上；

证明：要证，只需证明，

化简得，只需证，

设，，

由，当时，递减；时，递增；

所以（1），

由，在递增，故，得，

又由，所以，

所以成立，

故原命题成立．