用Matlab解微分方程

    1．解析解

  （1）一阶微分方程

求的通解：dsolve('Dy=1+y^2','x')

求的通解：dsolve('Dy=1+x^2-y','x')

求的特解：dsolve('Dy=1+y^2',’y(0)=1’,'x')

  （2）高阶微分方程

求解其中，，命令为：

dsolve('x^2*D2y+x*Dy+(x^2-0.5^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')

求的通解，命令为：

dsolve('D3y-2*Dy+y-4*x=0','x')

输出为：

ans=8+4*x+C1*exp(x)+C2*exp(-1/2*(5^(1/2)+1)*x)+C3*exp(1/2*(5^(1/2)-1)*x)

  （3）一阶微分方程组

求的通解：[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','x')

输出为：  f =exp(3*x)*(cos(4*x)*C1+sin(4*x)*C2)

g =-exp(3*x)*(sin(4*x)*C1-cos(4*x)*C2)

若再加上初始条件，则求特解：

[f,g]=dsolve('Df=3*f+4*g','Dg=-4*f+3*g','f(0)=0,g(0)=1','x')

输出为：  f =exp(3*x)*sin(4*x)

g =exp(3*x)*cos(4*x)

    2．数值解

  （1）一阶微分方程

现以步长h=0.1用“4阶龙格—库塔公式”求数值解：

先建立“函数M—文件”：function f=eqs1(x,y)

f=y-2*x/y;

再命令：  格式为：

[自变量,因变量]=ode45(‘函数文件名’,节点数组,初始值)

命令为：  [x,y]=ode45('eqs1',0:0.1:1,1)

若还要画图，就继续命令：  plot(x,y)

  （2）一阶微分方程组

   只须向量化，即可用前面方法：

function f=eqs2(x,y)

f=[cos(x)+2*y(1)-y(2);sin(x)-y(1)+2*y(2)];

将此函数文件，以文件名eqs2保存后，再下命令：

[x,y]=ode45('eqs2',0:0.1:1,[0.2;0.3])

（注：输出的y是矩阵，第i列为函数的数值解）

要画图，继续命令：hold on,plot(x,y(:,1)),plot(x,y(:,2)),hold off

  （3）高阶微分方程

先化成一阶微分方程组，再用前面方法。

上机练习： 

准备：令，化成

用机器：  函数文件eqs3内容？

          命令？

          画图？