2017年高考数学解析几何圆锥曲线真题汇编

1.（北京卷（理））已知抛物线过点,过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点.

（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：为线段的中点.

解：（Ⅰ）因为抛物线过点，把代入，得

∴

∴焦点坐标，准线为。

（Ⅱ）设过点的直线方程为，

直线，直线

由题意知

由，可得

∴A为线段BM中点。

2.（北京卷（文））已知椭圆的两个顶点分别为A(−2,0)，B(2,0)，焦点在轴上，离心率为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点为轴上一点，过作轴的垂线交椭圆于不同的两点，过作的垂线交于点.求证：△与△的面积之比为4:5．

解：（Ⅰ）焦点在轴上，且顶点为

椭圆方程为

（Ⅱ）设 ，

直线的方程是 ，

，，

直线的方程是 ，直线的方程是 ，

直线与直线联立

 ，

整理为： ，即 

即，解得，

代入求得  

又

和面积的比为4:5

3.（全国卷Ⅰ）已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点。若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

解：（1）由于两点关于轴对称，故由题设知经过两点

又由知，不经过点，所以点在上

因此解得

故的方程为

（2）设直线与直线的斜率分别为

如果与轴垂直，设，由题设知，且，可得的坐标分别为

则，得，不符合题设

从而可设，将代入得

由题设可知

设，则

而 

由题设，故

即，解得

当且仅当时，，于是，所以过定点

4.（全国卷Ⅱ）设为坐标原点，动点在椭圆：上，过做轴的垂线，垂足为，点满足.

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. 

解：（1）设，，则

由得，

因为在上，所以，因此点的轨迹方程为

（2）由题意知，设，则

，

由得

又由（1）知，故

所以，即.又过点存在唯一直线垂直于，

所以过点且垂直于的直线过的左焦点.

5.（全国卷Ⅲ）已知抛物线，过点（2，0）的直线交于，两点，圆是以

线段为直径的圆．

（1）证明：坐标原点在圆上；

（2）设圆过点（4，），求直线与圆的方程．

解：（1）设

由可得，则

又，故

因此的斜率与的斜率之积为，所以

故坐标原点在圆上

（2）由（1）可得

故圆心的坐标为，圆的半径

由于圆过点，因此，

故，

即

由（1）可得

所以，解得或

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为

当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为

6.（山东卷（理））在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

解：（Ⅰ）由题意知 ，，所以 ，

因此 椭圆的方程为.

（Ⅱ）设，

联立方程，得，

由题意知，且，

所以 .

由题意可知圆的半径为：

由题意知，所以

由此直线的方程为.联立方程

得，因此 .

由题意可知 ，

而，

令，则，

因此 ，

当且仅当，即时等号成立，此时，

所以 ，因此，所以 最大值为.

综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.

7.（山东卷（文））在平面直角坐标系中，已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线y=1所得线段的长度为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，圆N的半径为. 设D为AB的中点，DE，DF与圆N分别相切于点E，F，求的最小值.

8.（天津卷（理））设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.

（Ⅰ）解：设的坐标为.

依题意，，，，解得，，，

于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

（Ⅱ）解：设直线的方程为，

与直线的方程联立，可得点，故.

将与联立，消去，整理得，

解得，或.

由点异于点，可得点.

由，可得直线的方程为，

令，解得，故.所以.

又因为的面积为，故，

整理得，解得，所以.

所以，直线的方程为，或.

9.（天津卷（文））已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为.

（ⅰ）求直线的斜率；

（ⅱ）求椭圆的方程.

（Ⅰ）解：设椭圆的离心率为，由已知，可得

又由，可得，即

又因为，解得，所以，椭圆的离心率为

（Ⅱ）

（ⅰ）解：依题意，设直线的方程为，则直线的斜率为

由（Ⅰ）知，可得直线的方程为，即，

与直线的方程联立，可解得，

即点的坐标为

由已知，有，整理得，

所以，即直线的斜率为

（ⅱ）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为

由（ⅰ）得直线的方程为，与椭圆方程联立，

消去，整理得，解得（舍去），或

因此可得点，进而可得，

所以

由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离，故直线与都垂直于直线，

因为，所以，

所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得.

所以，椭圆的方程为

10.（江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）若直线的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.

解：（1）设椭圆的半焦距为

因为椭圆的离心率为，两准线之间的距离为8，所以

解得，于是，

因此椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，

设，因为为第一象限的点，故，

当时，与相交于，与题设不符

当时，直线的斜率为，直线的斜率为

因为，所以直线的斜率为，直线的斜率为，

从而直线的方程：                        ①

直线的方程：                    ②

由①②，解得，所以

因为点在椭圆上，由对称性，得，即或

又在椭圆上，故，

由解得；无解

因此点的坐标为.

11.（浙江卷）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点

.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.

（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；

（Ⅱ）求的最大值.

解：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，，

因为，所以直线AP斜率的取值范围是（-1,1）

（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程

解得点Q的横坐标是

因为

所以

令，因为

所以在区间上单调递增，上单调递减，

因此当时，取得最大值

11. 上海卷